《导数的概念及其几何意义》课件

5.1.2导数的概念及其几何意义第五章内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.会求函数在某一点附近的平均变化率,会利用导数的定义求函数在某点处的导数.(数学抽象、数学运算)2.理解导数的几何意义,会求导函数,并根据导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程.(数学抽象、直观想象、数学运算)课前篇自主预习【激趣诱思】珠穆朗玛峰简称珠峰,高度8848.86米,是世界第一高峰,登上珠峰是很多登山爱好者的终极梦想.每年都会有很多人向它发起挑战,但到现在为止能顺利登顶的人并不多.当山势的陡峭程度不同时,登山队员的感受也是不一样的,试想如何用数学知识来反映山势的陡峭程度呢?【知识梳理】

一、函数的平均变化率对于函数y=f(x),设自变量x从x0变化到x0+Δx,相应地,函数值y就从f(x0)变化到f(x0+Δx).这时,x的变化量为Δx,y的变化量为Δy=f(x0+Δx)-f(x0).我们把比值

叫做函数y=f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率.

(x0+Δx)-x0名师点析

(1)Δx是自变量的变化量,它可以为正,也可以为负,但不能等于零,而Δy是相应函数值的变化量,它可以为正,可以为负,也可以等于零.(2)函数平均变化率的物理意义:如果物体的运动规律是s=s(t),那么函数s(t)在t到t+Δt这段时间内的平均变化率就是物体在这段时间内的平均速度,即(3)的实质是函数在某一区间内函数值变化量与自变量变化量之比.微思考(1)函数y=f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率中对x0,x0+Δx有什么要求?提示

函数f(x)应在x0,x0+Δx处有定义且Δx≠0.(2)若函数y=f(x)在某区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为0,能不能说明函数值在区间[x0,x0+Δx]上的函数值都相等?提示

不能.因为函数在某区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为0只能说明f(x0+Δx)=f(x0).(3)函数y=f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率的几何意义是什么?提示

已知P1(x1,f(x1)),P2(x1+Δx,f(x1+Δx))是函数y=f(x)的图象上两点,则平均变化率

表示割线P1P2的斜率.

微思考

提示

函数y=f(x)在x=x0处不可导或无导数.(2)函数y=f(x)在点x=x0处的导数的定义形式唯一吗?微练习函数f(x)=3x-2在x=5处的导数值为

.

答案

3三、导数的几何意义如图,在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x)),如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时,割线P0P无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在点P0处的切线.则割线P0P的斜率记Δx=x-x0,当点P沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0时,即当Δx→0时,k无限趋近于函数y=f(x)在x=x0处的导数.因此,函数f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是切线P0T的斜率k0,即

=f'(x0).这就是导数的几何意义.

函数在点(x0,f(x0))处的切线斜率微思考(1)如何求曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程?提示

根据导数的几何意义,求出函数y=f(x)在点(x0,f(x0))处的导数,即曲线在该点处的切线的斜率,再由直线方程的点斜式求出切线方程.(2)曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与曲线过点(x0,y0)的切线有什么不同?提示

曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线,点(x0,f(x0))一定是切点,只要求出k=f'(x0),利用点斜式写出切线方程即可;而曲线f(x)过某点(x0,y0)的切线,给出的点(x0,y0)不一定在曲线上,即使在曲线上也不一定是切点.(3)曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点?提示

不一定.曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线l与曲线y=f(x)的交点不一定只有一个,如图所示.四、导函数对于函数y=f(x),当x=x0时,f'(x0)是一个确定的数.当x变化时,y=f'(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y',易错警示

导数与导函数之间既有区别又有联系,导数是对一个点而言的,它是一个确定的值,与给定的函数及x(或x0)的位置有关,而与Δx无关;导函数是对一个区间而言的,它是一个确定的函数,依赖于函数本身,也与Δx无关.微练习

课堂篇探究学习探究一求函数的平均变化率例1已知函数y=f(x)=-x2,求它在下列区间上的平均变化率:(1)[1,3];(2)[-4,-2];(3)[x0,x0+Δx].分析根据平均变化率的定义求解.反思感悟

求函数平均变化率的步骤(1)先计算函数值的变化量Δy=f(x1)-f(x0);(2)再计算自变量的变化量Δx=x1-x0;变式训练

1函数f(x)=x2-1在x0到x0+Δx之间的平均变化率为(

)A.2x0-1 B.2x0+ΔxC.2x0Δx+(Δx)2

D.(Δx)2-Δx+1答案

B解析

根据定义,平均变化率为探究二利用导数的定义求函数的导数例2(1)求函数y=x-在x=-1处的导数.(2)求函数y=f(x)=-x2+3x的导数.分析(1)可以直接利用函数在某一点处的导数的定义求解,也可先求出函数的导函数,再计算导函数在x=-1处的函数值;(2)可按照函数导数的定义分步求解.(2)求函数f(x)在某一点x0处的导数,通常可以有两种方法:一是直接利用函数在某一点x0处的导数的定义求解;二是先利用导数的定义求出函数的导函数,再计算导函数在x0处的函数值.变式训练

2(1)已知f(x)=x2-3x,则f'(0)=(

)A.Δx-3 B.(Δx)2-3ΔxC.-3 D.0A.-4 B.2 C.-2 D.±2答案

(1)C

(2)D探究三导数定义式的理解与应用A.f'(x0) B.f'(-x0)C.-f'(x0) D.-f'(-x0)分析将所给极限式进行变形,构造出导数定义中的极限式进行求解.答案

C答案

C探究四导数几何意义的应用例4已知曲线C:y=x3.(1)求曲线C在横坐标为x=1的点处的切线方程;(2)求曲线C过点P(1,1)的切线方程.方法技巧利用导数几何意义研究切线方程的方法(1)利用导数的几何意义求曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程的步骤①求函数f(x)在x0处的导数,即切线的斜率;②根据直线方程的点斜式可得切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).(2)运用导数的几何意义解决切线问题时,一定要注意所给的点是否恰好在曲线上.若点在曲线上,则该点的导数值就是该点处的切线的斜率.延伸探究

本例(1)中的切线与曲线C是否还有其他的公共点?从而求得公共点为(1,1)或(-2,-8),即切线与曲线C的公共点除了切点外,还有另一个公共点(-2,-8).

素养形成根据切线斜率求切点坐标典例

在曲线y=x2上某点P处的切线满足下列条件,分别求出点P.(1)平行于直线y=4x-5;(2)垂直于直线2x-6y+5=0;(3)与x轴成135°的倾斜角.方法点睛根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x0,y0);(2)求导函数f'(x);(3)求切线的斜率f'(x0);(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0;(5)将x0代入f(x)求y0,得切点坐标.变式训练

已知曲线y=2x2-7在点P处的切线方程为8x-y-15=0,求切点P的坐标.

当堂检测1.函数f(x)=x2-1在区间[1,m](m>1)上的平均变化率为3,则实数m的值为(

)A.3 B.2 C.1 D.