上海大现代材料分析方法课件01晶体结构和X-射线衍射

第一节晶体的特征1.1.1固体的分类1.1.2晶体的宏观特性本节主要内容:1.1.1固体的分类固体晶体:非晶体:准晶体:长程有序不具有长程序的特点,短程有序。有长程取向性，而没有长程的平移对称性。单晶体多晶体至少在微米量级范围内原子排列具有周期性。长程有序:1.固体分类(按结构)§1.1晶体的特征(a)晶体结构的规则网格

非晶体中原子排列不具有长程的周期性，但基本保留了原子排列的短程序，即近邻原子的数目和种类、近邻原子之间的距离(键长)、近邻原子配置的几何方位(键角)都与晶体相近。(b)非晶体结构的无规则网格(c)(c)Penrose拼接图案准晶体具有长程的取向序，但没有长程的平移对称序，可以用Penrose拼接图案显示其结构特点。2.晶体的分类晶体按晶胞分立方晶系六方晶系四方晶系三方晶系正交晶系单斜晶系三斜晶系按对称性分立方体六方体按功能分导体半导体绝缘体磁介质电介质超导体按结合方式分分子晶体离子晶体共价晶体金属晶体氢键晶体晶体所具有的自发地形成封闭凸多面体的能力称为自限性。2.晶体的解理性:晶体沿某些确定方位的晶面劈裂的性质，称为晶体的解理性，这样的晶面称为解理面。1abcd21.1.2晶体的宏观特性1.自限性:晶面的交线称为晶棱，晶棱互相平行的晶面的组合称为晶带，如右图中a，1，b，2。1abcd2互相平行的晶棱的共同方向称为该晶带的带轴，晶轴是重要的带轴。如右图中OO´3.晶面角守恒定律：属于同一品种的晶体，两个对应晶面间的夹角恒定不变。石英晶体：

a、b

间夹角总是141º47´；a、c

间夹角总是113º08´；b、c

间夹角总是120º00´。4.晶体的各向异性在不同方向上，晶体的物理性质不同。由右图可以看出，在不同的方向上晶体中原子排列情况不同，故其性质不同。5.晶体的均匀性晶体中任意两点(在同一方向上)的物理性质相同。6.晶体的对称性:晶体在某几个特定方向上可以异向同性，这种相同的性质在不同的方向上有规律地重复出现，称为晶体的对称性。7.晶体固定的熔点:给某种晶体加热，当加热到某一特定温度时，晶体开始熔化，且在熔化过程中保持不变，直到晶体全部熔化，温度才开始上升，即晶体有固定的熔点。晶体为什么具有这些宏观特性呢?晶体的宏观特性是由晶体内部结构的周期性决定的,即晶体的宏观特性是微观特性的反映。

自限性、晶面角守恒、解理性、晶体的各向异性、晶体的均匀性、晶体的对称性、固定的熔点。晶体的宏观特性：第二节晶体结构本节主要内容:1.2.1晶体结构的周期性1.2.2原胞1.2.3密堆积、配位数和致密度(b)(c)(a)(a)、(b)、(c)为二维晶体结构示意图，它们有何异同?§1.2晶体结构1.2.1晶体结构的周期性所有晶体的结构可以用晶格来描述，这种晶格的每个格点上附有一群原子，这样的一个原子群称为基元，基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。一个理想的晶体是由完全相同的结构单元在空间周期性重复排列而成的。(b)(c)(a)1.基元、格点和晶格

在晶体中适当选取某些原子作为一个基本结构单元，这个基本结构单元称为基元，基元是晶体结构中最小的重复单元，基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。(1)基元(b)(c)(a)

任何两个基元中相应原子周围的情况是相同的，而每一个基元中不同原子周围情况则不相同。(2)晶格晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的点子在空间有规则地做周期性无限分布，通过这些点做三组不共面的平行直线族，形成一些网格，称为晶格(或者说这些点在空间周期性排列形成的骨架称为晶格)。(b)(c)(a)晶格是晶体结构周期性的数学抽象，它忽略了晶体结构的具体内容，保留了晶体结构的周期性。用矢量表示格点的排列。(3)格点晶格中的点子代表着晶体结构中相同的位置，称为格点。

一个格点代表一个基元，它可以代表基元重心的位置，也可以代表基元中任意的点子。晶格+基元=晶体结构(b)(a)2.布拉维晶格、简单晶格和复式晶格(1)布拉维晶格格点的总体称为布拉维晶格，这种格子的特点是每点周围的情况完全相同。(2)简单晶格和复式晶格

