小学数学第六章　§6.2　6.2.3　向量的数乘运算

6.2.3向量的数乘运算学习目标1.了解向量数乘的概念.2.理解并掌握平面向量数乘运算及运算规则.3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法.4.会用向量的数乘运算解决平行(共线)等平面问题.一、向量的线性运算问题1已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a).它们的长度和方向与向量a分别具有怎样的关系？问题2类比实数与代数式的运算，请猜想向量的数乘有哪些运算律？知识梳理1.一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个，这种运算叫做向量的，记作，它的长度与方向规定如下：(1)|λa|=.(2)λa(a≠0)的方向：当特别地，当λ=0时，λa=.当λ=-1时，(-1)a=.2.数乘运算的运算律设λ，μ为实数，那么(1)λ(μa)=.(2)(λ+μ)a=.(3)λ(a+b)=.特别地，(-λ)a=-(λa)=，λ(a-b)=.3.向量的线性运算向量的、、运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)=.例1(1)(多选)已知λ，μ∈R，且a≠0，则在下列命题中，正确的是()A.当λ<0时，λa的方向与a的方向一定相反B.当λ=0时，λa与a是共线向量C.|λa|=λ|a|D.当λμ>0时，λa的方向与μa的方向一定相同(2)已知23(4a-3c)+3(5c-4b)=0，则c=.(用a，b表示)反思感悟向量线性运算的基本方法(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数.(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当地运用运算律，简化运算.提醒：λ的正负决定向量λa(a≠0)的方向，λ的大小决定λa的模.跟踪训练1化简下列各式：(1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a)；(2)16[2(2a+8b)-4(4a-2b)]二、用已知向量表示其他向量例2在△ABC中，点D为BC的三等分点，设向量a=AB，b=AC，用向量a，b表示AD=.反思感悟用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程(组)法当直接表示比较困难时，可以首先利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则及向量减法的几何意义建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程(组).跟踪训练2如图，在△ABC中，AB=a，AC=b，M是AB的中点，N是CM的中点，则AN等于()A.13a+23b B.13aC.12a+14b D.14a三、向量共线定理问题3如果b=λa(a≠0)，那么向量a，b是否共线？反过来，若向量b与非零向量a共线，那么是否存在一个实数λ，使得b=λa？问题4若A，B，C三点共线，O为直线外一点，且OA=xOB+yOC，那么x与y有什么关系？问题5若OA=xOB+yOC，且x+y=1，那么A，B，C三点共线吗？知识梳理1.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使.2.向量共线定理的推论在平面中，A，B，C三点共线的充要条件是：OA=xOB+yOC(O为平面内直线AB外任意一点)，其中x+y=1.例3(1)已知AB=a+5b，BC=-2a+8b，CD=3(a-b)，且a，b不共线，则()A.A，B，C三点共线B.A，B，D三点共线C.A，C，D三点共线D.B，C，D三点共线(2)已知e1，e2是两个不共线的向量，a=e1+2e2，b=2e1-ke2.若a与b共线，则实数k的值为.反思感悟(1)运用向量知识判断A，B，C三点是否共线，可先判断向量共线，即是否存在λ，使AC=λAB(或BC=λAB等)成立，再说明两向量所在的直线有公共点即可说明.(2)利用向量共线求参数的方法已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.跟踪训练3设a，b是不共线的两个向量.(1)若OA=2a-b，OB=3a+b，OC=a-3b，求证：A，B，C三点共线.(2)若8a+kb与ka+2b共线，求实数k的值.1.知识清单：(1)向量的线性运算.(2)用已知向量表示其他向量.(3)向量共线定理及其应用.2.方法归纳：数形结合、分类讨论.3.常见误区：忽视零向量这一个特殊向量.1.(多选)下列运算正确的是()A.(-3)·2a=-6aB.2(a+b)-(2b-a)=3aC.(a+2b)-(2b+a)=0D.2(3a-b)=6a-2b2.(多选)已知A，B，C是不重合的三点，则下列结论正确的是()A.AB=-BAB.与BC共线的单位向量是BCC.若AB=2BC，则A，B，C三点共线D.若AB=2BC，则|AB|3.如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则DF等于()A.-12ABB.12ABC.13ABD.12AB4.设D为△ABC所在平面内一点，BC=3CD，E为AD的中点，BE与AC交于点F，设AF=λAC，则λ=.

答案精析问题1a+a+a的长度是a的长度的3倍，与a的方向相同，(-a)+(-a)+(-a)是a的长度的3倍，与a的方向相反.问题2结合律，分配律知识梳理1.向量数乘λa(1)|λ||a|(2)λ>0λ<00-a2.(1)(λμ)a(2)λa+μa(3)λa+λbλ(-a)λa-λb3.加减数乘向量λμ1a±λμ2b例1(1)ABD(2)1213b-8跟踪训练1解(1)原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b.(2)原式=16(4a+16b-16a+8b=16(-12a+24b=-2a+4b.例213a+23b或23a跟踪训练2D问题3共线；存在.问题4x+y=1，证明如下：∵A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使得AB=λBC，即OB-OA=λ(OC-OB)，∴OA=(1+λ)OB-λOC，又OA=xOB+yOC，∴x=1+λ，y=-λ，∴x+y=1.问题5共线.证明如下：由OA=xOB+yOC，且x+y=1，可得OA=xOB+(1-x)OC=xOB+OC-xOC，即OA-OC=x(OB-OC)，所以CA=xCB，由向量共线定理，得CA与CB共线，故A，B，C三点共线.知识梳理1.b=λa例3(1)B(2)-4跟踪训练3(1)证明∵AB=OB-OA=(3a+b)-(2a-b)=a+2b，BC=OC-OB=(a-3b)-(3a+b)=-2