全品高考备战2027年数学一轮备用题库11培优专训(七)圆锥曲线中的交汇、创新问题【答案】作业手册

培优专训(七)圆锥曲线中的交汇、创新问题1.解:(1)由题可得,直线族mx+ny=1(m,n∈R)为圆M的切线,故圆心到直线族中直线的距离d1=|m·0+n·3-1|m2+n2=2,所以m,n满足(2)将点N(x0,y0)的坐标代入y=tx-t2(t∈R),可得关于t的方程t2-x0t+y0=0,因为点N(x0,y0)不在直线族y=tx-t2(t∈R)的任意一条直线上,所以方程t2-x0t+y0=0无实数解,所以Δ=x02-4y0<0,故y0>x024,所以y0>0.因为区域y0>x024的边界为抛物线x2=4y,所以x2=4y是直线族Ω:证明:联立y=tx-t2(t∈R)与x2=4y,可得x2-4tx+4t2=0,所以Δ=0,故直线y=tx-t2(t∈R)为抛物线x2=4y的切线.因此直线族Ω的包络曲线E的方程为x2=4y.(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(2u,u2),则kPA=y1-u2x1-2u=x1+2u4,故PA:(x由直线PA与圆M相切,得点M到直线PA的距离d2=|12+2u整理得(u2-1)y1+2ux1+5-u2=0,同理可得(u2-1)y2+2ux2+5-u2=0,所以直线AB:(u2-1)y+2ux+5-u2=0.联立直线AB与曲线E的方程得(u2-1)y+2ux+5-u2=0,由根与系数的关系可得x1+x2=-8uu2-1,x1因此|AB|=4(u因为点P(2u,u2)到直线AB的距离d3=u4+2u2+5u2u4-2u2+5(u2令u2-1=m,则S△PAB=2m+8m+41+4m2,令f(m)=2m+8m21+4m2(m-4)(m3+4m2+8m+16)m4+4m2=0,m≥-1,解得m=4,当m∈(-1,4)时,f'(m)<0,当m∈(4,+∞)时,f'(m)>0,所以f(m)在(-1,4)上单调递减,在(4,+∞)上单调递增,所以(S△PAB)2.解:(1)设E的焦距为2c,设n与E交于点A(x1,y1),B(x2,y2).①当n与x轴重合时,显然|AB|=2a;②当n不与x轴重合时,设n:x=ty+c,联立x=ty+c,x2a2+y2b2=1,整理得(b则y所以|AB|=1+t2|y1-y1+t2a(t2+1则有|AB|∈2b2a,2a.因此有2b2a=所以椭圆E的方程为x24+y2(2)(i)设点D(x0,y0)为曲线C上任意一点,由条件知m≠0,则有y=(1-xm)1m,y'=-xm-1(1-xm)m-1m=-设切线l分别交x,y轴于点I,J,令y=0,解得x=y0mx0m-1+x0令x=0,解得y=x0my0m-1+y0则有|IJ|=x02则只能有x02-2m+y02-2m=x0m+y0m=1,则2-2m=m,解得m=23,否则,x02-2m+y(ii)设切线l与椭圆交于M(x3,y3),N(x4,y4),此时令k=3y0x0>0,则切线l的方程为y-y0=-k(将l的方程与E的方程联立,得y-y0=-k(x-x0),x24+y23=1,故(3+4k2因此|MN|=1+k2|x3-x1+k4343434343434231+因为k>0,所以16k4+24k2+9>9,则1<1+316k4所以231+316k4+24k2+9∈即所求范围为(23,4).3.解:(1)依题意设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),则渐近线方程为y=±bax,则ba=22(2)①当直线l1,l2中有一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在时,直线MN与x轴重合,不符合题意,所以直线l1,l2的斜率均存在且不为0.设l1的方程为y=k(x-pn)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),N(xN,yN),由y=k(x-pn),x22-y2=1,得(1-2k2)x则1-2k2≠0,所以x1+x2=-4k2pn1-2k2,x1x2=-2k2pn2-21-k-2k2所以M-2同理可得N-2因为M,N,Q三点共线,所以yN(xN-xM)=(yN-yM)(xN-tn),又yN-yM≠0,所以tn=xM-2k2pn因为pn=2n,所以tn=2n+1.②an=|PQ|=|2n-2n+1|=2n,所以∑k=12n[bk+1-(-1)kbk]ak=∑k=1(-1)2k-1b2k-1]a2k-1+[b2k+1-(-1)2kb2k]a2k}=∑k=1n[(4k-1+4k-3)×22k-1+(4k+1-4k+1)×22k]=∑k=1nk×22k+2=∑k=1nk×4k+1.设Tn=∑k=1nk×4k+1,则Tn=1×42+2×43+3×44+…+n×4n+1,所以4Tn=1×43+2×44+3×45+…+n×4n+2,所以-3Tn=42+43+44+…+4n+1-n×4n+2=16(16+(3n-1)×4n+29,所以∑k=12n[bk+1-(4.解:(1)由题意得c=5,ba=2,a2+(2)(i)证明:设斜率为4,与双曲线右支相交于Ak,Bk两点的直线方程为y=4x+mk,其中1≤k≤n,k,n∈N*,由x2-y24=1,y=4x+mk,消去y可得12x2+8mkx+mk由根与系数的关系得xAk+xBk=-2m直线AkPk的方程为y-yAk=-2(x-xAk),而yAk=4xAk+mk,即y=-2x+6xAk+mk,直线BkPk的方程为y-yBk=2(x-xBk),而yB由y=-2x+6xAk+mk,y=2x+2xBk+mk,得yPk即P1,P2,…,Pn都在直线y=x上,所以P1,P2,…,Pn共线.(ii)|OPi|2-|PiPi+1|2(1≤i≤n-1,由(i)可设Pi的坐标为(xi,xi),因为点Pi在直线+1Bi+1上,所以mi+1=-3xi,直线+1Bi+1的方程为y=4x-3xi,根据(i)中的