简单晶格：如果晶体由完全相同的一种原子组成，且每个原子周围的情况完全相同，则这种原子所组成的网格称为简单晶格。复式晶格：如果晶体由两种或两种以上原子组成，同种原子各构成和格点相同的网格，称为子晶格，它们相对位移而形成复式晶格。简单晶格复式晶格在晶格中取一个格点为顶点，以三个不共面的方向上的周期为边长形成的平行六面体作为重复单元，这个平行六面体沿三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格，形成晶体，这个平行六面体即为原胞，代表原胞三个边的矢量称为原胞的基本平移矢量，简称基矢。1.2.2原胞在晶格中取一个格点为顶点，以三个不共面的方向上的周期为边长形成的平行六面体作为重复单元，这个平行六面体沿三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格，形成晶体，这个平行六面体即为原胞，代表原胞三个边的矢量称为原胞的基本平移矢量，简称基矢。

特点：格点只在平行六面体的顶角上，面上和内部均无格点，平均每个固体物理学原胞包含1个格点。它反映了晶体结构的周期性。构造：取一格点为顶点，由此点向近邻的三个格点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为固体物理学原胞。(1)固体物理学原胞(简称原胞)1.原胞的分类基矢：固体物理学原胞基矢通常用表示。体积为：原胞内任一点的位矢表示为：在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同。(2)结晶学原胞（简称单胞）构造：使三个基矢的方向尽可能地沿着空间对称轴的方向，它具有明显的对称性和周期性。基矢：结晶学原胞的基矢一般用表示。特点：结晶学原胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上及内部亦可有格点。其体积是固体物理学原胞体积的整数倍。体积为：(3)维格纳--塞茨原胞构造：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即为W--S原胞。特点：它是晶体体积的最小重复单元，每个原胞只包含1个格点。其体积与固体物理学原胞体积相同。ab(1)一维原子链a2.几种晶格的实例一维单原子链一维双原子链(2)二维(a)(b)固体物理学原胞维格纳--塞茨单胞(3)三维立方晶系布拉维原胞的体积:设晶格常量(布拉维原胞棱边的长度)为a,取为坐标轴的单位矢量,即立方体边长为a,(a)简立方每个布拉维原胞包含1个格点。固体物理学原胞的体积布拉维晶格(简单格)平均每个布拉维原胞包含4个格点。(b)面心立方固体物理学原胞的体积(c)体心立方平均每个布拉维原胞包含2个格点。固体物理学原胞的体积复式格(a)金刚石结构金刚石结构属面心立方，每个结晶学原胞包含4个格点。金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/4的长度套构而成,其布拉维晶格为面心立方。cccc金刚石结构每个固体物理学原胞包含1个格点,基元由两个碳原子组成,位于（000）和处。(b)氯化钠结构氯化钠结构由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/2的长度套构而成。Cl-和Na+分别组成面心立方子晶格。其布拉维晶格为面心立方。氯化钠结构属面心立方。每个固体物理学原胞包含1个格点，每个结晶学原胞包含4个格点。氯化钠的固体物理学原胞选取方法与面心立方简单格子的选取方法相同。基元由一个Cl-和一个Na+组成。(000)Cl-的坐标为，Na+的坐标为。(c)氯化铯结构氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移1/2的长度套构而成。Cl-和Cs+分别组成简立方格子，其布拉维晶格为简立方，氯化铯结构属简立方。

每个固体物理学原胞包含1个格点，每个结晶学原胞包含1个格点。基元由一个Cl-和一个Cs+组成。(000)Cl-的坐标为，Cs+的坐标为。(d)钙钛矿结构钙钛矿结构常写成ABO3的形式。OTi钡、钛和3个氧各组成简立方子晶格，钛酸钡是由5个简立方子晶格套构而成的。一个晶胞包含1个钡原子、1个钛原子和3个氧原子。钙钛矿的氧八面体结构(e)

--钨结构BBAAAAAA两个B原子和6个A原子各组成简立方。--钨结构由8个子晶格套构而成。一个晶胞包含2个B原子和6个A原子。1.2.3密堆积、配位数和致密度1.配位数一个粒子周围最近邻的粒子数称为配位数.它可以描述晶体中粒子排列的紧密程度，粒子排列越紧密，配位数越大。2.密堆积如果晶体由完全相同的一种粒子组成，而粒子被看作小圆球，则这些全同的小圆球最紧密的堆积称为密堆积。第一层：每个球与6个球相切，有6个空隙，如编号1,2,3,4,5,6。第二层：占据1,3,5空位中心。第三层：在第一层球的正上方形成ABABAB······排列方式。(1)六角密积AB六角密积是复式格，其布拉维晶格是简单六角晶格。基元由两个原子组成，一个位于(000)，另一个原子位于，(2)立方密积第一层：每个球与6个球相切，有6个空隙，如编号为1,2,3,4,5,6。第二层：占据1，3，5空位中心。第三层：占据2，4，6空位中心，按ABCABCABC······方式排列，形成面心立方结构，称为立方密积。BAC

