曲面积分总结

线面积分总结（一）曲线积分与曲面积分（二）各种积分之间的联系（三）场论初步

一、主要内容曲线积分曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义计算定义计算联系联系（一）曲线积分与曲面积分

曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义联系计算一代二换三定一代二定(与方向有关)与路径无关的四个等价命题条件等价命题

曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分定义联系计算一代,二换,三投(与侧无关)一代,二投,三定向(与侧有关)定积分曲线积分重积分曲面积分计算计算计算Green公式Stokes公式Guass公式（二）各种积分之间的联系积分概念的联系定积分二重积分曲面积分曲线积分三重积分曲线积分计算上的联系其中理论上的联系1.定积分与不定积分的联系牛顿--莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系格林公式3.三重积分与曲面积分的联系高斯公式4.曲面积分与曲线积分的联系斯托克斯公式Green公式,Guass公式,Stokes公式之间的关系或推广推广梯度通量旋度环流量散度（三）场论初步练习题二、计算下列各题:1、求òGzds,其中G为曲线ïîïíì===,,sin,costzttyttx)0(0tt££；2、求ò-+-Lxxdyyedxyye)2cos()2sin(,其中L为上

半圆周222)(ayax=+-,0³y,沿逆时针方向

.三、计算下列各题:1、求òòå++222zyxds其中å是界于平面Hzz==及0

之间的圆柱面222Ryx=+；2、

求òòå-+-+-dxdyyxdzdxxzdydzzy)()()(222，其中å为锥面)0(22hzyxz££+=的外侧；3、

òòå++++3222)(zyxzdxdyydzdxxdydz其中å为曲面9)1(16)2(5122-+-=-yxz)0(³z的上侧

.四、证明:22yxydyxdx++在整个xoy平面除去y的负半轴及原点的开区域G内是某个二元函数的全微分,并求出一个这样的二元函数

.五、求均匀曲面222yxaz--=的重心的坐标

.测验题答案25曲线积分习题课一、内容提要及教学要求

1会计算两类曲线积分

(α<β)这里下限α对应于L的起点，上限β对应于L的终点。

26cosα、cosβ的求法：起点A

、终点B分别对应参数α、β。

(当α<β时取正号，

α>β时取负号)2两类曲线积分的关系273格林公式2）D的面积3）注意格林公式应用的条件：P,Q具有一阶连续偏导，L为封闭曲线。若不满足，则应(i)挖洞。(ii)添线成为封闭曲线。28（1）条件（2）应用5全微分求积64个等价条件29与路径无关的四个等价命题条件等价命题30

(1)已知二、典型例题

例1填空L的长度为a313233例5计算顺时针方向

L：y=2－x2上从A(，0)到B(，0)的一段有向弧段。

34例8计算Γ为x2+y2+z2=a2(z≥0)与x2+y2＝ax（a>0）之交线，从x轴正向看去为逆时针方向。

35

(1)已知解：又L关于x轴对称，而sin(xy)关于y为奇函数，所以

于是I=12a。

L的长度为a，求即3x2+4y2=12，所以363738OA3940取l：x2+y2=r2，逆时针方向,则41解：L：例5计算顺时针方向

注：

应充分利用L的方程简化被积函数。

42L：y=2－x2上从A(，0)到B(，0)的一段有向弧段。

解：所以

43

取l为x2+y2=2上从点A(，0)经上半圆到点B(，0)的有向曲线，则或2OxyAB4445解46解：在不含原点的单连域内，任作两条起点为A终点为B的光滑曲线C1、C2。

再补充一条光滑曲线C3使C1+C3和C2+C3成为包围原点的正向曲线（如图所示）

C2C3OC1ABxy则由题设知

所以有

47由C1、C2的任意性知，在不含原点的单连通域内，该曲线积分与路径无关。

（2）由（1）知，在(x，y)≠(0，0)时，应恒有即

即

取L：x2+2y2=1，取逆时针方向。则48起点对应θ=0，终点处θ=2π

例8计算θOxy所以

解：

Γ为x2+y2+z2=a2(z≥0)与x2+y2＝ax（a>0）之交线，从x轴正向看去为逆时针方向。49

Γ是用y=z去截x2+y2+z2=1所得截痕，从z轴看去沿逆时针方向。

解：Γ在xOy平面上的投影曲线L为x2+2y2=1（z=0），取逆时针方向。

所以Γ的参数方程为：

起点