导数与微分判断题训练和填空题训练

一、判断题

1.f(x)在点X可导是f(X)在点X超卖的必要条件.()

00

2.f(x)在点x的左导数f'(xj及右导数f'(x)都存在且相等是f(x)在点x可导

0-0+00

的充分必要条件.()

1

3.函数T在x=0处即连续又可导/)

/\

>留双八则尸(0)存在且尸(0)=1.(

||0x=0.

生崛盛W有「，(x)=a,财@f薪如(()

\sinxx<0,)

[/7I4-A)x>0.

ff

\rx2XNO,

[-xx<0.

7.若《X)在X=3处可导，则历7'l+就一""一加=(勿+〃)尸Q)()

8.若函数(x)在点x件有导数，而函数g(x)在此点没有导数，则F(x)=(x)・g

(x)在点x〒线线有导数.()

10.令f(x)&，则f的图象在点|a,的切线，除了切点外小与f的图象相交.()

9.在点X。处函数f(x)和g(x)都没有导数，则不能判断它们的积F(x)=f(x)・g

/•

(X)在x=x处没有导数()

0/•

(n,

XIa；

11.如果p(力=/(#+»则g(»=尸(x+H()

12.如果则.(»=7(CA)(+0)()

13.如果/(A)+G则g'G)=/(分()

14.定义在(a,b)上的函数f(x),如果导函数f'(x)在(a,b)上无界，则f(x)在

(a,b)(

15.如果/（x为偶函数，且双。）存在，则齐（0）=0/）

16.如果f（x）为奇函数，且f'（0）存在，则f'（0）=0.（）

用心爱心专心

)

17.函数y=|sinx|在x=0妍勺()

[1_0

18.醴tf(x)=&Yx*'在x=0处不连续，且在x=0处导数不存在.()

x=0,

a

20.已知y=|—|,则y，=|一|.|In-----------\.(

21.经过原点同与曲线x=相切的曲线方程是y=-x/

0

苞赵鼎髭令聂家嚼麻卷鬻3+or)

(XV(X'x(XX、

25.若_=最由n四—,则__L1+x1+M

9-5/j

J/-1

22.函数y=dcc5#7x+6s/77历x满足关系式襄V+v+y=0/)

’11

24

24.x=sint,y=cos2t;在t=Ti/6处的斜率是2.()

29.己多f(x)=_^_y.---育__^Jlimf(x)=()

aadx(x+y)2

26.函数在每点的切线只与它的图象交于:点.()

27.设/(刈丽-[4贝IJ/0)=17)

28.设0<a<1,f满足|f(x)2|x卜7及f(0)=0,则f在点0是不可导的.()

tanxarctanx-x22

33.取/,<_=._9

30.f(x)在x知节的充要条件国&)在x处的左、右导数存在.()

0'0

31.设y=1-尸(其中a是常数，则只有当x=a时y{x)=0.()

2

32.设f(x)=axsinx+bxcosx+csinx+dcosx.则只有当a=1,b=0,c=Qd=1时,

f<x)=xcosx.()—.....------------

fx=1+1dy1+才)

\[y=-f+1dx

34.设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导.若在(a,b)内f'(x)>0,

那么函数y=f(x)在［a,b］上单调减少.()

35.函数f(x)=ex的n阶麦克劳林公式为ex=1+x+；Xn08X.

+(n+1严

(0<G<0)()

用心爱心专心

+

36.函数y-x-sinx在［0,2n］_L单哪觎I.()

37.函数x-1在定义上不是单调函数.()

38.一般地，如果f'(x)在某区间内的有限个点处为零，在其余各点处均为正(或负)

那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的.)

1

39.当x>1时,3-<,x.()

x

40.函数1、在其定义区间内无极值点.()

(x-2)：

41.函数f(x)=2x3+3x2—12x+14城［-3,4］上的最大值是142,最小值是23.()

42.曲线y=4旭在(-8,十分内是下凹的，没有拐点/)

43.函数y=」=e?是偶函数,它的图形关于y轴对称/)

44.已知AA)=从腔0,在x=0点处取得极大值,其值是c.()

45.设f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内具有二阶导数，且f(a)=f(b)=0,且

存在点cw(a，b)使得f(c)>0,则至少存在一点；e(a,b)使得f"(0<O.()

二、填空题

1.设一二其中何导且尸(0)声。般

y=八⑸_刊西

f=Q

2.f(x)在点X。可导是f(x)在点X。连续的——条件,f(x)在点x初续是f

(X)在点X。可导的条件.

,x=Int,rjn\A

3.若片,则第=__________.

y=tm加

i1

4.若g(x)=]x2cos：xwO,又f(X)在x=。处可导，则必巡U=______

HOx=0,dxx=o

5(x二g九对凶十1=71点处的切线斜率是_________

\[y=sin31五

6.设f<3)=2,贝ij]im('(3_h)_f(3=

h^r

2h

用心爱心专心

7.利用变量替换x=pcos（p,y=psin（p,一定可以把方程»='+丫化为新的方程是

dxx-y

8MA》为偶函数，且尸（0）存在，且/（0）=_________.

