全品高考备战2027年数学一轮学生用书04第4讲基本不等式【正文】听课手册

第4讲基本不等式【课标要求】1.掌握基本不等式ab≤a+b2(a,b>0).

21.基本不等式ab≤a(1)基本不等式成立的条件:.

(2)等号成立的条件:当且仅当时取等号.

(3)数称为a,b的算术平均数;数ab称为a,b的几何平均数.

2.几个重要的不等式(1)a2+b2≥(a,b∈R).

(2)ba+ab≥(a,b(3)ab≤a+b22(a,(4)a+b22≤a2+b3.利用基本不等式求最值问题已知x>0,y>0.(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值,是.(简记:积定和最小)

(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时,xy有最大值,是.(简记:和定积最大)

常用结论1.若a>0,b>0,则21a+1b≤ab≤a+b2≤a2.当x>0时,函数y=x+ax(a>0)在x=a处取得最小值2a;当x<0时,函数y=x+ax(a>0)在x=-a处取得最大值-2题组一常识题1.[教材改编]已知x>1,则y=x+4x的最小值为,当且仅当x=时y取最小值2.[教材改编]函数y=x(3-2x)(0≤x≤1)的最大值是.

3.[教材改编]若函数f(x)=x+1x-2(x>2)在x=a处取得最小值,则a4.[教材改编]已知一个矩形的周长为36cm,矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱.当矩形的长为cm,宽为cm时,旋转形成的圆柱的侧面积最大,最大侧面积为cm2.

题组二常错题◆索引:对于基本不等式的应用,忽视变量的正负致错;忽视等号成立的条件致错.5.设x<0,则y=3-3x-1x的最小值是6.当x≤-2时,x+4x-2直接用基本不等式例1(1)[2025·北京卷]已知a>0,b>0,则 ()A.a2+b2>2ab B.1a+1bC.a+b>ab D.1a+1b(2)(多选题)已知a,b∈R,则下列不等式成立的是 ()A.4ab≤(a+b)2 B.a+bC.2aba+b≤a+b2 总结反思利用基本不等式比较大小,主要有两个思路:一是直接建立不等关系比较大小;二是观察待比较式子的结构特征,合理选取基本不等式或其变形形式,结合不等式的性质比较大小.变式题(1)(多选题)在下列函数中,最小值是22的是 ()A.y=x2+2x2(B.y=x+1x(xC.y=x2+3D.y=ex+2(2)“a2+b22≥a+b2”是“a+A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件变形用基本不等式求最值微点1配凑法例2(1)x3-2x2(-1<x<0)的最小值为A.-12 B.-C.-324 D.(2)设实数x满足x>0,则函数y=2+3x+4x+1的最小值为 (A.43-1 B.43+2C.42+1 D.6总结反思基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,先配凑出积、和为常数的形式,再利用基本不等式求解.微点2常数代换法例3(1)[2025·石家庄一模]已知x∈(0,4),则f(x)=1x+164-x的最小值为A.493 B.172 C.193 (2)已知x>0,y>0,且4x+2y-xy=0,则2x+y的最小值为 ()A.16 B.8+42C.12 D.6+42总结反思常数代换法主要解决形如“已知x+y=t(t为常数,t≠0),求ax+by的最值”的问题,通常先将ax+by转化为a微点3消元法求最值例4[2025·湖北襄阳五中适应性考试]已知实数x,y满足x>3,且xy+2x-3y=12,则x+y的最小值为 ()A.1+26 B.8C.62 D.1+23总结反思消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解.有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解.1.已知x>1,则y=x+4x-1取得最小值时x的值为 (A.3 B.2 C.4 D.52.(多选题)[2025·漳州四模]已知正实数x,y满足x+2y=1,则 ()A.xy≤18 B.x2+y≥C.1x+1y≥3+22 D.x+3.若a>0,b>0,且a+2b=ab,则2a+b的最小值为.

4.已知x,y都是正数,且满足x+2y+xy=30,则xy的最大值为.

基本不等式的实际应用例5某厂家拟在2026年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x(单位:万件)与年促销费用t(t≥0,单位:万元)之间满足x=4-k2t+1(k为常数).若不搞促销活动,则该产品的年销量只有1万件.已知2026年生产该产品的固定投入为6万元,每生产1万件该产品需要再投入12万元,该厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1(1)设该厂家2026年该产品的年利润为y万元,求y关于t的函数关系式.(2)该厂家2026年该产品的年促销费用为多少万元时该产品的年利润最大?

总结反思有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题建立函数关系式,再利用基本不等式求得函数的最值.(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为因变量.(3)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围.(4)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,则可利用函数的单调性求解.变式题[2025·重庆一中期末]如图所示,利用一堵长8m、高3m的旧墙建造一个