7.4 隐函数求导法

17.4隐函数求导法7.4.1一个方程的情形7.4.2方程组的情形7.4.3反函数的偏导数7.4.4二元函数的参数表示法及偏导数2隐函数的求导公式7.4.1一个方程的情形7.4隐函数求导法3这个定理我们不证。现仅就公式作如下推导。

将方程所确定的函数y=f(x)代入原方程由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得

由于F’y

连续,且F’y(x0,y0)≠0,所以存在(x0,y0)

的一个邻域,在这邻域内F’y≠0,于是得

其左端可以看作是x的一个复合函数，求这个函数的全导数，得恒等式F(x，f(x))≡0，4

隐函数的高阶导数由方程F(x，y)=0在一定条件下（定理7.4.1中的条件）可确定隐函数y=f(x)，且有

如果F(x，y)的二阶偏导数也都连续，将上式两端对x再一次求导，右端可视作x的复合函数，有不必记这个公式，要知道这一方法。

5解令则67解令则例28

这个定理我们不证，与定理7.4.1类似，仅就公式作如下推导:9由于F(x，y，f(x，y))≡0，

将上式两端分别对x和y求导，应用复合函数求导法则得

因为F’z连续,且F’z(x0,y0,z0)≠0，所以存在点(x0,y0,z0)的一个邻域，在这个邻域内F’z≠0,于是得注10解令则11思路：解令则12整理得整理得13

例5

设φ(u，v)具有连续的偏导数，证明由方程

φ(cx－az，cy－bz)=0确定的函数z=f(x,y)，满足

方程的两端对x

求导有

证明方法一利用复合函数求导法则可得

14方程两端对y

求偏导有

可得

于是有

15方法二公式法

记φ(cx－az，cy－bz)=F(x，y，z)，则Fx=cφu，Fy=cφv，Fz=－aφu－bφv

所以

16方法三利用全微分形式的不变性移项cφudx+cφvdy=(aφu+bφv)dz所以

于是

dφ(cx－az，cy－bz)=φud（cx－az）+φvd(cy－bz)=φu(cdx-adz)+φv(cdy-bdz)=0177.4.2方程组的情形181920解1直接代入公式；解2运用公式推导的方法，将所给方程的两边对求导并移项21将所给方程的两边对求导，用同样方法得22条件:(1)F,G连同它们的一切偏导在(x0,y0,,,z0)的邻域内连续。（2）F(x0,y0,,,z0)=0,G(x0,y0,,,z0)=0证略。求法注23从中解出24解运用公式推导的方法，将所给方程的两边对x

求导例6257.4.3反函数的偏导数在点(x,y,u,v)的某一邻域内唯一确定一组连续且具有连续偏导数的反函数u=u(x,y),v=v(x,y)（2）反函数u=u(x,y),v=v(x,y)对x,y的偏导数（1）方程组设函数x=x(u，v)，

y=y(u，v)在点（u，v）的某一邻域内连续且具有连续偏导数，又

26（1）改写原方程组为下列的形式（7）

则依题设

由隐函数存在定理3知，所给方程组（7）可在点(x,y,u,v)的某邻域内唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数u=u(x,y),v=v(x,y),它们就是函数x(u,v)、y(u,v)的反函数。

27（２）将上面确定的反函数u=u(x，y)，

v=v(x，y)代入（７）即得

（“≡”两边的x、y的不同含义！）（注意：不可“约分”）两边分别对x求偏导数，得解此关于的线性方程组287.4.4二元函数的参数表示法及偏导数29方法30例7解31小结

本节主要讨论了隐函数的求导法则。

本节要求熟练掌握一个方程和方程组确定的隐函数的偏导数的计算。习题7—432第一次习题课一、内容及要求

1理解多元函数、多元函数的极限、连续、偏导数及全微分的定义.2会求一些二元函数的极限、能判别函数的连续性.4理解多元函数连续、可导、可微的关系．

3能利用一元函数的求导法则计算多元函数的一阶二阶偏导，会求多元函数的全微分.335熟练掌握多元复合函数的一阶、二阶偏导数的计算（重点）注：多元复合函数的偏导数变量关系图

uvzxy则有

链式法则—“连线相乘，分线相加”（1）34（2）几种变形

uxyzt(i)多个中间变量，一个自变量uzxy(ii)一个中间变量，多个自变量：

35(iii)中间变量与自变量混合存在:xyuzxy（3）全微分形式的不变性:z=f(u，v)，u，v不管是自变量还是中间变量，有（4）复合函数的高阶偏导数的计算(难点)求Zxx,Zxy,Zyy

时应该注意到fu

,

fv仍是复合函数.366熟练掌握隐函数的偏导数的计算（2）方程组的情形(i)公式法；(ii)复合函数的求导法则；(iii)一阶全微分形式的不变性。

求导方法：确定自变量及因变量，各方程对某一个自变量求偏导，解方程组求得各因变量对这个自变量的偏导数(或导数).

一般：变量个数－方程个数=自变量个数

（1）单个方程的情形理论基础是复合函数的求导法则，具体计算有三种方法:

37二、典型例题分析

1、选择与填充（A）不连续（B）偏导存在(C)可微3839例２解4041例3解4243例4设z=f(x，y，u)，u=xey，f具有二阶连续偏导数，求

解zxyuxy44例5解45例6证明46代入得证。47例7证明：两端求对x的偏导数，得

两端同乘以x2z2：两端求对y的偏导数：

两端同乘以y2z2：(1)式+(2)式

48例8解：方程两端求对x的偏导数，有解得

方程两端求对y的偏导数，有49或利用全微分形式的不变性求偏导

整理可得由此可求得50

也可利用公式，令：于是51例9.设，其中f、g具有一阶连续偏数，

解所给方程两端对x求偏导，得

整理可得

5253例10.设y=f(x，t)，而t是由方程F(x，y，t)=0所确定的x、y的函数，其中f，F都具有一阶连续偏导数，试证明证法一：首先分析一下变量间的关系。由式（1）可确定一元函数y=y(x)。（1）式两端对x求导得t是由方程F(x，y，t)所确定的x、y的函数，t=t(x，y)，于是有y=f[x，t(x，y)](1)54t是F(x，y，