小学数学第八章　作业39　异面直线所成的角及直线与平面所成的角的解法

作业39异面直线所成的角及直线与平面所成的角的解法分值：80分一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AC1与CD所成的角的余弦值为A.32 B.C.12 D.2.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的大小变化为A.变大 B.变小C.不变 D.有时变大有时变小3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线B1C1与平面AB1D1所成角的正弦值为A.13 B.C.33 D.4.在四面体ABCD中，棱AB，AC，AD长度相等且两两互相垂直，棱BD的中点为E，则异面直线AE与BC所成角的大小为A.30° B.45°C.60° D.90°5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1C与平面ADD1A1所成的角为α，A1C与AB所成的角为β，则A.α=βB.α+β=πC.α+β=πD.α-β=π6.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，则平面AD1E与平面ABCD的交线与直线C1D1所成角的正切值为A.12 B.C.32二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，点P为线段AD1上一动点，AA1=2AB=2，则下列说法正确的是A.直线BD1⊥平面BC1DB.三棱锥P-BC1D的体积为1C.异面直线BC1与DD1所成角的正切值为1D.存在点P使直线PC1与平面BC1D所成的角为π8.如图，已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，四边形ABDC为圆台的轴截面，E为AB的中点，则下列结论正确的是A.圆台的侧面积为6πB.直线AC与下底面所成角的大小为πC.圆台的体积为3D.异面直线AC和DE所成角的大小为π三、填空题(每小题5分，共10分)9.如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为BC的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为.

10.如图1，E，F分别为等腰梯形底边AB，CD的中点，AB=2AD=2CD=2BC=4，将四边形EFCB沿EF进行折叠，使BC到达B1C1的位置，连接AB1，C1D，如图2，使得∠AEB1=π3，则B1C1与平面AEFD所成角的正切值为.四、解答题(共28分)11.(13分)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1与AC，AB所成的角均为60°，∠BAC=90°，且AB=AC=AA1，求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值.12.(15分)如图所示，在圆锥DO中，D为圆锥的顶点，O为底面圆的圆心，AB是圆O的直径，C为底面圆周上一点，四边形AODE是矩形.(1)若点F是BC的中点，求证：DF∥平面ACE；(7分)(2)若AB=2，∠BAC=∠ACE=π3，求直线CD与平面ABDE所成角的余弦值.(8分答案精析1.B2.C3.C4.C5.C[如图，连接A1D，由长方体的性质可得CD⊥平面ADD1A1，故A1C与平面ADD1A1所成的角α即为∠CA1D，又A1D⊂平面ADD1A1，故CD⊥A1D，即∠CDA1=π2又AB∥CD，故A1C与AB所成的角与A1C与CD所成的角相等，故β即为∠A1CD，又∠A1CD+∠CA1D+∠CDA1=π，故α+β=π-∠CDA1=π2.6.A[延长D1E与直线DC相交于点F，连接AF，如图所示，则平面AD1E与平面ABCD的交线为AF，而C1D1∥CD，∴∠AFD为平面AD1E与平面ABCD的交线与直线C1D1所成的角，∵E是棱CC1的中点，且DD1∥CC1，∴CD=CF，∴tan∠AFD=ADDF=127.BC[对于A，若直线BD1⊥平面BC1D，因为BD⊂平面BC1D，则BD1⊥BD，易知BD1与BD不垂直，矛盾，故A错误；对于B，连接AC1，因为AB∥C1D1，AB=C1D1，所以四边形ABC1D1为平行四边形，所以AD1∥BC1，又BC1⊂平面BC1D，AD1⊄平面BC1D，故AD1∥平面BC1D，又因为点P在线段AD