高中数学《导数的概念及其几何意义》课件

第五章

5.1.2导数的概念及其几何意义课程标准1.会求函数在某一点附近的平均变化率,会利用导数的定义求函数在某点处的导数.2.理解导数的几何意义,会求导函数,并能根据导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点1

函数的平均变化率对于函数y=f(x),设自变量x从x0变化到x0+Δx,相应地,函数值y就从f(x0)变化到f(x0+Δx).这时,x的变化量为Δx,y的变化量为Δy=

.(x0+Δx)-x0f(x0+Δx)-f(x0)平均变化率

名师点睛1.Δx是自变量的变化量,它可以为正,也可以为负,但不能等于零,而Δy是相应函数值的变化量,它可以为正,可以为负,也可以等于零.2.函数平均变化率的物理意义:如果物体的运动规律是s=s(t),那么函数s(t)在t到t+Δt这段时间内的平均变化率就是物体在这段时间内的平均速度,过关自诊1.函数y=f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率中对x0,x0+Δx有什么要求?2.若函数y=f(x)在某区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为0,能不能说明函数值在区间[x0,x0+Δx]上的函数值都相等?提示

函数f(x)应在x0,x0+Δx处有定义且Δx≠0.提示

不能.因为函数在某区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为0只能说明f(x0+Δx)=f(x0).3.函数y=f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率的几何意义是什么?提示

已知P1(x1,f(x1)),P2(x1+Δx,f(x1+Δx))是函数y=f(x)的图象上两点,则平4.

如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率是(

)A.1B.-1C.2D.-2B知识点2

导数的概念

如果当Δx→0时,平均变化率

无限趋近于一个确定的值,即

有极限,则称y=f(x)在x=x0处可导,并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的________

导数的本质是一个极限值

导数

名师点睛对于导数的概念,注意以下几点:(1)函数应在点x0的附近有定义,否则导数不存在;(2)导数是一个局部概念,它只与函数y=f(x)在x=x0及其附近的函数值有关,与Δx无关.过关自诊

2.函数y=f(x)在点x=x0处的导数的定义形式唯一吗?提示

函数y=f(x)在x=x0处不可导或无导数.提示

不唯一.函数y=f(x)在点x=x0处的导数的定义可变形为

3.[北师大版教材习题]已知函数y=,求自变量x在以下的变化过程中,该函数的平均变化率:(1)自变量x从1变到1.1;(2)自变量x从1变到1.01;(3)自变量x从1变到1.001.估算当x=1时,该函数的瞬时变化率.知识点3

导数的几何意义如图,在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x)),如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时,割线P0P无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在点P0处的

.则割线P0P的斜率切线

记Δx=x-x0,当点P沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0时,即当Δx→0时,k无限趋近于函数y=f(x)在x=x0处的导数.因此,函数y=f(x)在x=x0处的导数f

'(x0)就是切线P0T的斜率k0,即k0==f

'(x0).这就是导数的几何意义.函数在点(x0,f(x0))处的切线斜率

过关自诊1.如何求曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程?2.曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与曲线过点(x0,y0)的切线有什么不同?提示

根据导数的几何意义,求出函数y=f(x)在点(x0,f(x0))处的导数,即曲线在该点处的切线的斜率,再由直线方程的点斜式求出切线方程.提示

曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线,点(x0,f(x0))一定是切点,只要求出k=f'(x0),利用点斜式写出切线方程即可;而曲线f(x)过某点(x0,y0)的切线,给出的点(x0,y0)不一定在曲线上,即使在曲线上也不一定是切点.3.曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点?4.[人教B版教材例题]已知函数f(x)=,求曲线y=f(x)在(2,f(2))处切线的方程.提示

不一定.曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线l与曲线y=f(x)的交点不一定只有一个,如图所示.知识点4

导函数对于函数y=f(x),当x=x0时,f'(x0)是一个唯一确定的数.当x变化时,y=f'(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的

(简称

).y=f(x)的导函数有时也记作y

',即f

'(x)=y'=

.

