2027届新高考物理热点精准复习机械振动

2027届新高考物理热点精准复习

机械振动振动是波的起点,波是振动的远方——在叠加与干涉中,奏响解题的交响曲!真题解码

(2024重庆,10,5分)(多选)一列沿x轴传播的简谐波,在某时刻的波形图如图甲所示,一平衡位置与坐标原

点距离为3米的质点从该时刻开始的振动图像如图乙所示,若该波的波长大于3米。则()真题试练BDA.最小波长为

mB.频率为

HzC.最大波速为

m/sD.从该时刻开始2s内该质点运动的路程为

cm解析根据题图乙可知,题中描述的M质点(平衡位置与坐标原点距离为3米的质点)t=0时刻位移为

cm,在t=0时刻之后的临近时刻(Δt趋近于0),M质点位移大于

cm,可知t=0时刻M质点速度方向向上。已知波长大于3m,则可在题图甲中标出位移为

cm的质点P、Q为M质点的两种可能性,如图所示,根据题图甲可写出波的函数方程为y=sin

。若波沿x轴正方向传播,根据“同侧法”(在质点处画振动速度矢量与波速矢量,两个矢量在波形同一侧)可知Q为M质点,结合题图甲,将y=

cm代入波的函数方程可知此时x=

λ,又根据题目信息已知x=3m,可得波长λ=9m;同理可知,若波沿x轴负方向传播,则P为M质点,结合题图甲,将y=

cm代入波的函数方程可知x=

λ',又根据题目信息已知x=3

m,可得波长λ'=18m,A错误。根据题图甲可知,各质点振动的振幅A=1cm,则各质点的振动方程可写

为y=sin(ωt+φ)(cm);将题图乙中的特殊点坐标(0,

)和(2,0)代入振动方程,可得描述M质点的振动的物理量,有φ=

,ω=

,再根据ω=

=2πf得T=2.4s,f=

Hz,B正确。根据v=

,可得v=3.75m/s,v'=7.5m/s,C错误。根据题图乙计算可得该质点在2s内运动的路程为s=

cm+3cm=

cm,D正确。

探究1

拓展设问若本题情境和已知信息不变,请分析以下设问。①设问1:比较图中质点P与质点Q的加速度大小。

思维探秘②设问2:从t=0时刻经过Δt=

T的时间,波传播的距离为多少?③设问3:若在x轴上介质的右端有另一个波源产生沿x轴负方向传播的周期为1.2s、振幅为1cm的简谐

横波,两列波相遇能否发生干涉简谐横波?④设问4:题图甲所示时刻为0时刻,若波沿x轴正方向传播,波源在x=0位置,画出t=

T时刻的波形图。答案①由波形图及图像的对称性可知,质点P与质点Q的位移大小相等,根据F回=-kx可知,回复力大小

与位移大小成正比,所以F回大小相等,再由牛顿第二定律F回=ma可知,两质点的加速度大小相等。②根据波速公式v=

,可知Δs=vΔt,代入波速和时间可得Δs为11.25m或22.5m。③两列波发生干涉的条件为频率相等、振动方向相同、相位差恒定,由题可知,两个波源的振动频率不

相等,不能形成干涉现象。④在绘制波形图时可用描特殊点(即画出0时刻处于波峰、波谷、平衡位置的质点经过

T时间后的各自位置)的方法或者是依据波形平移(波形向右传播的距离s=vt=

×

T=

)的方法,t=

T时刻的波形图如图中实线所示。探究2

函数表征若以呈如图所示波形的时刻为0时刻,已知坐标原点处的质点P0的质量为m,此时P0振动方向向下,振动周

期为T,振幅为A。

①设问1:写出P0的x-t函数关系式。②设问2:写出P0的v-t函数关系式。③设问3:写出P0的F回-t函数关系式。答案①对于P0,分析可知其初始相位为π,所以x=Asin