密堆积特点：结合能低，晶体结构稳定；配位数最大为12。3.配位数的可能值配位数的可能值为：12(密堆积)，8(氯化铯型结构)，6(氯化钠型结构)，4(金刚石型结构)，3(石墨层状结构)，2(链状结构)。下面以几个实例来看配位数与球半径的关系。[1]氯化铯型和氯化钠型结构两种球的半径之比。取大球中心为立方体的顶角，小球位于立方体的中心。设大小球半径分别为R和r，且晶格常量为a。取配位数为8的氯化铯型结构。时排列最紧密，结构最稳定。当[2]氯化钠型结构

设大小球半径分别为R和r，且晶格常量为a，当大小球恰能相切时，为氯化钠型结构，配位数为6。3.致密度：如果把等体积的硬球放置在晶体结构中原子所在的位置上，球的体积取得尽可能大，以使最近邻的球相切，我们把一个晶胞中被硬球占据的体积和晶胞体积之比称为致密度(堆积比率或最大空间利用率)。单胞体积单胞中原子所占体积设晶格常量为a，原子半径为R，则例1：求面心立方的致密度.N是单胞中原子个数内部原子数面上原子数棱上原子数顶角上原子数典型的晶体结构(Cu)4(000)(W)2(000)CsClCs+

1Cl-1(000)1288

结构型单胞中的原子个数原子在单胞中的位置最近邻距离配位数典型的晶体结构结构型单胞中的原子个数原子在单胞中的位置最近邻距离配位数8(000)4金刚石NaClNa+

4Cl-4(000)6第三节晶向、晶面和它们的标志本节主要内容:1.3.1晶向及晶向指数1.3.2晶面及密勒指数§1.3晶向、晶面和它们的标志1.3.1晶向及晶向指数1.晶向通过晶格中任意两个格点连一条直线称为晶列，晶列的取向称为晶向，描写晶向的一组数称为晶向指数(或晶列指数)。过一格点可以有无数晶列。(3)晶列族中的每一晶列上，格点分布都是相同的；(4)在同一平面内，相邻晶列间的距离相等。(1)平行晶列组成晶列族，晶列族包含所有的格点；(2)晶列上格点分布是周期性的；晶列的特点2.晶向指数如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为(1)用固体物理学原胞基矢表示[]晶列上格点的周期=?如[121]表示为固体物理学原胞基矢如遇到负数，将该数的上面加一横线。其中为整数，将化为互质的整数

,记为[

]，[

]即为该晶列的晶列指数。(2)以布拉维原胞基矢表示如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为其中为有理数,将

化为互质的整数m,n,p,记为[mnp]，[mnp]即为该晶列的晶列指数.OABCDE例1：如图在立方体中，D是BC的中点，求BE,AD的晶列指数。解：晶列BE的晶列指数为：[011]AD的晶列指数为:OABCDE求AD的晶列指数。注意:(1)晶列指数一定是一组互质的整数；(2)晶列指数用方括号表示[]；(3)遇到负数在该数上方加一横线。晶列(11-1)晶列[11-1]晶列(111)晶列[111]

(4)等效晶向。在立方体中有，沿立方边的晶列一共有6个不同的晶向，由于晶格的对称性，这6个晶向并没有什么区别，晶体在这些方向上的性质是完全相同的，统称这些方向为等效晶向，写成<100>。[100][001][010][100][010][001]1.3.2晶面及密勒指数在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面，称为晶面，描写晶面方位的一组数称为晶面指数。1.晶面(1)平行的晶面组成晶面族，晶面族包含所有格点；(3)同一晶面族中的每一晶面上，格点分布(情况)相同；(4)同一晶面族中相邻晶面间距相等。(2)晶面上格点分布具有周期性；2.晶面指数晶面方位晶面的法线方向(法线方向与三个坐标轴夹角)晶面在三个坐标轴上的截距(1)以固体物理学原胞基矢表示如图取一格点为顶点，原胞的三个基矢为坐标系的三个轴，设某一晶面与三个坐标轴分别交于A1,A2,A3,设晶面的法线ON交晶面A1A2A3于N，ON长度为

