全品高考备战2027年数学一轮学生用书04第44讲直线、平面垂直的判定与性质【正文】听课手册

第44讲直线、平面垂直的判定与性质【课标要求】1.从立体几何的有关定义和基本事实出发,了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质定理与判定定理,并能够证明相关性质定理.

2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.1.直线与平面垂直(1)定义:如果直线l与平面α内的都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.直线l叫作平面α的,平面α叫作直线l的.

(2)直线与平面垂直的判定与性质类别语言表述图形表示符号语言应用判定根据定义,证明一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线b是平面α内的任意一条直线,a⊥b⇒a⊥α证明直线和平面垂直如果一条直线与一个平面内的垂直,那么该直线与此平面垂直

a⇒l⊥α如果两条平行直线中的垂直于一个平面,那么也垂直于这个平面

a⊥α,b⊥α性质如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线和这个平面内的都垂直

b⊂α,a⊥b证明直线与直线垂直垂直于同一个的两条直线平行

a⊥α,a∥b证明直线与直线平行2.平面与平面垂直(1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是,就说这两个平面互相垂直.

(2)两个平面垂直的判定与性质类别语言表述图形表示符号表示应用判定根据定义,证明两平面所成的二面角是

∠AOB是二面角α-l-β的平面角,且,则α⊥β

证明两个平面垂直如果一个平面过另一个平面的,那么这两个平面垂直

l⊂β,α⊥β性质如果两个平面垂直,那么它们所成是直角

α⊥β,∠AOB是二面角α-l-β的平面角,则

证明两条直线垂直两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的,那么这条直线与另一个平面

α⊥β,a⊥α证明直线与平面垂直常用结论1.与线面垂直相关的常用结论:(1)两条平行直线中的一条直线与一个平面垂直,则另一条直线也与这个平面垂直;(2)一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则与另一个平面也垂直;(3)过空间一点有且仅有一条直线与已知平面垂直;(4)过空间一点有且仅有一个平面与已知直线垂直.2.三种垂直关系的转化:线线垂直线面垂直面面垂直题组一常识题1.[教材改编]如图,已知PD垂直于菱形ABCD所在的平面,连接PA,PB,PC,AC,BD,则一定互相垂直的平面有对,与AC垂直的直线有条.

2.[教材改编]若平面α⊥平面β,且α∩β=l,则下列说法中正确的序号是.

①平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线;②平面α内的直线必垂直于平面β内的无数条直线;③平面α内的任意一条直线必垂直于平面β;④过平面α内任意一点作交线l的垂线,则此垂线必垂直于平面β.3.[教材改编]在三棱锥P-ABC中,点P在平面ABC上的射影为点O.(1)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的心;

(2)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的心.

题组二常错题◆索引:证明线面垂直时,易忽视平面内两条直线为相交直线这一条件;忽略线面垂直、面面垂直的条件致误;面面垂直的判定中找不到哪个面和哪条线垂直;注意排除由平面到空间的思维定势的影响.4.“直线a与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面α垂直”的条件.(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)

5.如图所示,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形,PA=a,PB=PD=2a,则它的5个面中,互相垂直的面有对.

6.在△ABC中,∠BAC=90°,P为平面ABC外的一点,且PA=PB=PC,则平面PBC与平面ABC(填“一定”或“不一定”)垂直.

垂直关系的基本问题例1(1)[2025·黑龙江黑河龙西北名校联盟调研]α,β是两个不同的平面,m⊂β,则“α⊥β”是“m⊥α”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)如图所示,AC为圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,B为圆周上不与点A,C重合的点,AS⊥PC于点S,AN⊥PB于点N,则下列说法不正确的是 ()A.平面ANS⊥平面PBCB.平面ANS⊥平面PABC.平面PAB⊥平面PBCD.平面ABC⊥平面PAC总结反思解决线、面位置关系判定的问题一般是利用正方体模型或画图分析解决,其实最好的办法是笔当线,纸、手掌当面动态演示.变式题(1)已知l,m是两条直线,α,β是两个平面,则能推出“l⊥α”的一个条件是 ()A.l⊥β,α∥β B.l∥β,α⊥βC.l⊥m,m∥α D.l⊥m,m⊂α(2)[2025·北京西城区调研]在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=AD=1.给出下列四个结论:①AC1⊥BD;②A1C⊥B1D;③A1D⊥平面ABD1;④AB1⊥平面A1BD.其中正确的结论是 ()A.①③ B.②③C.①④ D.②④线面垂直的判定与性质例2如图,在四棱锥S-ABCD中,△SAD是等边三角形,四边形ABCD是矩形,且3SA=2AB,E是BC的中点,F是SE的中点.证明:SE⊥平面ADF.

总结反思解决直线与平面垂直问题的常用方法:(1)线面垂直的判定定理:l⊥a,l⊥b,a⊂α,b⊂α,a∩b=P⇒l⊥α.(2)面面垂直的性质定理:α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.(3)性质:①a∥b,b⊥α⇒a⊥α;②α∥β,a⊥β⇒a⊥α.变式题如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,AE为底面直径,AE=AD.△ABC是底面的内接正三角形,P为DO上一点,PO=66DO.证明:PA⊥平面

面面垂直的判定与性质例3[2025·厦门二模]如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,平面AA1C1C⊥平面ABC,AA1=A1C1=C1C=2,AC=4,BA=BC.证明:A1B⊥AC1.

总结反思1.判定面面垂直的方法:(1)面面垂直的定义;(2)面面垂直的判定定理(a⊥β,a⊂α⇒α⊥β)(一般在一个平面内找交线的垂线,证此线与另一平面垂直).2.在已知面面垂直时,一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.变式题如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BB1的中点,AB=2,AA1=22.(1)证明:CD⊥A1E;(2)证明:平面A1CE⊥平面CDE;(3)求点C1到平面CDE的距离.

平行垂直关系的综合问题例4如图所示,在四棱锥E-ABCD中,AD∥BC,2AD=BC=2,AB=2,AB⊥AD,EA⊥平面ABCD,过点B作平面α⊥BD.(1)证明:平面α∥平面EAC;(2)已知点F为棱EC的中点,若EA=2,求直线AD与平面FBD所成角的正弦值.

总结反思垂直关系综合问题的解题方法:(1)对于三种垂直的综合问题,一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.(2)对于垂直与平行相结合的问题,应注