泰勒(Taylor)公式课件

3.3泰勒(Taylor)公式3.3.3基本初等函数的泰勒公式3.3.2泰勒中值定理3.3.1泰勒多项式前面讲微分时，我们有不足:1、精确度不高；2、误差不能定量估计.希望：用较高次多项式Pn(x)近似表示f(x),使Pn(x)在点x0处与f(x)有相同的函数值，一阶导数值，直至n阶导数值，并找出误差公式。3.3.1泰勒多项式设Pn(x)=a0+a1(x－x0)+a2(x－x0)2

+…an(x－x0)n

（1）（2）k=0，1，2，…，n

（3）式就是我们要找的多项式。称之为函数在点处的次泰勒多项式。

于是（3）下面估计误差：3.3.2泰勒(Taylor)中值定理（4）证明:2．关于泰勒公式的进一步认识(1)

如果n=0，则泰勒公式变为拉格朗日中值公式：

ξ位于x与x0之间

所以泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广

(2)

误差估计近似表达f(x)时,误差为|Rn(x)|.如果对某个固定的n，|f（n+1）(x)|在(a,b)内有界（≤M）.若以（n次泰勒多项式）则有于是有

——n阶泰勒公式的佩亚诺余项

这样就有

（5）

从而（5）式的作用：在x0的附近(|x－x0|<<1)讨论f（x）的定性类性质时，特别是考察x→x0时与f（x）有关的极限时用到（5）式。

3.麦克劳林公式(6)式(7)式分别叫做f(x)的带拉格朗日，佩亚诺余项的n阶麦克劳林公式。当x0=0时，泰勒公式变形为

（6）其中ξ=θx，0<θ<1（7）或解代入公式,得3.3.3基本初等函数的麦克劳林公式例1求下列基本初等函数的麦克劳林公式解：取n=2m

，则类似可得其中其中已知其中类似可得以上求函数的泰勒展开式的方法是直接法。例2

求f（x）=tanx

的二阶、三阶麦克劳林公式。解f（x）=tanx

的三阶(佩亚诺余项)麦克劳林公式。此题所用的方法称为间接展开法。例3解解可利用泰勒公式(带佩亚诺余项的麦克劳林公式)求极限泰勒公式可用于无穷小的阶的估计可利用泰勒公式求近似值例7利用四阶泰勒公式求e的近似值，并估计误差.解第3章

第一次习题课一、内容与要求

1掌握几个重要定理

费马定理，罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理3掌握函数f(x)的带拉格朗日，佩亚诺余项的n阶泰勒公式（麦克劳林公式）的展开。二、典型例题题型1：求极限(2)解解解法一：先求:

原极限解法二：原极限(4)解：属1∞型极限问题所以原极限=a1a2…an

(5)问f(x)在x=0处是否连续？解：所以f(x)在x=0处连续。(6)．

设f(x)二阶可导，求解：由f(x)二阶可导，知f(x)连续，如果再用洛必达法则，有，所以此极限是否存在无法判断下一步应利用二阶导数定义：题型2：中值等式的证明小结：用罗尔定理证明微分中值等式的一般方法

（1）

将欲证等式写成g(ξ)=0的形式（2）

观察分析能否将g(ξ)或g(ξ)·h(ξ)(h(ξ)应是一非零因子)看成某函数F(x)在x=ξ点的导数.（3）

检验辅助函数F(x)在所论区间上是否满足罗尔定理的条件，如满足则定理得证。常用辅助函数：xk

f(x)，eαx

f(x)，f(x)eg(x)，f(x)g(x)(x－x0)k

f(x)，(3)设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，证明：存在一点ξ,

∈(a,b)使证在[a，b]上由拉格朗日中值定理得在[a，b]上由柯西中值定理得由(1),(2)得在[a，b]上由柯西中值定理得证(5)设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，

f(a)=f(b)=1试证明：存在点ξ,

∈(a,b)使(6)总习题第6题类似于泰勒公式的证明题型3：证明恒等式所以f（x）=Cex

，再由f（0）=1C=1，所以f（x）=ex

。题型4：根(零点)的判别

题型5：不等式的证明例证明当x>1时，ex＞ex

。证明：令f(t)=et－et，当x>1时，f(t)在[1,x]上满足拉格朗日定理的条件,依定理存在ξ∈(1,x）,使而eξ－e＞0，x

－1＞0，于是有

ex－ex＞0，

即ex＞ex

（x＞1）题型6：有关泰勒公式(麦克劳林公式)的题目1)求函数f(x)的带拉格朗日，佩亚诺余项的n阶泰勒公式（麦克劳林公式）的展开2)求利用函数f(x)的佩亚诺余项的n阶麦克劳林展开求极限3)泰勒公式用于无穷小的阶的估计也可用洛比达法则

例1f（x）在x=0的某邻域内二阶可导，且有求解由题设可得原式左端=所以有由此可得4)泰勒公式用于求函数在某点的各阶导数5)泰勒公式用于证明(2)设f（x）在(a,b)内二阶可导，且证明：对于(a,b)内任意选定的两点x1、x2，当x1=x2时结论当然成立。当x1≠x2时，不妨设x1<x2。这里记x0=(1－t)x1+tx2，由于0<t<1，知x0∈(x1，x2)由泰勒公式及（1）同理（2）

证明对于(a,b)内任意两点x1、x2及0<t<1，

有f[(1－t)x1+t

x2]

≤(1－t)f(x1)+tf(x2)（1）×(1－t)+（2）×t，有命题得证。证明：由题设知f(x)在[0，1]上的最小值－1在(0，1)内取得。(3)

设f(x)在[0，1]上连续，在(0