。②根据速度的定义式,有v=

,可知P0的速度-时间函数为v=

Acos

。③根据加速度的定义式,有a=

,可知P0的加速度-时间函数为a=-

Asin

,回复力F回=ma,则F回=-m

Asin

[点拨:可对比公式F回=-m

x,其中k=m

]。互动互探通过上述探究,你还可以写出哪些函数关系式?互动点拨求出研究对象运动的位移、速度随时间的变化关系后,关于经典力学的物理量都可以很容易地表达出

来,如动能、动量、势能与时间的函数关系式等,请自主推演探究。探究3

举一反三一题多问深挖透,考点拿捏快准稳!在如图所示的xOy坐标系中,一条弹性绳沿x轴放置,图中小黑点代表绳上的质点,相邻质点的间距为a。t

=0时,x=0处的质点P0开始沿y轴做周期为T、振幅为A的简谐运动。t=

T时的波形如图所示。

(1)t=0时,质点P0的运动方向如何?(2)t=

T时,质点P4的速度为多大?(3)比较t=

T时质点P1与质点P3的加速度大小。(4)该列绳波的波速为多大?(5)若弹性绳足够长,则从t=

T时刻到t=2T时刻,波形传播的距离为多大?稳基础

(6)t=

T时,质点P3和P5相位是否相同?(7)从t=

T时刻到t=2T时刻,质点P0、P1、P2的路程均为5A吗?(8)若绳右端与P0同时开始沿y轴做周期为T、振幅为2A的简谐运动,能否发生干涉?叠能进阶解析(1)由t=

T时的波形图可知,波刚好传到质点P6,根据波的形成机理(波源带动相邻的质点振动,这个质点又带动更远一些的质点,直至绳上的质点都跟着振动起来),可知此时质点P6受其左侧质点

带动,所以此时P6沿y轴正方向运动,又因为所有质点的起振方向均与波源起振的方向相同,所以t=0时,质

点P0沿y轴正方向运动。(2)由题图可知,在t=

T时质点P4处于正的最大位移处,故速度为零。(3)由t=

T时的波形图及图像的对称性可知,质点P1与质点P3的位移大小相等,根据F回=-kx可知回复力大小与位移大小成正比,所以F回大小相等,再由牛顿第二定律F回=ma可知,两质点的加速度大小相等(但是

方向相反)。(4)由题图可知,P2与P6两质点的平衡位置之间的距离为半个波长,即

=4a,解得λ=8a,再根据波速公式v=

可知v=

。(5)由t=

T时刻到t=2T时刻,Δt=

T,根据波速公式v=

,可知Δs=vΔt,可得Δs=10a。(6)x=Asin(ωt+φ)中(ωt+φ)叫作相位,代表了做简谐运动的物体此时正处于一个运动周期中的哪个状

态。若两个质点振动的相位相同,应总是向同一方向运动,同时经过平衡位置,且同时到达同一侧的最

大位移处。而根据波的形成机理,由题图可知,在t=

T时,质点P3沿y轴负方向运动,质点P5沿y轴正方向运动,故两个质点的相位不相同。(7)处于波峰、波谷、平衡位置的特殊质点,每经过

T走过的路程为A,那么Δt=

T的时间走过的路程为5A,而P1不是上述所说的特殊质点,从t=

T时刻开始经过一个周期P1走过的路程为4A,即回到t=

T时刻的位置,再经过

走过的路程不为A,故从t=

T时刻到t=2T时刻,P1走过的路程不为5A。(8)两列波发生干涉的条件为频率相同、振动方向相同、相位差恒定,两个波源的周期相等,则频率相等,相位差恒定,但振动方向未知,若绳右端起振方向向上,则能形成干涉现象,若绳右端起振方向向下,则