名师点睛导数与导函数之间既有区别又有联系,导数是对一个点而言的,它是一个确定的值,与给定的函数及x(或x0)的位置有关,而与Δx无关;导函数是对一个区间而言的,它是一个确定的函数,依赖于函数本身,也与Δx无关.导函数

导数

过关自诊1.判断正误.(正确的打√,错误的打×)(1)函数f(x)=0没有导函数.(

)(2)一个可导函数的导函数与Δx有关.(

)(3)f'(x0)=(f(x0))'.(

)×××重难探究·能力素养全提升重难探究·能力素养全提升探究点一求函数的平均变化率【例1】

已知函数y=f(x)=-x2,求它在下列区间上的平均变化率:(1)[1,3];(2)[-4,-2];(3)[x0,x0+Δx].分析

根据平均变化率的定义求解.规律方法

求函数平均变化率的步骤(1)先计算函数值的变化量Δy=f(x1)-f(x0);(2)再计算自变量的变化量Δx=x1-x0;变式训练1函数f(x)=x2-1在x0到x0+Δx之间的平均变化率为(

)A.2x0-1 B.2x0+ΔxC.2x0Δx+(Δx)2

D.(Δx)2-Δx+1B探究点二利用导数的定义求函数的导数【例2】

(1)求函数y=x-在x=-1处的导数.分析可以直接利用函数在某一点处的导数的定义求解,也可先求出函数的导函数,再计算导函数在x=-1处的函数值.(2)求函数y=f(x)=-x2+3x的导数.分析

可按照函数导数的定义分步求解.规律方法

1.利用定义求函数y=f(x)的导数的步骤(1)求函数值的变化量Δy=f(x+Δx)-f(x);2.求函数f(x)在某一点x0处的导数,通常可以有两种方法:一是直接利用函数在某一点x0处的导数的定义求解;二是先利用导数的定义求出函数的导函数,再计算导函数在x0处的函数值.变式训练2(1)已知f(x)=x2-3x,则f'(0)=(

)A.Δx-3 B.(Δx)2-3ΔxC.-3 D.0CA.-4 B.2C.-2 D.±2D探究点三导数定义式的理解与应用【例3】

[北京东城期末]曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为

A.-4 B.-2 C.2

D.4DC

探究点四导数几何意义的应用角度1.求切线方程【例4】

已知曲线C:y=x3.(1)求曲线C在横坐标为x=1的点处的切线方程;(2)求曲线C过点P(1,1)的切线方程.分析(1)求y

'|x=1→求切点

→点斜式方程求切线(2)设切点

(x0,y0)→→→写切线方程解

(1)将x=1代入曲线C的方程得y=1,∴切点坐标为(1,1).∴k=y'|x=1=3.∴曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.①当x0=1时,切点坐标为(1,1),相应的切线方程为3x-y-2=0.变式探究本例(1)中的切线与曲线C是否还有其他的公共点?从而求得公共点为(1,1)或(-2,-8),即切线与曲线C的公共点除了切点外,还有另一个公共点(-2,-8).规律方法

利用导数几何意义研究切线方程的方法(1)利用导数的几何意义求曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程的步骤①求函数f(x)在x0处的导数,即切线的斜率;②根据直线方程的点斜式可得切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).(2)运用导数的几何意义解决切线问题时,一定要注意所给的点是否恰好在曲线上.若点在曲线上,则该点的导数值就是该点处的切线的斜率.角度2.根据切线斜率求切点坐标【例5】

在曲线y=x2上某点P处的切线满足下列条件,分别求出点P.(1)平行于直线y=4x-5;(2)垂直于直线2x-6y+5=0;(3)与x轴成135°的倾斜角.设P(x0,y0)是满足条件的点.(1)∵切线与直线y=4x-5平行,∴2x0=4,得x0=2,y0=4,此时切线方程是y-4=4(x-2),即y=4x-4,与直线y=4x-5平行,∴P(2,4)是满足条件的点.规律方法

根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x0,y0);(2)求导函数f'(x);(3)求切线的斜率f'(x0);(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0;(5)将x0代入f(x)求y0,得切点坐标.变式训练4已知曲线y=2x2-7在点P处的切线方程为8x-y-15=0,求切点P的坐标.由题意可知4m=8,则m=2,代入y=2x2-7,得n=1.故所求切点P的坐标为(2,1).本节要点归纳1.知识清单:(1)函数的平均变化率.(2)导数的概念及其几何意义.(3)导函数的概念.(4)曲线在某点(或过某点)的切线问题.2.方法归纳:定义法,极限思想、数形结合思想.3.常见误区:(1)利用定义求函数在某点处的导数时易忽视分子、分母的对应关系;(2)求切线时容易忽视先检验点是否在曲线上.重难探究·能力素养全提升成果验收·课堂达标检测12345C1