9.函数Ax）=osxt点处的切线方程是________

10.曲线片X-1（*〉0）与海交点处的切线方程是___

11.f（x）=3+必,则尸（0）=，尸（2）______

5-x5

12.已知y=lrksecx+tanx）则y=.

13.已知y=d/r叫:；，则p=.

14.由方程x2-y2=1所确定的隐函数y的二阶导数脱=

15.已知卜="$叫*==时,竺=___________

\y=efcost3ax

16.设x=、E%则翁______•桨

17.己知尸（x）=-1,则历1

0QO

AQ

（2+tanx）^-（2-sinx）=

18.Umsmx一

wo

曲线，*=1+在在片2处的切线方程是

19.

20.已知曲线f（x）=xn在点（1,1）处的切线与X轴的交点为（自,0）,则）=

nn-»joon

21.设函数由参数方程所确定，理.

（y=力+&改

22.设-»=匚,则&）（»=___________.

1+x

23.设f（x）是可导函数，且=-1,则曲线y=f（x）在点（1,f（D）

x->o2x

处的切线斜率为.

24.设周期函数f（x）在（一8,十8）内可导，周期为4,又lim，x）=-1,

XTO2X

则曲线y=f（x）在点（5,f（5））处的切线斜率为.

用心爱心专心

25.曲线的拐点为.

26.曲线总的向上凸区间是

乙/.国双TIXJ=X十乙CQSX仕区|HjJu,兀工刑取人电力_________；仕四叫U，5J工取

大值为___________.

28.设f(x)=Xx-lX-2)(x—1000)则/(0)=.

29.设f(x)=Q，—I)(x)，其1国(x)在点x=1处倒，且g(1)=6,则f'«)=_

30.已知y=f(x)有连续的二阶导数，且在x=a点处有拐点(a,f(a)),则

f(a+h)-2f(a)+f(a-h)

urn--------------------------------=__________.

h->0h2

31.磁y=x-ln(x+1)在区间________内单调减少，在区间内单调增加.

32.已知曲线丫=-17，则其水平渐近线方程是，垂直渐近线方程是

X21

参考答案

一、判断题

1.X

2.J

3.x提示：limf(x)=limxsin1=0=f(0)故f(x)在x=0处连续，但

XTOXTOX

f(x)-f(0)..xsinx|jj1

rhm-------------=hm---------=”“m】s>“n一

x->0X—0x->0Xx->0X

不存在，故f(x)在x=0处不可导.

4.J

5.J

6.J提示：解法一

f《0)=lim()-f(0)X2八

—=0,

x-0x

,、=lie-f⑹

f，(0)=加="^1一*=一1,故£,(0)不存在

XfSx-0x

解法二XfG

XTO

用心爱心专心

x->O

当X>0时，f<x)=2x,当X<0时，f<x)=-1,

而ff(0)=limff(x)=lim(2x)=0,f*(0)=limff(x)=lim(-l)=-1,故力(0不存在.

+一

x->0,—O-XTO-C->0-

7.J

8.x提示：令「)三0，小)=,当x"，

[03x<0.

|v二AWU,/XI1二人WV,

9.7提示：考虑函数f(x)=〈gWj

[1当X〈O.0当x<0.

10.V提示：所考虑的切线是g(x)=-，_(x-a)+J的图象，令f(x)=g(x)只解

得x=a.

11.V提示：从导数的定义出发证明.

12.x提示：事实上，由函数定义得

(,x)=limg"+h)-g(xJ=|jmf(cx+ch)-f(cxj=Reflex+ch)-f(§x)

h->ohh->ohh->och

设ch=k，当hr0时k-»0.

Y(，x)=clMfkx+kLf©)=c|.mf(cx+k)-f(cx)=cf<cx)

k->0kk->0k

13.V提示：利用导数定义证明.

14.X提示：考虑函数f(x)=/；xe(0/1),当x=0时f(x)=0,而f'(x)=8.

15.V

16.X

17.x提示：根据导数定义lim巨凶知,在x=0处左导数与右导

x-+0X—0x->0X

数不相等.

18.x提示：limf(x)=limxarctan1=0=f(0),所以f(x)在x=0处连续，但

x->0x->0X

71

lim

x->0XX

同理lim存在,即网处不可导.

x->0,x2x->0X

19.J提示：利用复合函数求导公式及(secx)'=secx•tanx,(tanxJ=sec2x.

20.V提示：①原式两边取常用对数得lny=x[lnx-ln(1+x)],②两边对x求导,

L/=[lnx-ln(1+x)]+^_^.lnJLJL

1+

X；

1+

X

1

+X

21.V

22.V提示:

y=(asinlnx-bcoslnx)y,f=1(asinInx-bcosInx-acosInx-bsinInx)

xX2

用心爱心专心

23.x提示：满足的关系式应为x/'+

24.X提示：=；又室=-4sint所以在t=专处室=一2.

25.V

26.X提示：考虑函数f(x)=-L,当aWO时,f在点(a工)的切线与f的图象相交

x2Ia2J

于另一点，这一点位于y轴的另一边.