不能形成干涉现象。对机械振动与机械波相关的现象,我们首先要探究其产生的原因与条件,进而揭示其内在规律,最

后对其发展趋势进行预测与拓展。在“真题解码”中,我们对本单元的核心知识与科学方法有了初步认知。本单元是对质点运动与

相互作用观念的深度探究,机械振动属于加速度大小和方向均变化的运动,而机械波则是介质中多质点

机械振动与相互作用的结果。分析机械振动的核心思维是借助分析位移-时间图像或速度-时间图像,

来获取物体运动规律。在分析弹簧振子及单摆运动时,综合运用力与运动的关系、做功与能量转化的

关系、机械能守恒定律等理论,研究其受力特点和能量特点。分析机械波的核心思维在于构建模型,运

用图像法和解析法来解释波动现象、解决波动问题。高考中这部分呈现的问题主要有两类:一是考查

机械振动,通常结合振动图像与解析式,获取周期、振幅、相位等振动特征信息,从牛顿运动定律、机

械能守恒、功能关系等角度分析质点运动与受力;二是考查机械波,常结合波的图像、振动图像以及波素能进阶速公式,获取周期、波长、波速等波动特征信息,进而分析解决机械波的传播、衍射、干涉等问题。为助力备考复习,让知识梳理更清晰、理解更透彻,特设立两个专题进行详细探究。专题10机械振动目录(2024甘肃,5,4分)如图为某单摆的振动图像,重力加速度g取10m/s2。下列说法正确的是

()C解法探秘真题试练1:简谐运动A.摆长为1.6m,起始时刻速度最大B.摆长为2.5m,起始时刻速度为零C.摆长为1.6m,A、C点的速度相同D.摆长为2.5m,A、B点的速度相同解析由单摆的振动图像可知振动周期为T=0.8πs,由单摆的周期公式T=2π

得摆长为l=

=1.6m,B、D错误。x-t图像的图线斜率表示速度,故起始时刻速度为零,且A、C点的速度相同,A、B点的速度

大小相等,方向不同,A错误,C正确。

探究1

拓展设问①设问1:单摆的回复力由什么力充当?②设问2:A、B两点对应的回复力是否相同?③设问3:t=0.2πs时刻摆球所受合力为零吗?④设问4:从0.2πs时刻到0.6πs时刻,动能和势能分别如何变化?解法重构答案①如图所示,重力沿运动轨迹切线方向的分力F=mgsinθ充当单摆的回复力。

②由单摆的振动图像可知A、B两点对应的位移大小和方向均相同,再根据F回=-kx可知A、B两点对应的

回复力大小和方向均相同。③t=0.2πs时,摆球运动到最低点,做圆周运动,回复力为零,但竖直方向做圆周运动所需的向心力由拉力

和重力的合力提供,所以合力不为零。④从0.2πs时刻到0.6πs时刻,摆球的位移先增大后减小,速度先减小后增大,所以势能先增大后减小,动能先减小后增大,摆球机械能守恒。探究2

图像表征请画出单摆的速度随时间变化的图像。答案由于x-t图线的斜率表示速度,由题图可得单摆运动的速度随时间变化的图像。也可以根据解析

式x=Acos

,结合速度定义式以及求导运算推理得出v=-

Asin

,据此绘制相应图像如图所示。

1.情境变异·单摆→弹簧振子

(2024浙江1月,10,3分)如图1所示,质量相等的小球和点光源,分

别用相同的弹簧竖直悬挂于同一水平杆上,间距为l,竖直悬挂的观测屏与小球水平间距为2l,小球和光

源做小振幅运动时,在观测屏上可观测小球影子的运动。以竖直向上为正方向,小球和光源的振动图像

如图2所示,则()

A.t1时刻小球向上运动B.t2时刻光源的加速度向上D探究3

同类竞探C.t2时刻小球与影子相位差为πD.t3时刻影子的位移为5A解析根据题图2可知,光源的振动周期和小球的振动周期是相同的。t1时刻小球经过平衡位置,向下运

动,A错误;t2时刻光源的位置在正的最大位移处,所以回复力竖直向下,加速度竖直向下,B错误;t3时刻,设

小球的影子的最大位移为x,示意图如图,

=

,即x=5A,D正确;小球的振动与影子是时刻同步的,没有相位差,C错误。

2.条件变异·x-t→a-t

(2024北京,9,3分)图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加

速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况,以向上为正方向,得到手机振动过程中加速度a随时间t

变化的曲线为正弦曲线,如图乙所示。下列说法正确的是

()

A.t=0时,弹簧弹力为0B.t=0.2s时,手机位于平衡位置上方C.从t=0至t=0.2s,手机的动能增大D.a随t变化的关系式为a=4sin(2.5πt)m/s2

