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文档简介

第三章中值定理与导数应用本章导数应用包含：2、利用导数讨论函数性态（3.3—3.5节）3、导数在经济中应用（3.6节）1、利用导数求函数极限(3.2节)中值定理第1页第三章中值定理与导数应用中值定理是微分学理论基础,它把函数改变量同函数导数联络起来,使得我们能够利用导数来研究函数及其图形性态。本章我们将学习：●中值定理●洛必达法则●函数单调性、极值与最值计算●曲线凹凸判定●函数图形作法●经济应用第2页罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理中值定理

§3.1中值定理泰勒定理第3页我们先经过几何图形直观了解罗尔定理:3.1.1罗尔(Rolle)定理

图1图2（1）连续；（2）可导；（3）端点处函数值相等。第4页怎样证实？一、定理3.3.1(罗尔定理)函数f(x)在最大值点或最小值点处一阶导数为零。证实关键点第5页证证实关键点：f(x)在最大值点或最小值点处一阶导数为零。故M和m不可能同时在区间端点a,b处取到，第6页由极限不等式性质知:证毕分母0分子0分式0第7页注：(1)罗尔定理三个条件是充分条件，只要三个条件满足，就确保结论成立，若定理中三个条件缺乏其中任何一个，定理结论不一定成立.以下列图:(2))()(bfaf¹图四不可导图三第8页解：第9页注意与零点定理应用区分三、应用二、几何意义第10页解：例2第11页例3设为n次多项式，没有实根，试证实最多只有一个实根.证设最少有两个不等实根，设为，不妨设因在上连续，在内可导，且由罗尔定理知，最少存在一点使得方程根，即是与题设矛盾.所以，最多只有一个实根.第12页证：例4第13页

罗尔(1652-1719)是法国数学家.1652年4月21日生于昂贝尔特,1719年11月8日卒于巴黎.罗尔在数学上成就主要是在代数方面,专长于丢番图方程研究.罗尔于1691年在题为《任意次方程一个解法证实》论文中指出了：在多项式方程两个相邻实根之间，方程

最少有一个根。但罗尔并没有使用导数概念和符号，后一个多项式实际上是前一个多项式导数，罗尔只叙述了这个结论，而没有给出证实。这个定理原来和微分学无关，因为当初罗尔是微积分怀疑者和极力反对者，他拒绝使用微积分，而宁肯使用繁难代数方法。但在一百多年之后，即1846年，尤斯托.伯拉维提斯将这一定理推广到可微函数,尤斯托.伯拉维提斯还把此定理命名为罗尔定理.第14页第15页依据待证结论结构辅助函数第16页证第17页

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