1上，所以V三棱锥P-BC1D=V三棱锥A-BC1D=V对于C，因为DD1∥CC1，则异面直线BC1与DD1所成的角即为∠BC1C，在Rt△BC1C中，CC1=2BC，所以∠BC1C的正切值为12，故C对于D，设点P到平面BC1D的距离为h，又BD=2，BC1=DC1=5，故S△BC1D=12×又三棱锥P-BC1D的体积为13则13×32h=13，解得h设直线PC1与平面BC1D所成的角为θ，则sinθ=hPC1又D1C1≤PC1≤AC1，即1≤PC1≤6，故69≤sinθ≤23，又32故不存在θ使得sinθ=32即不存在点P使直线PC1与平面BC1D所成的角为π3，故D错误.8.ABD[由题意可得上底面半径r1=1，下底面半径r2=2，母线l=2，则圆台的侧面积为S=π(r1+r2)l=π(1+2)×2=6π，故A正确；如图1，在轴截面ABDC中作CM⊥AB，DN⊥AB，分别交AB于点M，N，则直线AC与下底面所成的角为∠CAB，且CD=MN=2，则AM=BN=1，且AC=2，则cos∠CAB=AMAC=1因为0<∠CAB<π2所以∠CAB=π3，故B因为上底面圆的面积S1=πr12下底面圆的面积S2=πr22圆台的高h=CM=22-1则圆台的体积V=13(S1+S2+S1=13(π+4π+π·4π=73π3如图2，取AB的中点O，连接OD，OE，由E为AB的中点，O为底面圆圆心，可得OE⊥AB，过点D作DH⊥AB，垂足为H，连接EH，因为OA=CD=2，且OA∥CD，则四边形AODC为平行四边形，所以AC∥OD，AC=OD，则异面直线AC和DE所成的角即为OD与DE所成的角，即为∠ODE，又DH=h=3，OD=AC=BD=2，则OH=12OB=1EH=O=22+1所以DE=DH2+EH在△ODE中，OD=OE=2，DE=22，OD2+OE2=DE2，则△ODE为等腰直角三角形，则∠ODE=π4，故D正确.9.6解析如图，取BC的中点H，连接EH，AH，又E为BC的中点，所以HE⊥BC，易知轴截面ABCD与上底面垂直，且与上底面相交于BC，又HE在上底面内，所以HE⊥平面ABCD，又AH⊂平面ABCD，所以HE⊥AH，即∠EHA=90°.不妨设AB=2，则BH=HE=1，AH=5，所以AE=6.连接ED，则ED=6，AD=2，因为BC∥AD，所以异面直线AE与BC所成的角即为∠EAD.在△EAD中，cos∠EAD=6+4-62×6所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为6610.39解析如图，延长B1C1，EF，BC相交于点H，过B1作B1G⊥AE于点G，连接GH.因为B1E⊥EF，AE⊥EF，AE∩B1E=E，AE，B1E⊂平面AEB1，所以EF⊥平面AEB1，又B1G⊂平面AEB1，所以B1G⊥EF，又B1G⊥AE，且AE∩EF=E，AE，EF⊂平面AEFD，则B1G⊥平面AEFD，故∠B1HG为B1C1与平面AEFD所成的角.因为AB=2AD=2CD=2BC=4，所以∠B=π3，所以HE=23在Rt△B1GE中，∠AEB1=π3，EB1=2可得GE=1，B1G=3，则HG=HE2+所以tan∠B1HG=B1GHG=311.解如图所示，把三棱柱ABC-A1B1C1补为四棱柱ABDC-A1B1D1C1，连接BD1，A1D1，AD，由四棱柱的性质知BD1∥AC1，则∠A1BD1(或其补角)就是异面直线A1B与AC1所成的角.∵AA1与AC，AB所成的角均为60°，设AB=AC=AA1=a，∴A1B=a，BD1=AC1=2AA1·cos30°=3a.又∠BAC=90°，∴在正方形ABDC中，AD=2a，∴A1D1=2a.∴A1D12+A1B2=B∴∠BA1D1=90°.∴在Rt△BA1D1中，cos∠A1BD1=A1BBD1∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为3312.(1)证明连接OF，因为O，F分别是AB，BC的中点，所以OF∥AC，因为OF⊄平面ACE，AC⊂平面ACE，所以OF∥平面ACE，因为四边形AODE是矩形，所以OD∥AE，因为OD⊄平面ACE，AE⊂平面ACE，所以OD∥平面ACE，又OF∩OD=O，OF，OD⊂平面ODF，所以平面ODF∥平面ACE，又DF⊂平面ODF，所以DF∥平面ACE.(2)解在圆锥DO中，DO⊥平面ABC，DO⊂平面ABDE，则平面ABDE⊥平面ABC，又平面ABDE∩平面ABC=AB，作CG⊥AB于点G，连接DG，CG⊂平面ABC，则CG⊥平面ABDE，∠CDG是直线CD与平面ABDE所成的角