小学数学第九章　§9.2　9.2.3　总体集中趋势的估计

9.2.3总体集中趋势的估计学习目标1.能够正确计算平均数、中位数、众数.2.掌握利用样本的平均数、众数、中位数估计总体的集中趋势的方法，从而解决相关的实际问题.3.理解用样本的数字特征、频率分布直方图估计总体的集中趋势.一、众数、中位数、平均数问题1现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中，各抽取8件产品，对其使用寿命(单位：年)进行跟踪调查，其结果如下：甲：3，4，5，6，8，8，8，10；乙：4，6，6，6，8，9，12，13；丙：3，3，4，7，9，10，11，12.三家广告中都称其产品的使用寿命为8年，利用初中所学的知识，你能说明为什么吗？知识梳理1.众数：一组数据中出现次数的数.

2.中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列后，当数据个数是奇数时，处在最中间的数是中位数；当数据个数是偶数时，最中间两个数的平均数是中位数.3.平均数：如果有n个数x1，x2，…，xn，那么x=叫做这n个数的平均数.

例1(多选)PM2.5是衡量空气质量的重要指标.如图是某地9月1日到10日的PM2.5日均值(单位：μg/m3)的折线图，则下列说法正确的是()A.这10天中PM2.5日均值的众数为33B.这10天中PM2.5日均值的中位数是32C.这10天中PM2.5日均值的中位数大于平均数D.这10天中PM2.5日均值前4天的平均数大于后4天的平均数反思感悟平均数、众数、中位数的计算方法平均数一般是根据公式来计算的；计算中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据相关数据的个数是奇数还是偶数而定；众数是看出现次数最多的数.跟踪训练1(多选)小华所在的班级共有50名学生，一次体检测量了全班学生的身高，由此求得该班学生的平均身高是1.65米，而小华的身高是1.66米，则下列说法正确的是()A.1.65米是该班学生身高的平均水平B.班上比小华高的学生人数不会超过25C.这组身高数据的中位数不一定是1.65米D.这组身高数据的众数不一定是1.65米二、总体集中趋势的估计问题2我们知道平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.从下面的三幅图中，你能得到平均数和中位数的大小存在什么关系吗？问题3什么样的问题可以用平均数描述？什么样的问题可以用中位数描述？什么样的问题可以用众数描述？例2某校举行演讲比赛，10位评委对两位选手的评分如下：甲7.57.57.87.88.08.08.28.38.49.9乙7.57.87.87.88.08.08.38.38.58.5选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后，剩下8个评分的平均数，那么，这两位选手的最后得分是多少？若直接用10位评委评分的平均数作为选手的最终得分，两位选手的排名有变化吗？你认为哪种评分办法更好？为什么？跟踪训练2某高校甲、乙两位同学大学四年选修课程的考试成绩等级(选修课的成绩等级分为1，2，3，4，5，共五个等级)的条形图如图所示，则甲成绩等级的中位数与乙成绩等级的众数分别是()A.3，5 B.3，3C.3.5，5 D.3.5，4三、利用频率分布直方图估计总体的集中趋势例3(多选)某校组织全体学生参加了主题为“奋斗百年路，启航新征程”的知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后(每组的取值区间均为左闭右开区间)，画出频率分布直方图(如图)，下列说法正确的是()A.在被抽取的学生中，成绩在区间[90，100)内的学生有10人B.这100名学生成绩的众数为85C.估计全校学生成绩的平均分数为75D.这100名学生成绩的中位数为811跟踪训练3根据如图所示的频率分布直方图求出样本数据的众数、中位数和平均数.1.知识清单：中位数、众数、平均数的计算及应用.2.方法归纳：数据分析统计.3.常见误区：求中位数时未对数据进行排序.1.在一次体育测试中，某班的6名同学的成绩(单位：分)分别为66，83，87，83，77，96.关于这组数据，下列说法错误的是()A.众数是83 B.中位数是83C.极差是30 D.平均数是832.(多选)下列关于平均数、中位数、众数的说法中错误的是()A.中位数可以准确地反映出总体的情况B.平均数可以准确地反映出总体的情况C.众数可以准确地反映出总体的情况D.平均数、中位数、众数都有局限性，都不能准确地反映出总体的情况3.(2025·全国Ⅱ卷)样本数据2，8，14，16，20的平均数为()A.8 B.9C.12 D.184.某天文社团随机调查了100位天文爱好者的年龄，得到样本数据的频率分布直方图，如图所示，则这100位天文爱好者的平均年龄约为岁.

答案精析问题1三个厂家是从不同角度进行了说明，以宣传自己的产品.其中甲：众数为8年；乙：平均数为8年；丙：中位数为8年.知识梳理1.最多3.1n(x1+x2+…+xn例1AB跟踪训练1ACD问题2一般来说，对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的(图(1))，那么平均数和中位数应该大体上差不多；如果直方图在右边“拖尾”(图(2))，那么平均数大于中位数；如果直方图在左边“拖尾”(图(3))，那么平均数小于中位数.也就是说，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边.问题3一般地，对数值型的数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用众数.例2解甲选手的最终得分为18×(7.5+7.8+7.8+8.0+8.0+8.2+8.3+8.4)=8乙选手的最终得分为18×(7.8+7.8+7.8+8.0+8.0+8.3+8.3+8.5)=8.0625若直接用10位评委评分的平均数作为选手的最终得分，则甲选手的最终得分为110×(7.5+7.5+7.8+7.8+8.0+8.0+8.2+8.3+8.4+9.9)=8.14乙选手的最终得分为110×(7.5+7.8+7.8+7.8+8.0+8.0+8.3+8.3+8.5+8.5)=8.05去掉最高分与最低分时，甲的最终得分小于乙的最终得分，即乙的排名靠前；若直接用10位评委评分的平均数作为最终得分，则甲的最终得分大于乙的最终得分，即甲的排名靠前.两种评分下，甲、乙两位选手的排名不同，去掉一个最低分和一个最高分之后，剩下8个评分的平均数作为选手的最终得分更好，这是因为平均数对样本数据的极端值比较“敏感”.跟踪训练2C例3ABD跟踪训练3解在[124.5，126.5)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数约为125.5.中位数左边和右边的直方图的面积相等，设中位数为x，则由图可知x在区间[124.5，126.5)内，则(x-124.5)×0.