全品高考备战2027年数学一轮备用题库17重点强化练(十七)随机变量及其分布【正文】

重点强化练(十七)随机变量及其分布一、选择题:本题共8小题.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.1.甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了得0分,共下三局.用X表示甲的得分,则X=3表示 ()A.甲赢三局B.甲赢一局C.甲、乙平局三次D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次2.已知离散型随机变量X的分布列如下表:X0123Pa15a1若离散型随机变量Y=2X+1,则P(Y≥5)= ()A.712 B.5C.56 D.3.[2025·广东上进联考]已知事件A,B互斥,且P(A)=P(B)=0.5,事件M满足P(M|A)=0.8,P(M|B)=0.7,则P(M)= ()A.0.25 B.0.35C.0.4 D.0.754.[2025·江西九江模拟]已知某地区某次数学考试共有8000名考生参与,且数学成绩X近似服从正态分布N(95,σ2),若成绩在80分以下的有1500人,则可以估计P(95≤X≤110)= ()A.532 B.516 C.1132 5.一个盒中有除颜色外完全相同的10个球,其中红球7个,黄球3个,随机抽取两个球,则至少有一个黄球的概率为 ()A.35 B.115 C.715 6.[2024·江苏苏锡常镇四市联考]水平相当的甲、乙、丙三人举行羽毛球比赛,规则如下:每局两人比赛,另一人担任裁判,每局比赛结束时,负方在下一局比赛中担任裁判.若第一局甲担任裁判,则第三局甲还担任裁判的概率为 ()A.14 B.13 C.12 7.在某对抗赛中,甲、乙两人同时挑战100秒记忆力项目,根据以往甲、乙两人同场对抗挑战该项目的记录统计分析,在对抗挑战中甲挑战成功的概率是415,乙挑战成功的概率是215,甲、乙均未挑战成功的概率是710,则在甲挑战成功的条件下,乙挑战成功的概率为 (A.12 B.38 C.25 8.某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数a1a2a3a4a5(例如01001),其中ak(k=1,2,3,4,5)出现0的概率为13,出现1的概率为23,记X=a1+a2+a3+a4+a5,则当程序运行一次时,下列说法正确的是 (A.P(X=1)=2B.E(X)=5C.D(X)=10D.五位二进制数10100与10001出现的概率相同二、选择题:本题共3小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.9.某平台的评分规则是将用户评价的一到五星转化为0-10的分值(一星2分,二星4分,三星6分,四星8分,五星10分),用得分总和除以评分的用户人数即为得分.某爱国影片的得分是7.4分,截至2021年10月24日,共计有437181人参与评分,评分表如图.根据实时数据,该片的票房为53.1亿元,按照平均票价50元来计算,大约有1亿人次观看了此片.假设参与评分的观众中有97.6%的评价不低于二星,则下列说法正确的是 ()A.m的值是32%B.随机抽取100名观众,则一定有24人评价五星C.若以频率当作概率,记事件A为“评价是一星”,事件B为“评价不高于二星”,则P(B|A)=8D.若从已作出评价的观众中随机抽取3人,则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件10.已知随机变量X和Y的分布列如下,其中a≠0且a≠1,X与Y的取值互不影响,则 ()X-101P12aY012P11aA.存在a,使得P(X=1,Y=0)=1B.E(Y)-E(X)≥1C.若Y服从二项分布,则a=3-22D.E(X+Y)=E(X)+E(Y)11.[2024·山东聊城三模]某芯片生产公司生产的芯片的优秀率为0.8,现从生产流水线上随机抽取5件,其中优秀产品的件数为X,另一随机变量Y~N(4,1),则 ()A.D(2X+1)=1.6B.E(X)=E(Y),D(X)>D(Y)C.P(X≤4)>P(Y≥4)D.P(X=k)随k的增大先增大后减小三、填空题:本题共3小题.12.设随机变量X的可能取值为-1,2,3,P(X=k)=ak+b(k=-1,2,3),若E(X)=3,则a+b=.

13.[2024·天津卷]现有A,B,C,D,E五个活动,甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A活动的概率为;已知乙选了A活动,则他选到B活动的概率为.