d，d为该晶面族相邻晶面间的距离，

为整数，该晶面法线方向的单位矢量用表示，则晶面A1A2A3的方程为：A2A3OA1N

d取为天然长度单位，则得：晶面的法线方向与三个坐标轴(基矢)的夹角的余弦之比，等于晶面在三个轴上的截距的倒数之比。A2A3OA1N

d可以证明：r,s,t必是一组有理数---阿羽依的有理数定理。设的末端上的格点分别在离原点距离h1d、h2d、h3d的晶面上，这里

h1、h2、h3为整数。(2)同一晶面族中的晶面平行且相邻晶面间距相等,故在原点与基矢的末端间一定只有整数个晶面。(1)所有格点都包容在一族晶面上；因此给定晶面族中必有一个晶面通过坐标系的原点；在基矢末端上的格点也一定落在该晶面族的晶面上；取为天然长度单位得：又晶面的法线与三个基矢的夹角余弦之比等于三个整数之比。A2A3OA1N

d可以证明h1，h2，h3一定是互质的，称它们为该晶面族的面指数，记为(h1h2h3)。任一晶面在坐标轴上的截距r，s，t必是一组有理数。因为h1、h2、h3为整数，所以r、s、t必为有理数。综上所述，晶面指数(h1h2h3)表示的意义是；(3)晶面的法线与基矢夹角的方向余弦的比值。(2)以为各轴的长度单位所求得的晶面在坐标轴上的截距倒数的互质比；(1)基矢被平行的晶面等间距的分割成h1、h2、h3

等份；以布拉维原胞基矢为坐标轴来表示的晶面指数称为密勒指数，用(hkl)表示。例2：如图所示，I和H分别为BC，EF之中点，试求晶面AEG，ABCD，OEFG，DIHG的密勒指数。AEG

ABCD

DIHG111

121

h'k'l'在三个坐标轴上的截距OABCDEFGHI

AEG

ABCD

DIHG111

121

h'k'l'在三个坐标轴上的截距1:1:1(hkl)(111)(001)(120)AEG

的密勒指数是(111)；OEFG的密勒指数是(001)；DIHG的密勒指数是(120)。OABCDEFGHIABCDEFG例3:在立方晶系中画出(210)、

晶面。晶面在三个坐标轴上的截距分别为：1(210)11密勒指数是(210)的晶面是ABCD面；(121)密勒指数是

的晶面是EFG面；第四节倒格本节主要内容:1.4.1倒格定义1.4.3倒格与傅里叶变换1.4.2倒格与正格的关系§1.4倒格倒格正格（点位）矢：倒格基矢倒格（点位）矢：晶体结构=晶格+基元正格基矢正格一个晶体结构有两个格子，一个是正格，另一个为倒格。1.4.1倒格定义倒格基矢定义为：其中是正格基矢，

与所联系的各点的列阵即为倒格。是固体物理学原胞体积倒格基矢的方向和长度如何呢？一个倒格基矢是和正格原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的2倍。1.1.4.2倒格与正格的关系其中分别为正格点位矢和倒格点位矢。2.(

为整数)3.(其中

和

*分别为正、倒格原胞体积)4.倒格矢与正格中晶面族(h1h2h3)正交，且其长度为

。(1)证明与晶面族(h1h2h3)正交。BCOA

设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，

ABC在基矢

上的截距分别为

。由图可知：所以与晶面族(h1h2h3)正交。(2)证明的长度等于

。由平面方程：得：在晶胞坐标系中，1.4.3倒格与傅里叶变换在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同。上式两边分别按傅里叶级数展开：是正格矢。一定是倒格矢。晶体结构正格倒格1.1.2.与晶体中原子位置相对应；2.与晶体中一族晶面相对应；3.是与真实空间相联系的傅里叶空间中点的周期性排列；3.是真实空间中点的周期性排列；4.线度量纲为[长度]4.线度量纲为[长度]-1已知晶体结构如何求其倒格呢？晶体结构正格正格基矢倒格基矢倒格例1：下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。倒格是边长为的正方形格子。例2：证明体心立方的倒格是面心立方。解：体心立方的原胞基矢：倒格矢：同理得：体心立方的倒格是边长为4/a的面心立方。例3：证明简立方晶面(h1h2h3)的面间距为证明：由得：简立方：法一：法二：设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，ABC在基矢

