《构造函数法解决导数问题》课件

第五章

培优课❺构造函数法解决导数问题课程标准1.了解导数中几种常见的构造函数的形式.2.会根据具体要求通过构造函数解决一些简单的问题.重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测重难探究·能力素养全提升重难探究·能力素养全提升探究点一构造函数比较大小【例1】

(多选题)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(x)<f(x)对任意的x∈R恒成立,则(

)A.f(ln2)<2f(0) B.f(2)<e2f(0)C.f(ln2)>2f(0) D.f(2)>e2f(0)AB规律方法

解决此类问题的关键是弄清代数式的结构特点,根据代数式的共性特点构造函数,利用导数和单调性比较大小.A.c<b<a B.b<a<cC.c<a<b D.b<c<aD探究点二构造函数证明不等式【例2】

已知函数f(x)=ax2+2lnx.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a<0时,证明:f(x)≤--2.当x∈(0,1)时,g'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0.所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.规律方法

证明f(x)>g(x)的一般方法是证明h(x)=f(x)-g(x)>0(利用单调性),可构造出一个函数(可以移项,使右边为零,将移项后的左式设为函数),并利用导数判断所设函数的单调性,再根据函数的单调性,证明要证的不等式.变式训练2已知函数f(x)=x+aex(a∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当x<0,a≤1时,证明:x2+(a+1)x>xf

'(x).(1)解

由f(x)=x+aex可得f(x)的定义域为R,f'(x)=1+aex.当a≥0时,f'(x)>0,则函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.(2)证明

设F(x)=x2+(a+1)x-xf'(x)=x2+ax-axex=x(x+a-aex).设H(x)=x+a-aex,则H'(x)=1-aex.因为x<0,所以0<ex<1,又a≤1,所以1-aex≥1-ex>0.所以H(x)在(-∞,0)上单调递增,则H(x)<H(0)=0,即x+a-aex<0.由x<0可得F(x)=x(x+a-aex)>0,所以x2+(a+1)x>xf'(x).探究点三构造函数解不等式【例3】

若函数y=f(x)的定义域为R,对于∀x∈R,f'(x)<f(x),且f(x+1)为偶函数,f(2)=1,则不等式f(x)<ex的解集为(

)A.(2,+∞) B.(0,+∞)C.(-∞,0) D.(-∞,2)B函数g(x)在R上是减函数.由f(x+1)为偶函数,可得函数f(x)关于直线x=1对称,又f(2)=1,所以f(0)=1,式f(x)<ex的解集为(0,+∞).规律方法

用单调性解不等式时常见的构造函数技巧方法求解此类题目的关键是构造新函数,研究新函数的单调性及其导函数的结构形式,因此熟悉以下结论可以达到事半功倍的效果.(1)对于f'(x)>g'(x),构造h(x)=f(x)-g(x),更一般地,遇到f'(x)>a(a≠0),即导函数大于某个非零常数(若a=0,则无须构造),则可构造h(x)=f(x)-ax.(2)对于f

'(x)+g'(x)>0,构造h(x)=f(x)+g(x).(3)对于f'(x)+f(x)>0,构造h(x)=exf(x).变式训练3已知函数f(x)的定义域为(0,π),其导函数是f'(x).若f'(x)sinx-本节要点归纳1.知识清单:(1)几种常见的构造形式.(2)掌握由导函数的结构形式构造原函数.2.方法归纳:构造法.3.常见误区:(1)不能正确构造出符合题意的函数;(2)代数式变形时容易出现不等价现象.重难探究·能力素养全提升成果验收·课堂达标检测12341.已知f(x)是定义在(0,+∞)上的可导函数,且满足xf'(x)+f(x)<0,对任意的正数a,b,若a<b,则必有(

)A.bf(b)<af(a) B.bf(a)<af(b)C.af(a)<bf(b) D.af(b)<bf(a)A解析

设g(x)=xf(x),x∈(0,+∞),则g'(x)=xf'(x)+f(x)<0,∴g(x)在区间(0,+∞)上是减函数.∵a<b,∴g(a)>g(b),即af(a)>bf(b),故选A.12342.已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(2)=1,且f(x)的导函数f'(x)<1,则f(x)>x-1的解集为(

)A.{x|-2<x<2} B.{x|x<2}C.{x|x<-2或x>2} D.{x|x>2}B解析

令g(x)=f(x)-(x-1),则g'(x)=f'(x)-1<0,所以g(x)在R上是减函数.又f(2)=1,所以g(2)=f(2)-(2-1)=0.由f(x)>x-1,得g(x)>0,解得x<2.123412344.已知a,b为实数,且b>a>e,其中e为自然对数的底数,求证:ab>ba.证明

∵b>a>e,∴要证ab>ba,只需证bln

a>aln

b.∴f'(x)>0.∴函数f(x)=xln

a-aln

x在(a,+∞)上单调递增.1234∵b>a>e,∴f(b)>f(a)=aln

a-aln

a=0,即bln

a-aln

b>0,∴bln

a>aln

b,即ab>ba.类型1

逆向构造法

A

D

D

.

.

A

C

类型2

同构法

B

.

A

.