全品高考备战2027年数学一轮学生用书04第33讲平面向量的数量积【答案】作业手册

第33讲平面向量的数量积1.C[解析]a在b上的投影向量为a·b|b|·b|b|2.C[解析]方法一:|a-b|2=a2+b2-2a·b=16+4-2×4×2×12=12,则|a-b|=23方法二:如图,设a=AC,b=AB,则AC=4,AB=2,∠CAB=π3,a-b=BC,故|a-b|=|BC|=BC=23.故选C3.C[解析]对于A,∵a=(2,0),b=(1,1),∴|a|=2,|b|=2,故A错误;对于B,a·b=2,故B错误;对于C,∵a=(2,0),b=(1,1),∴(a-b)·b=a·b-b2=2-2=0,∴(a-b)⊥b,故C正确;对于D,∵a=(2,0),b=(1,1),∴2×1≠0×1,a∥b不成立,故D错误.故选C.4.D[解析]如图,因为AD为BC边上的中线,所以AD=12(AB+AC),又BC=AC-AB,所以AD·BC=12(AB+AC)·(AC-AB)=12(|AC|2-|AB|2)=-55.D[解析]由题意可得|e1|=1,|e2|=1,因为e1·e2=0,所以|e1-3e2|=(e1-3e2)2=e12+3e22=2.设e1-3e2与e2的夹角为θ,0°≤θ≤180°,则c6.ACD[解析]对于A,B,设a与b的夹角为θ(0≤θ≤π),因为|a-2b|=7,所以(a-2b)2=a2-4a·b+4b2=5-4a·b=7,得a·b=-12,所以cosθ=a·b|a||b|=-12,所以θ=2π3,故A正确,B错误;对于C,|2a-3b|=(2a-3b)2=4a2+9b2-12a·b=4+97.-2[解析]由已知条件,得a·b=0,即m+2=0,即m=-2.8.220[解析]平移向量c与b共起点,易看出b,c的夹角为45°,所以cos<b,c>=cos45°=22.由图可得|a|=5,|b|=2,|c|=1,cos<a,c>=15=55,所以(a-b)·c=a·c-b·c=|a||c|cos<a,c>-|b||c|cos<b,c>=5×1×55-9.解:(1)向量a=(-4,8),b=(x,-4),则a+b=(x-4,4),由a∥(a+b),得8(x-4)=-4×4,解得x=2,所以a+b=(-2,4),故|a+b|=25.(2)12a-b=(-2-x,8),由a⊥12a-b,得a·12a-b=-4(-2-x)+8×8=0,解得x=-18,则b=(-18,-4),所以c1717,即向量a与b的夹角的余弦值为1710.A[解析]设b=(x,y),因为a=(1,3),所以a-b=(1-x,3-y),又|a-b|=4,所以(x-1)2+(y-3)2=42,所以点(x,y)在以C(1,3)为圆心,4为半径的圆上,又|OC|=2(其中O为坐标原点),所以|b|=x2+y2∈[4-2,4+2],即|b|∈11.C[解析]如图,令直径EF∥AB,过F作FC垂直于AB的延长线,垂足为C,连接OA,OB,易知△AOB是等边三角形.因为AD·AB=|AD||AB|cos∠BAD,所以AD·AB可看作AD在AB上的投影向量的模与|AB|的乘积.由图可知当D与F重合时,AD在AB上的投影向量的模最大,所以AD·AB的最大值为|AC|·|AB|.设M为AB的中点,则AM=12AB=1,MC=OF=2,所以AC=3,故AD·AB的最大值为|AC|·|AB|=3×2=6.故选C12.BCD[解析]当a·b=-1时,可得cos<a,b>=a·b|a|·|b|=-11×2=-12,又0≤<a,b>≤π,所以<a,b>=2π3,故A错误;由|a-b|=2,可得a2-2a·b+b2=4,又|a|=1,|b|=2,所以12-2a·b+22=4,所以a·b=12,所以a在b上的投影向量为a·b|b|2b=1222b=185-4cosθ,所以|a+b|+|a-b|=5+4cosθ+5-4cosθ,设y=5+4cosθ+5-4cosθ,则y2=5+4cosθ+225-16cos2θ+5-4cosθ=10+225-16cos2θ,因为0≤θ≤π,所以-1≤c13.433[解析]由题意,得|a|=|b|=1,设向量a,b的夹角为θ,因为a·b=12,所以cosθ=12,故θ=π3.以O为原点,a的方向为x轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系,使b的起点与O重合,终点在第一象限,则a=(1,0),b=12,32.设所以p=2,233,故|p|=14.-4[解析]在Rt△ABC中,AC=BC=4,所以AB=42,因为D为AB的中点,所以CD=12AB=22,又因为P为线段CD上的一个动点,所以PA+PB=2PD,所以(PA+PB)·PC=2PD·PC=-2|PD||PC|≥-(|PD|+|PC|)22=-(22)22=-4,当且仅当|PD15.解:(1)如图所示,由DE=2EC可得EC=13DC,所以EF=EC+CF=13DC+12CB=16又EF=λAB+μAD,所以λ=512,μ=-12,所以λ+μ=-(2)方法一:以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,0),D(0,2),B(4,0),C(2,2),F(3,1).由点P是线段AF(含端点)上的动点,可令AP=tAF,t∈[0,1],所以AP=tAF=(3t,t),又AD=(0,2),所以DP=AP-AD=(3t,t-2),所以AP·DP=10t2-2t,t∈[0,1].由二次函数的性质可得,当t=110时,AP·DP取得最小值-110;当t=1时,AP·DP取得最大值8.综上可得,AP·DP的取值范围是方法二:取AD的中点M,作MG⊥AF,垂足为G,如图所示,连接PM,则AP·DP=PA·PD=(PM+MA)·(PM+MD)=PM2+PM·(MA+MD)+MA·MD=PM2-MA2=PM2-1,显然当点P与点F重合时,PM取得最大值3,当点P与点G重合时,PM取得最小值31010,所以16.A[解析]方法一:以A为原点,AB的方向为x轴的正方向,建立如图①所示的平面直角坐标系,设P(x,y),则AB=(2,0),AP=(x,y),∵-1<x<3,∴AB·AP=2x∈(-2,6).方法二:如图②,以{AB,AE}为基底,则<AB,AE>=π2,且|AB|=2,|AE|=23.∵P为正六边形内(不包括边界)的一点,∴AP=xAB+yAE,-12<x<32,则AP·AB=(xAB+yAE)·AB=xAB2=4x.∵-12<x<32,∴方法三:作出正六边形ABCDEF,如图③所示,AP·AB=|AB||AP|cos<AP,AB>,|AB|=2.由图可得,当P位于C处时,|AP|cos<AP,AB>最大,又AC=23,∠CAB=π6,故此时|AP|cos<AP,AB>=23×32=3,则AP·AB=|AB||AP|cos<AP,AB>=2×3=6;当P位于F处时,|AP|cos<AP,AB>最小,又AF=2,∠FAB=2π3,故此时|AP|cos<AP,AB>=2×-12=-1,则AP·AB=|AB||AP|cos<AP,AB>=2×(-1)=-2.∵P是正六边形内(不包括边界)的一点,∴AP·17.BCD[解析]由题意知|a|=2,|c|=1,|a-b|=|b-c|=1,设OA=a,OB=b,OC=c,不妨设C(1,0),如图,动点A在以O为圆心,2为半径的圆上,动点B在以C为圆心,1为半径的圆上,且满足|AB|=1,圆C的方程是(x