7.2 偏导数与全微分

17.2偏导数与全微分7.2.1偏导数的概念7.2.2偏导数的几何意义7.2.3高阶偏导数7.2.4全微分27.2偏导数与全微分7.2.1偏导数的概念1偏导数的定义(1)f(x,y)在点P0(x0,y0)处的偏导数3则称此极限为函数在点处对的偏导数，记为

例如，极限(1)可以表示为

45（2）偏导函数6(3)偏导数概念可推广到二元以上的函数注：7解2．偏导数的计算

仍然是一元函数的求导公式和求导法则，对某一个自变量求偏导时，其余的自变量看作常量。

8证明原结论成立．9例3.解：10证明11注:(2)求fx

(x0，y0)时，可先将y0代入得最后再将x0代入.

例5解12例6解(3)求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；13按定义可知：143偏导数存在与连续的关系？但函数在该点处并不连续.偏导数存在连续.一元函数中在某点可导连续，多元函数中在某点偏导数存在连续，157.2.2偏导数的几何意义如图16几何意义:17纯偏导混合偏导二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.7.2.3高阶偏导数18解例719具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？解问题：混合偏导数都相等吗？20证毕．21例9证明函数其中

满足方程证明22由于函数关于自变量的对称性，所以因此证毕．23

7.2.4全微分1．增量、全增量及偏微分

由一元函数微分学中增量与微分的关系得叫做函数在点(x，y)对应于自变量增量⊿x、⊿y的全增量。

⊿z=f(x+⊿x，y+⊿y)－f(x，y)(1)242．全微分的定义25事实上3可微的必要条件

26证明总成立,同理可得274．偏导存在不是函数可微的充分条件

一元函数可微等价于可导。

f(x，y)在点P0处偏导存在，但f(x，y)在点P0处不连续。所以f(x，y)在点P0处一定不可微。

而多元函数偏导存在不能推出可微。285.函数可微的充分条件

证明29（依偏导数的连续性）同理30习惯上，记全微分为全微分的定义可推广到三元及三元以上函数31方法：6.全微分的计算

（2）dz=

fx(x，y)dx+fy(x，y)dy

（iii）P0(x0,y0)处且dx，dy给定时的微分

（1）先求fx(x,y)、fy(x,y),判断f(x,y)的可微性。(利用充分条件）几类微分：(i)P(x,y)处的微分；（ii）P0(x0,y0)处的微分；32例1.（1）计算z=x2y+y3的全微分；（2）计算z=x2y+y3在点(2，1)处的全微分；（3）计算z=x2y+y3在点(2，1)处相应于⊿x=0.1，⊿y=－0.1时的全微分。

解(1)(2)(3)当⊿x=0.1，⊿y=－0.1时，33解所求全微分347多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续偏导存在35小结本节主要讨论了多元函数的偏导数、高阶偏导数及全微分的概念。本节要求理解多元函数的偏导数、高阶偏导数及全微分的概念；了解多元函数偏导数的几何意义；了解多元函数可微的充分与必要条件以及多元函数的连续、可导、可微的关系。熟练掌握多元函数的偏导数与全微分的计算。习题7—236第一次习题课一、内容及要求

1理解多元函数、多元函数的极限、连续、偏导数及全微分的定义.2会求一些二元函数的极限、能判别函数的连续性.4理解多元函数连续、可导、可微的关系．

3能利用一元函数的求导法则计算多元函数的一阶二阶偏导，会求多元函数的全微分.375熟练掌握多元复合函数的一阶、二阶偏导数的计算（重点）注：多元复合函数的偏导数变量关系图

uvzxy则有

链式法则—“连线相乘，分线相加”（1）38（2）几种变形

uxyzt(i)多个中间变量，一个自变量uzxy(ii)一个中间变量，多个自变量：

39(iii)中间变量与自变量混合存在:xyuzxy（3）全微分形式的不变性:z=f(u，v)，u，v不管是自变量还是中间变量，有（4）复合函数的高阶偏导数的计算(难点)求Zxx,Zxy,Zyy

时应该注意到fu

,

fv仍是复合函数.406熟练掌握隐函数的偏导数的计算（2）方程组的情形(i)公式法；(ii)复合函数的求导法则；(iii)一阶全微分形式的不变性。

求导方法：确定自变量及因变量，各方程对某一个自变量求偏导，解方程组求得各因变量对这个自变量的偏导数(或导数).

一般：变量个数－方程个数=自变量个数

（1）单个方程的情形理论基础是复合函数的求导法则，具体计算有三种方法:

41二、典型例题分析

1、选择与填充（A）不连续（B）偏导存在(C)可微4243例２解4445例3解4647例4设z=f(x，y，u)，u=xey，f具有二阶连续偏导数，求

解zxyuxy48例5解49例6证明50代入得证。51例7证明：两端求对x的偏导数，得

两端同乘以x2z2：两端求对y的偏导数：

两端同乘以y2z2：(1)式+(2)式

52例8解：方程两端求对x的偏导数，有解得

方程两端求对y的偏导数，有53或利用全微分形式的不变性求偏导

整理可得由此可求得54

也可利用公式，令：于是55例9.设，其中f、g具有一阶连续偏数，

解所给方程两端对x求偏导，得

整理可得

5657例10.设y=f(x，t)，而t是由方程F(x，y，t)=0所确定的x、y的函数，其中f，F都具有一阶连续偏导数，试证明证法一：首先分析一下变量间的关系。由式（1）可确定一元函数y=y(x)。（1）式两端对x求导得t是由方程F(x，y，t)所确定的x、y的函数，t=t(x，y)，于是有y=f[x，t(x，y)](1)58t是F(x，y，t)=0确定的x、y

的函数，由隐