2025-2026学年广西桂林市十二县联考高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广西桂林市十二县联考高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2A.272 B.270 C.157 D.1532.已知函数f(x)在x=x0处可导，且Δx→0limf(xA.−8 B.8 C.−2 D.23.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点A(4,y0)到焦点的距离是A.x=−2 B.x=2 C.y=−2 D.y=24.在等比数列{an}中，a1+a4A.14 B.18 C.116或−1165.已知函数f(x)=ex+2f′(0)x+3，则f′(0)=A.e+1 B.e−1 C.1 D.−16.已知△ABC是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为A.3 B.32 C.1 7.如图，一圆形信号灯分成A，B，C，D四块灯带区域，现有3种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为(

)A.18

B.24

C.30

D.428.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，给出如下定义：设f′(x)是函数y=f(x)的导函数，f″(x)是f′(x)的导函数，若方程f″(x)=0有实数解x0，则称点(x0,f(x0))A.2026 B.2025 C.1012 D.1013二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设f′(x)是函数f(x)的导函数，下列将y=f(x)和y=f′(x)的图象放在同一个直角坐标系中，其中可能正确的是(

)A. B.

C. D.10.下列说法正确的是(

)A.一组样本数据x1，x2，…，xn的平均数等于x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数

B.样本数据1，1，1，0，2的标准差大于方差

C.若随机变量ξ服从二项分布ξ～B(9,23)11.过点(−1,−1)且与曲线y=3x3+2相切的直线方程可能为A.8x−y+7=0 B.9x−y+8=0 C.9x−4y+5=0 D.8x−3y+5=0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在(x3−2x)713.已知数列{an}的递推公式an+1=an14.已知函数f(x)=lnx−2ax+1，若存在x>0，使得f(x)≥0，则实数a的取值范围为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=x3+2ax2+bx+a−1在x=−1处取得极值0，其中a，b∈R．

(1)求a，b的值；

(2)16.(本小题15分)

已知{an}的前n项和Sn，an>0且an2+2an=4Sn+3．

(1)求17.(本小题15分)

如图所示，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AB=2，AA1=1，∠BAD=60°，M，N分别为A1B1，AD的中点．

(1)18.(本小题17分)

已知双曲线C的中心在原点O，D(1,0)是C的一个顶点，y=2x是C的一条渐近线．

(1)求C的方程；

(2)设P(0,1)，M为C的右支上动点，当|PM|取得最小值时，求四边形ODMP的面积；

(3)若过点(−3,0)的直线与C交于A，B两点(都异于点D)，证明：19.(本小题17分)

已知函数f(x)=a(ex−1)−xa(a≠0)．

(1)若a=1，证明：f(x)≥0：

(2)若∀x1∈(0,+∞)，参考答案1.D

2.B

3.A

4.B

5.D

6.C

7.A

8.B

9.ABC

10.BCD

11.BC

12.448

13.1414.(−∞,1215.解：(1)由f(x)=x3+2ax2+bx+a−1求导得f′(x)=3x2+4ax+b，

依题意可知f(−1)=0f′(−1)=0，即−1+2a−b+a−1=03−4a+b=0，解得a=b=1，

此时f(x)=x3+2x2+x，f′(x)=3x2+4x+1，由f′(x)=3x2+4x+1=0求得x=−1或x=−13，

当x<−1时，f′(x)>0，函数f(x)递增，当−1<x<−13时f′(x)<0，函数f(x)递减，

故x=−1时，函数取得极大值f(−1)=0，故a=b=1．

(2)由(1)得f(x)=x3+2x2+x，f′(x)=3x2+4x+1=(3x+1)(x+1)，

令f′(x)=0解得x=−13或x=−1，因x∈[−1,1]，

故当−1<x<−13时f′(x)<0，函数f(x)递减，当−1316.(1)证明：∵3+4Sn=an2+2an，3+4Sn+1=an+12+2an+1，

两式相减整理可得(an+1+an)(an+1−an−2)=0，

∵n≥1时，an>0，

∴an+1−a17.解：(1)证明：连接BD，由四边形ABCD是菱形，∠BAD=∠BCD=60°，

∴△BCD是等边三角形，又E是BC的中点，则DE⊥BC，故DE⊥AD，

在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，

而DA⊂平面ABCD，DE⊂平面ABCD，

所以DD1⊥DA，DD1⊥DE，

所以DA，DE，DD1两两互相垂直，

以D为原点，以直线DA，DE，DD1为坐标轴建立空间直角坐标系D−xyz，

则D(0,0,0),B(1,3,0),E(0,3,0),A1(2,0,1),M(32,32,1),N(1,0,0)，

DM=(32,32,1),DB=(1,3,0),A1N=(−1,0,−1)，

设平面BDM的一个法向量为m=(x,y,z)，

则m⊥DMm⊥DB，则m⋅DM=0m⋅DB=0，18.(1)解：因为双曲线C的中心在原点O，C的一个顶点是D(1,0)，

所以设C的方程为x2−y2b2=1(b>0)，

C的渐近线方程为y=±bx．

因为y=2x是C的一条渐近线，所以b=2，所以C的方程为x2−y22=1．

(2)解：依题意，设M(x0,y0)(x0≥1)，则x02−y022=1，

即x02=1+y022，

所以||PM|2=x02+(y0−1)2=32y02−2y0+2=32(y0−23)2+43，

当19.(1)证明：若a=1，f(x)=ex−1−x，f′(x)=ex−1，

令f′(x)>0，解得x>0，令f′(x)<0，解得x<0，

所以f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，

所以f(x)min=f(0)=0，故f(x)≥0；

(2)解：不妨设