新人教版七年级数学下册《平面直角坐标系》知识点归纳及例题

新人教版七年级数学下册《平面直角坐标系》知识点归纳及例题同学们，我们之前学习了数轴，知道数轴可以帮助我们确定直线上点的位置。那么，平面上的点，比如我们教室里座位的位置、地图上城市的位置，又该如何精确描述呢？这就需要我们今天要学习的新知识——平面直角坐标系。它就像一座桥梁，将数与形紧密地联系起来，是我们进入更广阔数学世界的重要工具。下面，我们就一起来系统地梳理一下这部分的知识点，并通过例题加深理解。一、有序数对在学习平面直角坐标系之前，我们先来认识“有序数对”。1.定义：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）。这里的“有序”非常关键，它强调了两个数的先后顺序不能随意调换。例如，（3，5）和（5，3）是两个不同的有序数对，它们在特定情境下代表不同的含义。2.作用：有序数对可以准确地表示出一个位置。例题1：如果电影院座位上“5排3号”记作（5，3），那么“3排5号”可记作什么？（7，2）表示的含义是什么？分析与解答：根据题意，“5排3号”中排数在前，号数在后，记作（5，3）。所以“3排5号”应记作（3，5）。（7，2）则表示7排2号。二、平面直角坐标系的构成我们在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，就组成了平面直角坐标系。1.数轴：*水平的数轴称为x轴（或横轴），习惯上取向右为正方向。*竖直的数轴称为y轴（或纵轴），习惯上取向上为正方向。2.原点：x轴与y轴的交点称为原点，记作O（0，0）。3.坐标平面：两坐标轴把平面分成四个部分，每个部分称为象限。*右上方的部分叫做第一象限。*按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限、第四象限。*注意：坐标轴上的点（即x轴、y轴上的点）不属于任何一个象限。例题2：判断下列说法是否正确：（1）平面直角坐标系是由两条互相垂直的直线组成的。（2）坐标平面内的点与有序数对是一一对应的。（3）原点既在x轴上，又在y轴上。分析与解答：（1）错误。平面直角坐标系是由两条互相垂直、原点重合的数轴组成的，不仅仅是直线。（2）正确。坐标平面内的任意一个点，都有唯一的一对有序数对来表示它；反过来，任意一对有序数对，都能在坐标平面内找到唯一的一个点与之对应。（3）正确。原点是x轴与y轴的交点，所以它既在x轴上，又在y轴上。三、点的坐标1.定义：过平面内一点P，分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫做点P的横坐标、纵坐标。有序数对（a，b）叫做点P的坐标，记作P（a，b）。*书写规则：横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开，外面加上小括号。2.如何在坐标系中描出点：已知点的坐标（a，b），在x轴上找到表示a的点，过该点作x轴的垂线；在y轴上找到表示b的点，过该点作y轴的垂线；两条垂线的交点就是所要描出的点。例题3：在平面直角坐标系中，描出下列各点，并指出它们所在的象限或坐标轴：A（3，4），B（-2，3），C（-3，-1），D（2，-4），E（0，5），F（-3，0）。分析与解答：描点步骤：*A（3，4）：先在x轴上找到3，作垂线；在y轴上找到4，作垂线，交点即为A。因为横、纵坐标均为正，所以A在第一象限。*B（-2，3）：x轴-2处垂线，y轴3处垂线，交点为B。横坐标负，纵坐标正，在第二象限。*C（-3，-1）：x轴-3处垂线，y轴-1处垂线，交点为C。横、纵坐标均为负，在第三象限。*D（2，-4）：x轴2处垂线，y轴-4处垂线，交点为D。横坐标正，纵坐标负，在第四象限。*E（0，5）：横坐标为0，在y轴上找到5，所以E在y轴正半轴上。*F（-3，0）：纵坐标为0，在x轴上找到-3，所以F在x轴负半轴上。四、不同位置点的坐标特征掌握坐标平面内不同位置的点的坐标特征，对于解决问题非常重要。1.四个象限内点的坐标特征：*第一象限：（+，+），即横坐标为正，纵坐标为正。*第二象限：（-，+），即横坐标为负，纵坐标为正。*第三象限：（-，-），即横坐标为负，纵坐标为负。*第四象限：（+，-），即横坐标为正，纵坐标为负。2.坐标轴上点的坐标特征：*x轴上的点：纵坐标为0，可表示为（a，0）。*y轴上的点：横坐标为0，可表示为（0，b）。*原点：（0，0）。3.特殊直线上点的坐标特征（拓展）：*平行于x轴的直线上的点：纵坐标相等。*平行于y轴的直线上的点：横坐标相等。例题4：（1）若点M（a+1，2a-1）在第一象限，求a的取值范围。（2）点N（m，n）在第四象限，且|m|=3，|n|=2，求点N的坐标。（3）点P（x，y）满足xy=0，则点P在什么位置？分析与解答：（1）因为点M在第一象限，所以横坐标和纵坐标都为正数。可得：a+1>0且2a-1>0解不等式a+1>0，得a>-1；解不等式2a-1>0，得a>0.5。所以a的取值范围是a>0.5。（2）点N在第四象限，所以m>0，n<0。因为|m|=3，所以m=3（m=-3舍去，因为m>0）；因为|n|=2，所以n=-2（n=2舍去，因为n<0）。所以点N的坐标为（3，-2）。（3）因为xy=0，所以x=0或y=0（或两者都为0）。当x=0时，点P在y轴上；当y=0时，点P在x轴上；当x=0且y=0时，点P是原点。所以点P在坐标轴上（x轴或y轴上）。五、用坐标表示地理位置平面直角坐标系的一个重要应用就是描述地理位置。其一般步骤为：1.建立坐标系：选择一个适当的参照点作为原点，确定x轴、y轴的正方向。通常以向东、向北为正方向。2.确定单位长度：根据实际情况，确定坐标轴上的一个单位长度代表实际距离多少。3.写出坐标：根据物体相对于坐标原点的位置，写出其坐标。例题5：如图（此处假设一个简单情境），某校校园内，教学楼A在实验楼B的正东方向200米处，图书馆C在实验楼B的正北方向150米处。若以实验楼B为原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，1个单位长度代表50米，请写出教学楼A、实验楼B、图书馆C的坐标。分析与解答：以实验楼B为原点，则B的坐标为（0，0）。教学楼A在B的正东方向200米处。因为1个单位长度代表50米，所以200米对应的单位长度是200÷50=4。所以A的横坐标为4，纵坐标为0，即A（4，0）。图书馆C在B的正北方向150米处。150米对应的单位长度是150÷50=3。所以C的横坐标为0，纵坐标为3，即C（0，3）。总结平面直角坐标系是数形结