函数的最值（第2课时）课件高二下学期数学北师大版选择性

作课人：廉文杰北师大版（2019）高中数学选择性必修第二册作课人：廉文杰焦作市外国语中学第二章

导数及其应用第6节

用导数研究函数的性质6.3函数的最值第2课时（共2课时）学

习

目

标目

标重

点难

点1、函数最值在不等式中的应用。2、利用导数求函数零点个数、方程根的个数、两个函数图象交点个数。1、函数最值在不等式中的应用。2、利用导数求函数零点个数、方程根的个数、两个函数图象交点个数。1、函数最值在不等式中的应用。2、利用导数求函数零点个数、方程根的个数、两个函数图象交点个数。新

知

引

入

恒成立问题是指在一定条件下，函数在整个定义域内始终满足某个不等式或等式。这类问题通常出现在高等数学的考试中，特别是在涉及函数性质、极值点、最值等问题时。

需要注意的是，在解决恒成立问题时，要根据所给问题的特点选择合适的方法，并能够在解题过程中依据解题的进程合理地调整解题策略。学

习

新

知恒成立问题的转化：①a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max；a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min②a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min典

例

引

路例1、若∀x∈(0,+∞),不等式ex+λ-lnx+λ≥0恒成立，则实数λ的取值范围是______．

同

步

练

习

B学

习

新

知能成立问题（存在型问题）的转化：①a＞f(x)能成立⇔a＞f(x)min；a＜f(x)能成立⇔a＜f(x)max②a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max典

例

引

路例2、已知函数f(x)=xcosx-sinx，若存在x∈(0,2π)，使得f(x)≤t成立，则实数t的最小值是________.解:由f(x)=xcosx-sinx，得f＇(x)=-xsinx，

当x∈(0,π)时，f＇(x)＜0，故f(x)在(0,π)上单调递减，

当x∈(π,2π)时，f＇(x)＞0，故f(x)在(π,2π)上单调递增，

故当x∈(0,2π)时，f(x)min=f(π)=-π，

而存在实数x∈(0,2π)，使得f(x)≤t成立，

故-π≤t，即实数t的最小值是-π.同

步

练

习练2、已知函数f(x)=x2-2lnx，若关于x的不等式f(x)-m≥0在[1,e]上有实数解，则实数m的取值范围是________．

学

习

新

知①设函数f(x)、g(x)，对任意的x1∈[a,b]，任意的x2∈[c,d]，使

得f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)max②设函数f(x)、g(x)，对任意的x1∈[a,b]，任意的x2∈[c,d]，使

得f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)min典

例

引

路

同

步

练

习练3、已知函数f(x)=alnx-x+1(a＞0)，g(x)=x-lnx，若∀x1,x2∈(0,+∞),f(x1)＜g(x2)恒成立，则实数a的取值范围是______.

学

习

新

知①设函数f(x)、g(x)，对任意的x1∈[a,b]，存在x2∈[c,d]，使

得f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)min，②设函数f(x)、g(x)，对任意的x1∈[a,b]，存在x2∈[c,d]，使

得f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)max典

例

引

路

同

步

练

习

学

习

新

知①设函数f(x)、g(x)，存在x1∈[a,b]，存在x2∈[c,d]，使

得f(x1)≥g(x2)⇔f(x)max≥g(x)min②设函数f(x)、g(x)，存在x1∈[a,b]，存在x2∈[c,d]，使

得f(x1)≤g(x2)⇔f(x)min≤g(x)max典

例

引

路

同

步

练

习练5、函数f(x)=e|x-1|，函数g(x)=lnx-x+a，若存在x1,x2,使得

f(x1)＜g(x2)成立，则a的取值范围是__________．

学

习

新

知①若不等式f(x)＞g(x)在区间D上恒成立⇔在区间D上函数

y=f(x)和图象在函数y=g(x)图象上方。②若不等式f(x)＜g(x)在区间D上恒成立⇔在区间D上函数

y=f(x)和图象在函数y=g(x)图象下方。典

例

引

路

同

步

练

习练6、对x∈D，如果函数F(x)的图像在函数G(x)的图像的下方，则称函数F(x)在D上被函数G(x)覆盖.求证：函数f(x)=x+2lnx在区间x∈(1,+∞)上被函数g(x)=x3覆盖.

学

习

新

知

函数的零点个数问题、方程的根的个数问题、两个图像的交点个数问题通常的解决办法是：利用导数研究函数的性质，从而画出函数的图像，利用图像来解决。典

例

引

路例7、已知f(x)=x3-ax+2有三个零点，则a的范围是________．

同

步

练

习练7、若函数f(x)=aex-x2+3恰有两个不同的零点，则a的取值范围是______.

同

步

练

习全

课

总

结1、

a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max；a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min2、

a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min3、

a＞f(x)能成立⇔a＞f(x)min；a＜f(x)能成立⇔a＜f(x)max4、

a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max5、设函数f(x)、g(x)，∀x1∈[a,b]，∀x2∈[c,d]，使

得f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)max6、设函数f(x)、g(x)，∀x1∈[a,b]，∀x2∈[c,d]，使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)min7、设函数f(x)、g(x)，∀x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，使

得f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)min8、设函数f(x)、g(x)，∀x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)max9、设函数f(x)、g(x)，∃x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，使

得f(x1)≥g(x2)⇔f(x)max≥g(x)min10、设函数f(x)、g(x)，∃x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x)min≤g(x)max11、若不等式f(x)＞g(x)在区间D上恒成立⇔在区间D上函数y=f(x)和图象在函数y=g(