上的截距分别为

，由平面方程

得：对于立方晶系：且：第五节晶体的对称性本节主要内容:1.5.1对称性与对称操作1.5.2晶系和布拉维原胞1.5.1对称性与对称操作对称操作所依赖的几何要素。1.对称操作与线性变换经过某一对称操作，把晶体中任一点变为

可以用线性变换来表示。§1.5晶体的对称性对称性：经过某种动作后，晶体能够自身重合的特性。对称操作：使晶体自身重合的动作。对称素：操作前后，两点间的距离保持不变，Ox1x3x2O点和X点间距与O点和

点间距相等。I为单位矩阵，即：或者说A为正交矩阵，其矩阵行列式

。2.简单对称操作(旋转对称、中心反映、镜象、旋转反演对称)(1)旋转对称(Cn,对称素为线)若晶体绕某一固定轴转以后自身重合，则此轴称为n次(度)旋转对称轴。下面我们计算与转动对应的变换矩阵。当OX绕Ox1转动角度

时，图中若OX在Ox2x3平面上投影的长度为R，则Ox1x3x2

晶体中允许有几度旋转对称轴呢?设B1ABA1是晶体中某一晶面上的一个晶列，AB为这一晶列上相邻的两个格点。A1ABB1

若晶体绕通过格点A并垂直于纸面的u轴顺时针转

角后能自身重合，则由于晶体的周期性，通过格点B也有一转轴u。是

的整数倍，A1ABB1

相反若逆时针转

'角后能自身重合，则A1ABB1

是

的整数倍，晶体中允许的旋转对称轴只能是1，2，3，4，6度轴。综合上述证明得：12346正五边形沿竖直轴每旋转720恢复原状，但它不能重复排列充满一个平面而不出现空隙。因此晶体的旋转对称轴中不存在五次轴，只有1，2，3，4，6度旋转对称轴。(2)中心反映(i，对称素为点)取中心为原点，经过中心反映后，图形中任一点变为(3)镜象(m，对称素为面)如以x3=0面作为对称面，镜象是将图形的任何一点变为(4)旋转--反演对称若晶体绕某一固定轴转

以后，再经过中心反演,晶体自身重合，则此轴称为n次(度)旋转--反演对称轴。

旋转--反演对称轴只能有1，2，3，4，6度轴。旋转--反演对称轴用

表示。旋转--反演对称轴并不都是独立的基本对称素。如：1212345612ABDCEFGH正四面体既无四度轴也无对称心6=3+m1234566'12341，2，3，4，6度旋转对称操作。1，2，3，4，6度旋转反演对称操作。(3)中心反映：i。(4)镜象反映：m。

C1，C2，C3，C4，C6

（用熊夫利符号表示）S1，S2，S3，S4，S6（用熊夫利符号表示）点对称操作：(2)旋转反演对称操作：(1)旋转对称操作：

独立的对称操作有8种,即1，2，3，4，6，i，m，。或C1，C2，C3，C4，C6

，Ci，Cs，S4。立方体对称性(1)立方轴C4：3个立方轴；4个3度轴；(2)体对角线C3：(3)面对角线C2：6个2度轴；与4度轴正交的对称面与2度轴正交的对称面所有点对称操作都可由这8种操作或它们的组合来完成。一个晶体的全部对称操作构成一个群，每个操作都是群的一个元素。对称性不同的晶体属于不同的群。由旋转、中心反演、镜象和旋转--反演点对称操作构成的群，称作点群。理论证明，所有晶体只有32种点群，即只有32种不同的点对称操作类型。这种对称性在宏观上表现为晶体外形的对称及物理性质在不同方向上的对称性。所以又称宏观对称性。如果考虑平移，还有两种情况，即螺旋轴和滑移反映面。

（5）n度螺旋轴：若绕轴旋转2

/n角以后，再沿轴方向平移l(T/n)，晶体能自身重合，则称此轴为n度螺旋轴。其中T是轴方向的周期，l是小于n的整数。n只能取1、2、3、4、6。（6）滑移反映面：若经过某面进行镜象操作后，再沿平行于该面的某个方向平移T/n后，晶体能自身重合，则称此面为滑移反映面。T是平行方向的周期，n可取2或4。点对称操作加上平移操作构成空间群。全部晶体构有230种空间群，即有230种对称类型。1.5.2晶系和布拉维原胞根据不同的点对称性，将晶体分为7大晶系，14种布拉维晶格。为布拉维原胞三个基矢，分别为取间的夹角。