27.X提示：当a是整数时，f间断，f'无定义.当n〈a〈n+1(n为缄，

f<a)=|jmf(a+Ax)-f(a)=|jm(a+Ax)-［a+Ax］—a+囿］

AX-»OAXAx->OAX

28.J提示：|f(h)/h|z|h卜已因a—2<0,故lim|h卜七匕因而|而巧!岂不存在.

h->0h->0h

29.J提示：这是:型，若用洛必达法则求极限计算非常繁琐，现在借用泰勒公式展

IX32I川…xs()

X++X>+OXb11++0Xb7|-X^

Tr-p.+.zmrtanx-arctanx-x21.L31535

开求极限lim=hmL

x->0x6

2(

6\

6

-X+ox

92

-

9

30.x提示：左右导数存在且相等.

31.J

32.V提示：a,b.c,d必须满足下列关系式a—d=Qb+c=0,a=[b=0.

1

gV土且一W匕-2j-t+1

33.X提不：--=-^=----------=-、--.

dxxr[\

2/TT1

34.X

35.V提示：f/(x)=f°(x)==f(n)(x)=ex,f(M(ex)=eox

36.V提示：根据函数单调性的判定方法.

37.V提示：在(-8,0］上单调减少，而(0,+8)上单调增加.

38.J

39.V提示：利用函数的单调性证明不等式.设f(x)=2j二仙-I),则

f(X)=L——AIJTI)x)在［1,+8］上连续，在(1,+8)内f(x)>0,因此

X2

X2

[1,+8)上单调增加，从而当X>1时，f(x)>f(1),由于f(1)=0,故f(x)>f(1)

用心爱心专心

=0，即2M>3-1(X>1)

x

40.X提示：f(x)在(-8,2)和(2,+°°)内设有极值点，但在(一8,2)

内，f<x)>0,函数f(x)单调增加，在(2,+8)内函数单调减少，又f(x)在点x=2

连续，故x=2是函数f(x)的极大点.

41.x提示：由f'(x)=0得两个驻点x=-2,x=1,再比较f-2),⑴，f(-3),f

12

(4)的大小，即可得最大值f(4)=142,最小值f(1)=7.

42.V

43.V

44.X提示：在x=0处取得极小值.

45.V提示：有两种方法证明：证法一，由题设知f(x)在[a,c],[c,b]上满足拉

格朗日中值定理条件，则有f(c)-f(a)=f,(g%cQJf(b)_f(c)=f()4G[c,b].因

c-a1'1b-c22

为f(a)=f(b)=0zf(c)>0.所以f'G)>0#(&)<0.又因为£6)*Ju[a,b]上

1在化

满足拉格朗曰中值定理条件，于是有%)二£&)=严(。工式&丁),由于

12

21

f)>0,f()<0,…,所以f"(0<O港式a,b).证法二，因为f(X)在(a,b)

212

自1ffX-X

内只有一阶导教，对(X)在X7c点用台劳展开式：(X)=gc)+f'G)(—C)；f〃(0(—C)2

当f'(c)<0时，在上式中取x=a,即得f(a)=f(c)+f'(c)(-c)+；f”(自)(-c)2,^«=(a,c),

趣&f(fj押Q)Qb」agf嗯3犯4)铠节年状曲9f曲f匈干期肘斯瓯P(cMo

1

2•2

有f"(2)<0.综上述，f"&)<0Le(a,b)

1

二、填空题

1.32.充分条件必要条归3.mnd

,1

x2cos-0n

4.OF示：g^0)=llmx=0,并取得u=g(x),则有f[g(x)]=f(u)g，(x),

XTOxox

从而得£x^[<u).g<x)Uf<0)g<0)=0.

到df[g(x)l

T提示：f是自变量的增量.一；；

36.

=p用

心爱心专心

f(6f⑹=.帚(-.(。)=孑(0)

8.0提示：f'(O)=lim

x->0x—0x—>o—x-0

9.厂，(一%

pO1O.y=2(x-1)11.黑IZsecx

鼻，J14.-±

W215.v13-2

1--—12>1.y3yy3

II1+t2

17.1提示：

f(xn-2x)-f(xc-x)=-x)-f必)]

lim

XTOXx->0,、，、X

=-2fr(x)+fr(x)

00

18.10x210提示:

(2+tanx)10一2,(2-sinx)10-210"I

原“=lim

x->0sinx-sinx

(2+tanx)10-210(2-sinx)10-210

=lim+lim.

立电"00-Slnx

_x=0+

一in、，oin

19.3x—y—7=0

20.1提示：曲线在(1,1)处的切线斜率k=fk)=n,故切线方程为y-1=n(x

e

一1)，令y=0，得与x轴的交点自=1-L所以limf(&)=lim'l1J)|三)

nnn->xnn->AnJe

21(6t+5)(+l)dy3t2+2t.—

一提H示:

tdx，~、/1、

1-——

l+t

d2y_d(dy)[(l+t)(3t+2)[(6t+5)(t+l)

=

=ax[axj=[t-ln(l+t)Jt,

dx2

昌)二