14.[2024·湖南衡阳二模]现有A,B两个盒子,其中A盒装有3个黑球和3个白球,B盒装有3个黑球和2个白球,这些球除颜色外完全相同.甲从A盒、乙从B盒各随机取出一个球,若2个球同色,则甲胜,并将取出的2个球全部放入A盒中,若2个球异色,则乙胜,并将取出的2个球全部放入B盒中.按上述方法重复操作两次后,B盒中恰有7个球的概率是.

四、解答题:本题共5小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.2024年7月26日第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎开幕,为了保证奥运赛事的顺利组织和运行以及做好文化交流、信息咨询、观众引导等多方面的工作,每项比赛都需要若干名志愿者参加服务,每名志愿者可服务多个项目.现有100米、200米、400米、800米、1500米、5000米6个项目.(1)志愿者汤姆可以在以上6个项目中选择3个参加服务,求汤姆在选择200米服务的条件下选择1500米服务的概率.(2)为了调查志愿者参加服务的情况,从仅参加1个项目的志愿者中抽取了10名,其中6名参加5000米服务,4名参加800米服务.现从这10名志愿者中再选3名做进一步调查,将其中参加800米服务的人数记作X,求随机变量X的分布列和数学期望.16.中国数学奥林匹克(CMO)竞赛由中国数学会主办,是全国中学生级别最高、规模最大、最具影响力的数学竞赛.某中学为了选拔参赛队员,组织了校内选拔赛.比赛分为预赛和决赛,预赛成绩合格者可进入决赛.(1)根据预赛成绩统计,学生预赛的成绩X~N(70,225),成绩超过85分的学生可进入决赛.若共有600名学生参加了预赛,试估计进入决赛的人数(结果取整数).(2)决赛试题共设置了10个题目,其中单选题6个,每题10分,每题有1个正确选项,答对得10分,答错得0分;多选题4个,每题15分,每题有多个正确选项,全部选对得15分,部分选对得5分,有选错的得0分.假设甲同学进入了决赛,且在决赛中每个单选题答对的概率均为35,每个多选题得15分、5分、0分的概率均分别为15,35,15.附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.955,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997.17.某校团委为加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成学生垃圾分类的习惯,组织了知识竞赛活动,现高一和高二两个年级各派一位学生代表参加决赛,决赛的规则如下:决赛一共五轮,在每一轮中,两位学生各回答一次题目,累计答对题目数量多者胜;若五轮答满,分数持平,则并列为冠军;若在答满5轮前,其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答对的题目数量,则不需再答题,即可决出冠军.譬如:第3轮结束时,双方答对题目数量比为3∶0,则不需再答第4,5轮了.设高一年级的学生代表甲答对每道比赛题目的概率均是23,高二年级的学生代表乙答对每道比赛题目的概率均是12,每轮答题比赛中,(1)在一次赛前训练中,学生代表甲答了3轮题,且每次答题互不影响,记X为答对题目的数量,求X的分布列及数学期望;(2)求在第4轮结束时,学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率.18.[2024·浙江五校协作体联考]已知某军的每辆坦克上都有一个按生产顺序从1开始的连续编号,假设该军某月生产的坦克总数为N,随机缴获该月生产的n辆(n<N)坦克的编号为X1,X2,…,Xn,记M=max{X1,X2,…,Xn},即缴获坦克中的最大编号.现考虑用概率统计的方法利用缴获的坦克编号信息估计总数N.甲同学根据样本均值估计总体均值的思想,用X=X1+X2+…+Xnn估计总体的均值,因此NX≈∑i=1Ni=N(N+1)2,得X≈N+12,故可用Y=2X-1作为N的估计值.乙同学对此提出异议,认为这种方法可能出现Y<M的无意义结果.例如,当N(1)当N=5,n=3时,求条件概率P(Y<M|M=5);(2)为了避免甲同学方法的缺陷,乙同学提出直接用M作为N的估计值,当N=8,n=4时,求随机变量M的分布列和均值E(M);(3)丙同学认为估计值的均值应稳定于实际值,但直观上可以发现E(M)与N存在明确的大小关系,因此乙同学的方法也存在缺陷,请判断E(M)与N的大小关系,并给出证明.19.某学校文学社举办了诗词大会,在选拔赛阶段,共设两轮比赛.第一轮是诗词接龙,第二轮是飞花令.第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目,选手从中随机抽取2个题目,主持人说出诗词的上句,若选手正确回答出下句则得10分,若