7大晶系的特征及布拉维晶格如下所述：1.三斜晶系：2.单斜晶系：3.三角晶系：简单三斜(1)简单单斜(2)底心单斜(3)三角(4)4.正交晶系：简单正交(5)，底心正交(6)体心正交(7)，面心正交(8)5.四角系：(正方晶系)简单四角(9)，体心四角(10)6.六角晶系：六角(11)7.立方晶系：简立方(12)，体心立方(13)，面心立方(14)简单三斜(1)简单单斜(2)底心单斜(3)1.三斜晶系：2.单斜晶系：3.三角晶系：三角(4)4.正交晶系：简单正交(5)底心正交(6)体心正交(7)面心正交(8)5.四角系：(正方晶系)体心四角(10)简单四角(9)6.六角晶系：六角(11)7.立方晶系：简立方(12)体心立方(13)面心立方(14)第六节

晶体的X射线衍射本节主要内容:1.6.1晶体衍射的基本方法1.6.3晶体X射线衍射的几种方法1.6.2X射线衍射方程1.6.4原子散射因子和几何结构因子1.6.1晶体衍射的基本方法§1.6晶体衍射1.X射线衍射(nm)

X射线是由被高电压V加速了的电子，打击在“靶极”物质上而产生的一种电磁波。nm在晶体衍射中，常取U--40千伏，所以

--0.03nm

。(nm)nm2.电子衍射电子波受电子和原子核散射，散射很强透射力较弱，电子衍射主要用来观察薄膜。3.中子衍射中子主要受原子核的散射，轻的原子对于中子的散射也很强，所以常用来决定氢、碳在晶体中的位置。中子具有磁矩，尤其适合于研究磁性物质的结构。1.布拉格反射公式

衍射加强的条件：n为整数，称为衍射级数。布拉格反射公式1.6.2X射线衍射方程是否可以用可见光进行晶体衍射呢？

BAC12不能用可见光进行晶体衍射。由上式可以看出：，设X射线源和晶体的距离以及观测点和晶体的距离都比晶体线度大得多。(1)入射线和衍射线为平行光线；(2)略去康普顿效应；(3)分别为入射和衍射线方向的单位矢量；(4)只讨论布拉维晶格。2.劳厄衍射方程AOCD波程差衍射加强条件为：---劳厄衍射方程设A为任一格点，格矢波矢面指数，衍射面指数。3.反射公式与衍射方程是等价的O

4.反射球CO则

必落在以和的交点C为中心，2

/

为半径的球面上，反之，落在球面上的倒格点必满足

，这些倒格点所对应的晶面族将产生反射，所以这样的球称为反射球。

反射球中心C并非倒格点位置，O为倒格点。如何作反射球呢?若设入射线沿CO方向，取线段

，其中是所用单色X射线的波长，再以C为心，以

为半径所作的球就是反射球。OPQC

O、P、Q是反射球上的倒格点，

CO是X射线入射方向，则CP是以OP为倒格矢的一族晶面(h1h2h3)的反射方向，OP间无倒格点,所以CP方向的反射是n=1的一级衍射。而OQ联线上还有一倒格点，所以CQ方向的反射是二级衍射。CO问题：如果入射方向一定，波长一定，一族晶面是否可能同时产生不同的反射级呢？1.6.3晶体X射线衍射的几种方法1.劳厄法(1)单晶体不动，入射光方向不变；O(2)X射线连续谱，波长在间变化，反射球半径

。在红色区域的倒格点和各球心的连线都表示晶体可以产生反射的方向(衍射极大方向)。倒格点的分布衍射斑点分布倒格点对称性晶格的对称性当X光入射方向与晶体的某对称轴平行时，劳厄衍射斑点具有对称性。衍射斑点与倒格点相对应。2.转动单晶法(1)X射线是单色的；(2)晶体转动。用劳厄法可确定晶体的对称性CO为入射方向,晶体在O点处晶体转动倒格转动反射球绕过O的轴转动CP的方向即为反射线的方向实际反射线是通过晶体O的反射线构成以转轴为轴的一系列圆锥在圆筒形底片上衍射斑点形成一系列直线由直线间距计算晶格常量OOCP根据衍射斑点间的距离可以求晶体的晶格常量。O3.粉末法(1)X射线单色(