D解析

t=0时,手机加速度a=0,手机所受弹簧的弹力F等于手机的重力mg,A错误。t=0.2s时,手机的加速

度方向向上,由振动特点a与x方向相反可得手机位于平衡位置的下方,B错误。从t=0至t=0.2s,手机由平

衡位置运动至最低点,速度由最大值减为零,手机的动能减小,C错误。设a随t变化的关系式为a=Asin(ω

t+φ),其中ω=

rad/s=2.5πrad/s,am=4m/s2,φ=0,可得a=4sin(2.5πt)m/s2,D正确。3.情境变异·简单→复杂

(2024浙江6月,9,3分)如图所示,不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1

kg的小铁球,两端A、B悬挂在倾角为30°的固定斜杆上,间距为1.5m。小球平衡时,A端细线与杆垂直;当

小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时,等效于悬挂点位于小球重垂线与AB交点的单摆,重力加

速度取10m/s2,则

()

A.摆角变小,周期变大B.小球摆动周期约为2sC.小球平衡时,A端拉力为

NBD.小球平衡时,A端拉力小于B端拉力解析由单摆的周期公式T=2π

可知,单摆的周期与摆角大小无关,A错误。由几何关系可知(提示:细线穿过小铁球,则小铁球两侧细线与竖直方向夹角相等),小铁球两侧细线与竖直方向的夹角均为30°,由L=

m可得单摆的摆长L=1m;由T=2π

可得T≈2s,B正确。对小铁球受力分析如图所示,由受力平衡可得FA=FB=

mg=

N,C、D错误。

(2021浙江1月,15,2分)(多选)为了提高松树上松果的采摘率和工作效率,工程技术人员利用松果的惯性

发明了用打击杆、振动器使松果落下的两种装置,如图甲、乙所示。则

()真题试练2:受迫振动ADA.针对不同树木,落果效果最好的振动频率可能不同B.随着振动器频率的增加,树干振动的幅度一定增大C.打击杆对不同粗细树干打击结束后,树干的振动频率相同D.稳定后,不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同解析根据共振的条件(当驱动力的频率等于固有频率时,物体做受迫振动的振幅达到最大值,这种现

象称为共振),当振动器的频率等于树木的固有频率时产生共振,使振幅达到最大,此时落果效果最好,而

不同的树木的固有频率不同,针对不同树木,落果效果最好的振动频率可能不同,A正确;当振动器的振

动频率等于树木的固有频率时产生共振,此时树干的振幅最大,则随着振动器频率的增加,树干振动的

幅度不一定增大,B错误;打击结束后(即不再施加驱动力),树干受阻力,做阻尼振动,阻尼振动的频率与固

有频率有关,粗细不同的树干,固有频率不同,则打击结束后,粗细不同的树干阻尼振动频率可能不同,C

错误;根据受迫振动特点(物体做受迫振动达到稳定后,物体振动的频率等于驱动力的频率,与物体的

固有频率无关),树干在振动器的振动下做受迫振动,则稳定后,不同粗细树干的振动频率始终与振动

器的振动频率相同,D正确。

探究1

拓展设问①设问1:如何测定树木的固有频率?②设问2:打击杆对不同粗细树干打击结束后,树干的振动幅度如何变化?解法重构答案①改变驱动力频率,当树木振幅最大时,树木的固有频率等于驱动力频率,即通过驱动力频率可

知树木固有频率。②打击结束后(即不再施加驱动力),树干受阻力,做阻尼振动,树干的振动幅度越来越小。探究2

图像表征请大致画出共振曲线。

答案共振曲线如图所示。

1.情境变异·不同摆长如图所示,在一根张紧的水平绳上挂a、b、c、d四个摆,其中摆长关系

为lc<la=ld<lb,让d先摆动起来后,其他各摆随后也跟着摆动起来。下列说法正确的是()

