全品高考备战2027年数学一轮备用题库10培优专训(八)概率与其他知识的交汇问题【答案】作业手册

培优专训(八)概率与其他知识的交汇问题1.解:(1)由题得2×2列联表如下,单位:人对宣传活动是否了解性别合计男女了解402060不了解202040合计6040100(2)零假设为H0:该校学生对该宣传活动的了解情况与性别无关联,由(1)可得χ2=100×(40×20-20×20)260×40×60×40=259≈2.778<根据小概率值α=0.05的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为H0成立,即认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别无关联.(3)由(1)可知抽取的100名学生中了解该活动的男生和女生分别为40人和20人,所以从了解该活动的学生中随机抽取1人,抽到女生的概率为2040+20=1由题意可知X的所有可能取值为0,1,2,3,且X~B3,13,所以P(X=0)=C301-133=827,P(P(X=2)=C321-13×132=627=29所以随机变量X的分布列为X0123P8421数学期望E(X)=3×13=12.解:(1)从该校随机抽取1名学生,若已知抽到的是女生,估计该学生参加“体育锻炼”活动时间在[50,60)内的概率为96+9+10+10+6+4=1(2)依题意,X的所有可能取值为0,1,2,参加“体育锻炼”活动时间在[80,90)内的学生人数为15,其中初中生10人,参加“体育锻炼”活动时间在[90,100)内的学生人数为12,其中初中生8人.记事件C为“从参加活动时间在[80,90)内的学生中随机抽取1人,抽到的是初中学生”,事件D为“从参加活动时间在[90,100)内的学生中随机抽取1人,抽到的是初中学生”,事件C,D相互独立,P(C)=1015=23,P(D)=812则P(X=0)=P(CD)=P(C)P(D)=13×13=19,P(X=1)=P(CD+CD)=P(C)P(D)+P(C)P(D)=23×13+13×23=49,P(X=2)=P(CD)=P(C)P(D所以X的分布列为X012P144数学期望E(X)=0×19+1×49+2×49(3)根据男女生人数先补全初高中学生各区间人数,如下表,类别时间[0,50)[50,60)[60,70)性别男51213女6910学段初中11-m811高中m1312类别时间[70,80)[80,90)[90,100)性别男898女1064学段初中11108高中754在[50,100)内初中生参加活动的总时间t1=8×55+11×65+11×75+10×85+8×95=3590,在[50,100)内高中生参加活动的总时间t2=13×55+12×65+7×75+5×85+4×95=2825,则μ0=1100×(11×25+3590+2825)=66.9,μ1=159-m[25(11-m)+3590]μ2=141+m(25m+2825)=25+由μ0=μ1+μ22,得83.8=239059-3.解:(1)记事件“X=2且乙获胜”为事件A,则这两个球均由乙得分,所以P(A)=1-23×1(2)事件“X=4”表示在双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了4个球,且这4个球中前两球是甲、乙各得1分,后两个球均由甲得分,或均由乙得分,所以P(X=4)=23×12+(3)证明:由比赛规则可知,当n=2k-1(k∈N*)时,an=0.当n=2k(k∈N*)时,事件“X=n且甲获胜”表示在双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了2k个球,且这2k个球的得分情况为:前(2k-2)个球是每两个球甲、乙各得1分,最后第2k-1,2k个球均由甲得分.记“比赛2局结果为平局”为事件B,则P(B)=23×12+1-23×12=12,所以a又因为a2=1-12-16=13,所以an=1综上,an=0,n=2k-1当n=2k-1,k∈N*时,∑i=1n=13×1-当n=2k,k∈N*时,∑i=1n=13×1-因为0<1-12n-12<1,0<1-12n4.解:(1)根据题意,某天采访刚好到第五位可停止当天采访,即采访的前四位中有一位是“达标成年人”,第五位必是“达标成年人”,所以某天采访刚好到第五位可停止当天采访的概率为C41×13×233(2)依题意,P(X=2)=132,P(X=3)=C21×13×23×13,P(X=4)=C31×13×232×13,…,由题得132+C21×132×23+C31×132×232+…+Cn-11×132×23n-2>13,化简得记S=1+2×23+3×232+…+(n-1)×则23S=1×23+2×232+3×233+…+(n-1)×23n-1②,由①-②,可得13S=1+23+232+…+23n-2-(n-1)23n-由此可得,9-(2n+4)×23n-2>3,即6>(2n+设an=(2n+4)×23n-2(n因为an+1a2n+63n+6<1,所以数列{又a3=10×23=203>6,a4=12×232所以整数n的最小值为4.5.解:(1)由题意知样本相关系数r=∑i70080×8000=78=0.875>0所以y与x之间具有较强的线性相关关系,可用线性回归模型进行拟合.(2)由题意可得b=∑i=120(xi-x)(yi-y)∑i=120(xi-x)2=70080=8.75,a=y-bx=4000(3)以频率估计概率,甲款垃圾处理机器的使用年限X的分布列为X12345P0.050.20.150.10.5E(X)=1×0.05+2×0.2+3×0.15+4×0.1+5×0.5=3.8.乙款垃圾处理机器的使用年限Y的分布列为Y12345P0.150.20.10.050.5E(Y)=1×0.15+2×0.2+3×0.1+4×0.05+5×0.5=3.55.因为E(X)>E(Y),所以该机构选择购买甲款垃圾处理机器才能使用更长久.6.解:(1)由题意,估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件产品质量指标值的平均数x=10×(0.01×50+0.025×60+0.04×70+0.015×80+0.01×90)=69.即μ≈x=69,σ≈s≈11,所以X~N(69,112),所以P(X≥80)=1-1-P(μ-σ<X所以从生产线中任取一件芯片,该芯片为A等品的概率约为0.16.(2)(i)样本中质量指标值在[45,55)内的芯片件数为0.01×10×100=10,质量指标值在[85,95]内的芯片件数为0.01×10×100=10,故M的所有可能取值为0,1,2,3,P(M=0)=C103C100C203=219,P(M=2)=C101C102C203=1538,随机变量M的分布列为M0123P215152E(M)=0×219+1×1538+2×1538+3×2(ii)设每箱产品中A等品有Y件,则每箱产品中B等品有(100-Y)件,设每箱产品的利润为Z元,由题意知Z=mY+(100-Y)ln(25-m)=[m-ln(25-m)]Y+100ln(25-m),由(1)知,在每箱芯片中抽1件,抽中A等品的概率为0.16,所以Y~B(100,0.16),所以E(Y)=100×0.16=16,所以E(Z)=E{[m-ln(25-m)Y]+100ln(25-m)}=[m-ln(25-m)]E(Y)+100ln(25-m)=16[m-ln(25-m)]+100