固定)；(2)样品为取向各异的单晶粉末。由于样品对入射线方向是“轴对称”的，不同晶面族的衍射线构成不同圆锥。衍射线与圆筒形相交，形成图示衍射条纹。据不同的晶面族的衍射条纹位置和波长，可求出晶面族面间距，进而确定晶格常量。例1：设有某一晶体具有简单正交格子的结构，其棱边长度分别为a、b、c，现在沿该晶体的［1，0，0］方向入射X射线。（1）确定在哪些方向上出现衍射极大？并指出在什么样的波长下，能观察到这些衍射极大。（2）如果采用劳厄法作X-射线衍射实验，请指出衍射斑点的分布。解：简单正交格子正格基矢：表示沿三个坐标轴方向的单位矢量。其倒格基矢：倒格矢：据题意，入射的X射线的波矢设衍射波矢为（衍射前后波长保持不变）简单正交格子正格基矢：由劳厄衍射方程：得：（2）由波长一式可以看出，如果（nh,nk,nl）满足衍射极大的话，那么

也满足衍射极大。与对应的衍射方向表示成

。它们是以［1，0，0］为轴二度旋转对称的，所以其衍射斑点将呈现出二度旋转对称性。1.6.4原子散射因子和几何结构因子X射线与晶体相互作用X射线受原子散射X射线受原子中电子的散射各原子的散射波间相互干涉某些方向干涉极大某些方向干涉极小原子散射因子几何结构因子原子内每个电子对X射线散射波振幅Ae原子内所有电子对X射线散射波振幅Aa原子散射因子f=Aa/Ae1.原子散射因子(1)定义原子内所有电子的散射波的振幅的几何和与一个电子的散射波的振幅之比称为该原子的散射因子。(2)计算OP为原子中某一点P的位矢，设O处一个电子在观测点产生的振幅为Ae，则P点的一个电子在观测点产生的振幅就是：

和分别为入射方向和散射方向的单位矢量，则P点和O点散射波之间的位相差为：

为电子分布函数(概率密度)，在P点附近体积元d

内的电子个数为：

。

这

个电子在观测点产生的振幅就是：原子中所有电子引起的散射波在观察点的总振幅为：原子散射因子：讨论：(1)因为一定，只依赖于散射方向，因此，散射因子是散射方向的函数；(2)不同原子，不同，因此，不同原子具有不同的散射因子；(3)原子所引起的散射波的总振幅也是散射方向的函数，也因原子而异。若电子分布函数是球面对称的，当

沿入射方向，原子散射波的振幅等于各个电子散射波的振幅的代数和。由傅里叶逆变换得：实验测知原子散射因子，可求出电子在原子内的分布。2.几何结构因子总的衍射强度取决于两个因素：(1)各衍射极大的位相差；(2)各衍射极大的强度。---各子晶格的相对位置。---不同原子的散射因子。(1)定义

原胞内所有原子的散射波，在所考虑方向上的振幅与一个电子的散射波的振幅之比。(2)计算设原胞内有n个原子，它们的位矢分别为位矢为的原子和原点处的原子的散射波的位相差为：在所考虑方向上,几何结构因子为例2：面心立方晶格的几何结构因子。面心立方平均每个布拉维原胞包含4个原子，将其坐标代入公式:得：当部分为奇数或部分为偶数时，几何结构因子为零，相应的反射消失。例3：金刚石结构的几何结构因子金刚石结构平均每个布拉维原胞包含8个原子，将其坐标：代入

S1正是在面心立方格点上所放置的基元

的结构因子。例4：一氯化铯结构的AB晶体，A与B离子的散射因子分别为fA和fB，且为实数。(1)求出晶体的几何结构因子；(2)设fA=fB，求衍射消光条件；(3)设fA=fB，粉末衍射中最小衍射角为300，X光波长为求晶格常数。解:(1)A离子坐标为

,B离子坐标为(2)全为奇数时消光。(3)对应于最小的衍射角

=300，例5：采用转动单晶法对某一具有简单四角格子结构的单晶体作X射线衍射实验，晶体绕四度旋转轴---C轴进行转动，波长

=0.1542nm的X射线沿着垂直于C轴的方向入射。感光胶卷的半径r=3cm。第0层线上的衍射斑点离中心点(即入射线的斑点)的距离分别为0.54，0.75，1.08，1.19，1.52，1.63，1.71，1.97cm。而第1层线与第0层线间的距离为0.66cm。试求该晶体的晶格常量a和c。解：四方晶系：正格基矢：倒格基矢：中心点第0层第1层O第2层(1)求c：转轴沿C方向，所以所有倒格矢分别处在第0，1，2等平面层内,这些平面层都与C轴垂直。OCA

BOCA

B第0层第1层第2层

=2

中心点晶面L第0层线上的截面图(2)求a：10.540.751.081.521.631.711.971.1912345678(320)(100)(110)(210)(220)(300)(310)(200)0.090.1250.180.1980.2530.2720.2850.328i