A.稳定后四个摆的周期大小Tc<Ta=Td<TbB.稳定后四个摆的振幅一样大C.稳定后a摆的振幅最大D.d摆摆动过程中振幅保持不变C探究3

同类竞探解析让d先摆动起来后,其他各摆随后也跟着摆动起来做受迫振动,稳定后四个摆的周期均等于d摆的

周期,A错误;由于a摆的摆长与d摆的摆长相等,二者的固有频率相同,二者发生共振,则稳定后a摆的振幅

最大,B错误,C正确;d摆摆动过程中,有阻力做负功,由能量守恒定律可知,d摆的振幅变小,D错误。2.情境变异·控制变量图甲为共振筛基本结构图,由四根弹簧和一个电动偏心轮组成,当偏心

轮每转一周,就给筛子一个周期性变化的驱动力。若增大电压,可使偏心轮转速提高;增加筛子质量,可

增大筛子固有周期。图乙是该共振筛的共振曲线。现在某电压下偏心轮的转速是54r/min,下列说法

正确的是()

A.质量不变时,增大电压,图乙中振幅的峰值会往右移B.电压不变,适当增加共振筛的质量,可以增大其振幅C.质量不变时,适当减小电压,可以增大共振筛的振幅CD.突然断电,共振筛不会立即停下来,频率立即变为0.8Hz解析现在某电压下偏心轮的转速是54r/min,偏心轮振动的频率为f=

Hz=0.9Hz,突然断电,共振筛不会立即停下来,频率也不会立即变为0.8Hz,D错误;由共振曲线可知,共振筛的固有频率为0.8Hz,质量

不变时,增大电压,共振筛的固有频率不变,则题图乙中振幅的峰值不会左右移动,A错误;电压不变,适当

增加共振筛的质量,则共振筛的固有周期增大,固有频率减小,使得固有频率与驱动力频率的差值变大,

共振筛的振幅减小,B错误;质量不变时,适当减小电压,会减小偏心轮的转速,驱动力频率减小,使得固有

频率与驱动力频率的差值变小,共振筛的振幅增大,C正确。机械振动是运动的一种特殊形式,主要研究的内容仍然是力和运动的关系,所以仍可从动力学角

度、运动学角度、能量角度这三大角度进行分析。从动力学角度看,物体做机械振动是因为回复力作用,回复力与位移的特定关系(如简谐运动中回复力

与位移成正比且方向相反)决定了振动的基本性质。弹簧振子(水平面上)所受回复力由弹簧弹力提供,

单摆的回复力由重力沿切线方向的分力提供,这是理解振动产生和维持的关键,也是构建弹簧振子、单

摆等理想模型的基础。在运动学方面,机械振动属于变加速运动,其位移、速度、加速度随时间发生周期性变化,通过位移-时

间、速度-时间等图像,能清晰展现这些物理量的变化规律,为分析振动过程提供直观依据。解法密钥底层逻辑能量角度,简谐运动中系统机械能守恒,动能和势能周期性地相互转化,这一守恒规律不仅可用于预测

质点在不同位置的速度、位移等,还能从能量变化的角度理解振动的全过程。

类比迁移简谐运动与圆周运动存在紧密联系。它们的运动学特征相似,都具有周期性,速度和加速度均随时间周

期性变化。从运动的合成与分解角度看,匀速圆周运动在其某一直径方向上的投影就是简谐运动。简

谐运动的位移随时间变化的规律可以用正弦函数或余弦函数来表示,如x=A·sin(ωt+φ)。而匀速圆周运

动在直角坐标系中,研究对象所在位置的x轴坐标或y轴坐标随时间的变化规律同样可以用这样的三角

函数来描述,其分速度和分加速度的变化规律与简谐运动类似,这体现了二者在数学描述上的一致性。示例:

