全品高考备战2027年数学一轮学生用书11增分微练8空间中的动态问题【答案】作业手册

增分微练8空间中的动态问题1.D[解析]方法一:设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,如图,以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则D1(0,0,1),A(1,0,0).设点P(x,y,0)(0≤x≤1,0≤y≤1),所以D1A=(1,0,-1),D1P=(x,y,-1),则cos<D1A,D1P>=D1A·D1P|D1A|·|D方法二:由题意知线段D1P的轨迹是以D1A为轴的圆锥的侧面,D1A1为其中一条母线所在的直线,且D1A1与底面ABCD平行,又平行于母线的平面截圆锥的侧面所得曲线为抛物线的一部分,所以动点P的轨迹为抛物线的一部分.故选D.2.B[解析]过点A且与AB垂直的平面有且仅有一个,设为β,则直线AC在平面β内.因为点C是平面β与平面α的公共点,平面β与平面α只有一条交线,所以动点C的轨迹是一条直线,且是过点A垂直于AB的平面与平面α的交线.故选B.3.B[解析]在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,CM·AC1=(CA+AM)·AC1=CA·AC1+AM·AC1=-2+AM·AC1=-32,则AM·AC1=12,而|AC1|=3,所以AM在AC1上的投影向量的模为36,因此点M在与AC1垂直的平面内,且点A到该平面的距离为36.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接A1B,A1D,BD,易得AC1⊥平面A1BD,点A到平面A1BD的距离为33.取AB,AD,AA1的中点分别为E,F,G,连接EF,FG,GE,易得平面EFG∥平面A1BD,则AC1⊥平面EFG,且点A到平面EFG的距离为364.ACD[解析]以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),O(1,1,0),设点P(x,2,z),其中0<x<2,0<z<2.对于A选项,AC=(-2,2,0),D1O=(1,1,-2),则AC·D1O=-2+2=0,所以D1O⊥AC,故A正确;对于B选项,B1P=(x-2,0,z-2),若B1P∥D1O,则x-21=01=z-2-2,解得x=z=2,不符合题意,所以不存在点P,使得B1P∥D1O,故B错误;对于C选项,S△ADD1=12×22=2,点P到平面ADD1的距离为2,所以VA-DD1P=VP-ADD1=13×2×2=43,故C正确;对于D选项,OP=(x-1,1,z),若D15z2-4z+4=5z-252+165≥455,当且仅当z=25时,等号成立,因为C1D1⊥平面BB1C1C,C1P⊂平面BB1C1C,所以C1D1⊥C1P,所以S△C15.B[解析]以C为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.过P作PN⊥BB1,垂足为N.设P(x,3,z),则H(3,0,2),F(1,3,2),N(0,3,z),且0≤x,z≤3.由PF=PN,得(x-1)2+(z-2)2=x,化简得2x-1=(z-2)2,所以HP2=(x-3)2+9+(z-2)2=x2-6x+18+2x-1=(x6.ABD[解析]因为在长方形ABCD中,AB=2,BC=2,E,F分别为AB,CD的中点,所以BD=6,AF=3,易知△DMF∽△BMA,又DFAB=12,所以DMMB=12,则DM=63,AM=233,所以AM2+DM2=AD2,所以AF⊥BD,同理可得BD⊥EC.对于A,由上述分析可知在翻折的过程中,BD⊥PN,BD⊥EN,因为PN∩EN=N,PN,EN⊂平面PEN,所以BD⊥平面PEN,故A正确;对于B,因为AM⊥BD,PN⊥BD,所以MN为AM,PN的公垂线段,所以点G到直线AM的最短距离为MN,易知MN=13BD=63,故B正确;对于C,PA=PN+NM+MA,因为二面角P-BD-A的大小为π3,所以<PN,MA>=2π3,所以PA2=(PN+NM+MA)2=PN2+NM2+MA2+2PN·NM+2PN·MA+2NM·MA=2332+632+2332+0+2×233×233×-12+0=2,所以PA=2,故C错误;对于D,因为7.53π6[解析]如图,球面与正方体的六个面都相交,所得的交线分为两类:一类在顶点A所在的三个面上,即平面AA1B1B、平面ABCD和平面AA1D1D上;另一类在不过顶点A的三个面上,即平面BB1C1C、平面CC1D1D和平面A1B1C1D1上.在平面AA1B1B上,交线为弧EF且在过球心A的大圆上,因为A1E=2332-12=33,所以∠A1AE=π6,同理∠BAF=π6,所以∠EAF=π6,故弧EF的长为233×π6=3π9,而这样的弧共有三条.在平面BB1C1C上,交线为弧FG且在到球心的距离为1的平面与球面相交所得的小圆上,此时,小圆的圆心为B,半径为BF=A1E=38.2[解析]如图,取BC的中点E,连接AE,因为三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱,所以AE⊥BC,AA1⊥平面ABC,又AE⊂平面ABC,所以AA1⊥AE,所以以A为原点,过点A且平行于BC的直线为x轴,AE所在直线为y轴,AA1所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.因为正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2,所以A(0,0,0),B(1,3,0),A1(0,0,2),设CD=t(0≤t≤2),则D(-1,3,t),所以AB=(1,3,0),A1B=(1,3,-2),BD=(-2,0,t).当t=0时,BD=(-2,0,0),设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则n·A1B=x+3y-2z=0,n·BD=-2x=0,令z=3,则n=(0,2,3),设A到平面A1BD的距离为d1,则d1=|AB·n||n|=234+3=2217;当1+443t2所以当t=1时,d2取得最大值22=2.因为22172=127<2=(2)2,所以A到平面A19.[0,1][解析]设底面三角形内切圆的半径为r,则12(3+3+3)r=34×(3)2,解得r=12.若该三棱柱有内切球,则三棱柱的高刚好为底面内切圆的直径,即为1