L(hk0)

(弧度)sin

0.2840.1250.1780.1960.2500.2680.2810.3221245891013o.8590.8740.8610.8770.8710.8610.8670.863(100)(110)(210)(220)(300)(310)(320)(200)Na(hk0)

1245891013例6：已知Ta晶体属于立方晶系，现以波长

=0.15405nm的X射线对Ta晶体粉末作德拜法(粉末法)衍射实验，假设胶卷的半径r=5cm。在胶卷上测得一系列衍射谱线，其中离中心点最近的5条谱线离中心点的距离分别如下表所示：12345L/cm3.424.916.147.308.45(1)决定Ta晶体属于体心立方结构还是面心立方结构；(2)求出Ta晶体的晶格常量。解：(1)确定结构：对于立方晶系：正格基矢：倒格基矢：

=2

中心点晶面L

=2

中心点晶面Lr=5cm.1123453.424.916.147.308.4519.628.135.241.848.40.3350.470.5760.6670.7470.5590.1130.2220.3320.444

/度iLsin

sin2

Ta晶体属于什么结构呢?考虑到几何结构因子：对于体心立方必须满足：nh+nk+nl=偶数。对于面心立方必须满足：nh，nk，nl全为奇数或全为偶数。12345(110)(200)(211)(220)(310)24681012345348111211.332.6673.6674(111)(200)(220)(311)(222)i(nhnknl)(bcc)N(bcc)(bcc)N(fcc)(fcc)(nhnknl)(fcc)Ta晶体属于体心立方结构。由值比较可知，Ta晶体属于体心立方结构。13.424.916.147.308.4512345246810(110)(200)(211)(220)(310)(2)求a：19.628.135.241.848.40.3350.470.5760.6670.7470.5590.1130.2220.3320.4440.3250.3270.3270.3270.326

/度sin

iL/cm

sin2

a/nmN

(nhnknl)第一章晶体结构和X-射线衍射总结晶体的特征晶体结构及其描述晶体的对称性倒格晶体X射线衍射晶体的特征1.微观特征固体分类(按结构)晶体：非晶体：准晶体：长程有序不具有长程序的特点，短程有序。有长程取向性,而没有长程的平移对称性。单晶体多晶体至少在微米量级范围内原子排列具有周期性。长程有序：晶体的宏观特性是由晶体内部结构的周期性决定的，即晶体的宏观特性是微观特性的反映。自限性、晶面角守恒、解理性、均匀性、晶体的各向异性、对称性、固定的熔点。2.宏观特征一个理想的晶体是由完全相同的结构单元在空间周期性重复排列而成的。所有晶体结构可以用晶格来描述，这种晶格的每个格点上附有一群原子，这样的一个原子群称为基元,基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。1.晶格+基元=晶体结构晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的点子在空间有规则地做周期性无限分布，这些点子的总体称为晶格。(1)晶格晶体结构及其描述一、晶体结构晶格中的点子代表着晶体结构中相同的位置，称为格点。一个格点代表一个基元，它可以代表基元重心的位置，也可以代表基元中任意的点子。

在晶体中适当选取某些原子作为一个基本结构单元，这个基本结构单元称为基元。基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。(2)基元(3)格点晶格+基元=晶体结构用矢量表示为：所对应的点的排列。晶格是晶体结构周期性的数学抽象。基矢：固体物理学原胞基矢通常用

表示。

特点：格点只在平行六面体的顶角上，面上和内部均无格点，平均每个固体物理学原胞包含1个格点。它反映了晶体结构的周期性。1.固体物理学原胞(简称原胞)构造：取一格点为顶点，由此点向近邻的三个格点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为固体物理学原胞。体积：二、原胞的分类2.结晶学原胞（单胞、晶胞、惯用晶胞）构造：使三个基矢的主轴尽可能地沿空间对称轴的方向。它具有明显的对称性和周期性。基矢：结晶学原胞的基矢一般用

表示。

特点：结晶学原胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上及内部亦可有格点。其体积是固体物理学原胞体积的整数倍。体积：

特点：它是晶体体积的最小重复单元，每个原胞只包含1个格点。3.维格纳--塞茨原胞构造：以一个格点为原点，作原点与其它格点连线的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即为W--S原胞。体积：与固体物理学原胞体积相同。

通过晶格中任意两个格点连一条直线称为晶列，晶列的取向称为晶向，描写晶向的一组数称为晶向指数(或晶列指数)。在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面，称为晶面