思维方法如图所示,质点m(该质点的质量也为m)从P点开始,以角速度ω绕圆心O做半径为A的匀速圆周运动,建立

直角坐标系xOy,OP连线与y轴夹角为φ。因为质点m经过t时间后其与圆心的连线和y轴的夹角等于ωt+

φ,所以,质点m在x轴上的投影相对于圆心O的位移x就等于Asin(ωt+φ),即x=Asin(ωt+φ),而质点m做匀速

圆周运动的向心力F=mω2A,该力在x轴方向上的分力是Fx=-mω2·Asin(ωt+φ),其中负号表示方向沿x轴负

方向。综合可得Fx=-mω2x。令k=mω2,则Fx=-kx。这就是说,质点m在x轴方向上受到的力与位移成正比且

方向始终指向平衡位置。我们知道,如果受力有这样的特征,可以认为质点m在x轴上的分运动为简谐运

动,其圆频率ω等于匀速圆周运动的角速度,周期T=

=2π

。

考查形式

高考对于机械振动的考查题型多数为选择题,经常以结合振动图像与解析式的形式出现。在知识点上,

重点考查获取周期、振幅、相位等振动特征信息。分析角度多元,从动力学角度研究质点的受力与运

动状态;从能量角度分析做功和能量转化情况;从动量、冲量角度探讨质点在运动过程中的动量变化,

以此全面考查学生对机械振动中质点运动与相互作用的理解。常见情境

弹簧振子和单摆这两种经典物理模型频繁出现,通过设置不同的初始条件,如给定初位移、初速度等,

考查学生对简谐运动规律的掌握。也有一些情境是让学生运用机械振动知识解决实际生活问题,体现

理论与实际的结合。考向探秘思维核心

在模型建构上,把实际振动系统简化为弹簧振子、单摆等理想模型,抛开次要因素,专注分析简谐运动

的关键物理量与规律。利用形象化思维绘制x-t、v-t图像直观呈现质点运动特征,解决各类运动问题。

能量守恒思维基于简谐运动中机械能守恒,借分析动能与势能的相互转化来求解质点的速度、位移

等。类比迁移思维则是把机械振动和圆周运动类比,比如用圆周运动投影理解简谐运动,实现知识迁

移。1.(2024福建,2,4分)如图(A),装有砂粒的试管竖直静浮于水中,将其提起一小段距离后释放,一段时间内

试管在竖直方向的振动可视为简谐运动。取竖直向上为正方向,以某时刻作为计时起点,试管振动图像

如图(B)所示,则试管()

A.振幅为2.0cmB解法特训图(A)

图(B)B.振动频率为2.5HzC.在t=0.1s时速度为零D.在t=0.2s时加速度方向竖直向下解析根据题图(B)可知,试管振幅为1.0cm,周期T=0.4s,则频率f=

=

Hz=2.5Hz,A错误,B正确;根据题图(B)可知,t=0.1s时试管处于平衡位置,此时速度最大,C错误;根据题图(B)可知,t=0.2s时试管处于负

向最大位移处,则此时加速度方向竖直向上,D错误。2.一个竖直圆盘转动时,固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向上下振动,T形支架下面系

着一个弹簧和小球组成的振动系统,小球浸没在水中。当圆盘静止时,让小球在水中振动,其振动的频

率约为3Hz。现在圆盘以4s的周期匀速转动带动小球上下振动。下列说法正确的是

()

A.圆盘上的小圆柱转到圆心等高处时,T形支架的瞬时速度为零B.小球振动过程中,小球和弹簧组成的系统机械能守恒C.小球振动达到稳定时,它振动的频率是0.25HzD.若圆盘以2s的周期匀速转动,小球振动达到稳定时,振幅比原来小C解析小圆柱转到圆心等高处时,小圆柱竖直方向的速度不为零,T形支架的瞬时速度也不为零,A错误;

圆盘转动,通过小圆柱带动T形支架上下振动,T形支架又通过弹簧使小球做受迫振动,所以小球振动过

程中,小球和弹簧组成的系统机械能不守恒,B错误;经过一段时间后,小球振动达到稳定时,它振动的频

率和驱动力频率相同,即f=

=0.25Hz,C正确;圆盘以2s的周期匀速运动,驱动力频率为f'=

=0.5Hz,驱动力频率更接近小球振动的固有频率,所以振幅比原来大,D错误。3.(2025湖北,9,4分)(多选)质量均为m的小球a和b由劲度系数为k的轻质弹簧连接,小球a由不可伸长的细

线悬挂在O点,系统处于静止状态,如图所示。将小球b竖直下拉长度l后由静止释放。重力加速度大小

为g,忽略空气阻力,弹簧始终在弹性限度内。释放小球b后

()

A.小球a可能会运动B.若小球b做简谐运动,则其振幅为

C.当且仅当l≤

时,小球b才能始终做简谐运动D.当且仅当l≤

时,小球b才能始终做简谐运动AD解析对于小球a,其受到线的拉力、弹簧的弹力和重力,当小球b向上运动到最高点时,弹簧可能处于

压缩或伸长状态,若弹簧处于压缩状态且弹力大小大于小球a的重力大小,则小球a可能会向上运动,A正

确;初始状态系统静止时b所在的位置是b的平衡位置,下拉l后释放,b做简谐运动的振幅为l,不是

,B错误;b做简谐运动时,弹簧不能处于压缩状态(否则不符合简谐运动规律),小球b恰好做简谐运动时,则小

球a恰好处于静止状态,当小球b运动到最高点时,弹簧处于压缩状态,细线对a的拉力恰好为0,根据平衡

条件,对小球a有F弹高=mg,小球b做简谐运动,小球b在最高点和最低点所受合力等大反向,小球b在最高点

所受合力的大小F合高=F弹高+mg,在最低点所受合力大小F合低=F弹低-mg,由题意知F弹低=mg+kl,F合高=F合低,联立

解得l=

,所以当且仅当l≤

时,小球b才能始终做简谐运动,C错误,D正确。审题指导将小球a、b及弹簧组成的系统抽象为“悬挂式弹簧振子模型”。静止时,弹簧因小球b受重力而伸长,b在平衡位置时弹簧伸长量为x0,满足kx0=mg;释放b后,细线是否始终绷直取决于a所受合力的方向。易错警示(1)对小球a运动条件判断不清:易忽略弹簧可压缩情况,错误地认为弹簧始终拉伸,a受力恒平

衡。实际若l过大,b到最高点时弹簧压缩,a受到的弹簧弹力大于其重力时,a发生运动,则需关

注弹簧弹力大小及方向变化。(2)简谐运动振幅理解偏差:误将“偏离平衡位置的最大距离”与“往返位移的一半”混淆,b

从下拉l处释放,振幅就是l,不是

。(3)简谐运动临界条件错误:易错误认为只要l≤

,b就做简谐运动。实际需保证弹簧处于压缩状态时,弹力大小小于或等于a的重力,推导得临界条件为l≤

,要结合弹簧弹力与形变量关系、平衡条件综合分析。4.(2024海南,12,4分)(多选)如图,真空中有两个点电荷,电荷量均为-q(q>0),固定于相距为2r的P1、P2两

点,O是P1P2连线的中点,M点在P1P2连线的中垂线上,距离O点为r,N点在P1P2连线上,距离O点为x(x≪r),已

知静电力常量为k,则下列说法正确的是()

A.P1P2连线的中垂线上电场强度最大的点到O点的距离为

rB.P1P2连线的中垂线上电场强度的最大值为

C.在M点放入一电子,从静止释放,电子的加速度一直减小D.在N点放入一电子,从静止释放,电子的运动可视为简谐运动BCD解析设中垂线上某点与P1(或P2)的连线与P1P2连线的夹角为θ,0≤θ<

,则该点处的场强E=2

sinθ=

,解法一令f(θ)=sinθcos2θ,则f'(θ)=cos3θ-2sin2θcosθ,当f'(θ)=0,解得tanθ=

,此时f(θ)取最大值,f(θ)max=

,所以中垂线上电场强度最大的点到O点的距离为d=rtanθ=

r,最大值Emax=

,A错误,B正确。解法二令y=sinθcos2

θ=sinθ(1-sin2

θ)则y2=sin2

θ(1-sin2

θ)2=

×2sin2

θ(1-sin2

θ)2根据基本不等式可知,当2sin2

θ=1-sin2

θ即sin2

θ=

时,y有最大值ymax=

,将ymax代入E=

,解得Emax=

,A错误,B正确。因为r>

r,所以在M点静止释放一电子后,电子受到的电场力向上且一直减小,故加速度一直减小,C正确。在N点静止释放电子,设电子离O点距离为x'时,其所受到的电场力大小为F=

-

=kqe

=kqe

,因为x'≪r,所以电场力大小F≈kqe

,方向指向O点(点拨:x'为0时,F=0,即O点为平衡位置),电场力