全品高考备战2027年数学一轮备用题库10培优专训(八)概率与其他知识的交汇问题【正文】作业手册

培优专训(八)概率与其他知识的交汇问题(时间:45分钟)1.[2025·广西来宾质检]某学校举办了“传承中华优秀传统文化”宣传活动,学校从全体学生中抽取了100人对该宣传活动的了解情况进行问卷调查,统计结果如下:单位:人对宣传活动是否了解性别合计男女了解20不了解2040合计(1)将2×2列联表补充完整.(2)根据小概率值α=0.05的独立性检验,能否认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关联?(3)若把上表中的频率视作概率,现从了解该活动的学生中随机抽取3人参加传统文化知识竞赛.记抽取的3人中女生人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.附:χ2=n(ad-bc)α0.1000.0500.0100.001xα2.7063.8416.63510.8282.每年8月8日为我国的全民健身日,倡导健康、文明、快乐的生活方式.为了激发学生的体育运动兴趣,助力全面健康成长,某中学组织全体学生开展以“体育锻炼”为主题的实践活动,为了解该校学生参与活动的情况,随机抽取了100名学生作为样本,统计他们参加“体育锻炼”活动的时间(单位:分钟),得到下表:类别时间[0,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)性别男51213898女69101064学段初中高中m1312754(1)从该校随机抽取1名学生,若已知抽到的是女生,估计该学生参加“体育锻炼”活动时间在[50,60)内的概率.(2)从参加“体育锻炼”活动时间在[80,90)和[90,100)内的学生中各随机抽取1人,其中初中学生的人数记为X,求随机变量X的分布列和数学期望.(3)假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替,样本中的100名学生参加“体育锻炼”活动时间的平均数记为μ0,初中、高中学生参加“体育锻炼”活动时间的平均数分别记为μ1,μ2.写出一个m的值,使得μ0=μ1+μ23.11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为23,乙发球时甲得分的概率为12,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X个(1)求事件“X=2且乙获胜”发生的概率;(2)求P(X=4);(3)记事件“X=n且甲获胜”发生的概率为an,求证:∑i=1n4.[2025·湖南长沙模拟]为提高我国公民整体健康水平,2022年1月,由国家卫生健康委疾控局指导、中国疾病预防控制中心和国家体育总局体育科学研究所牵头组织编制的《中国人群身体活动指南(2021)》(以下简称《指南》)正式发布,《指南》建议18~64岁的成年人每周进行150~300分钟中等强度或75~150分钟高强度的有氧运动(以下简称为“达标成年人”),经过两年的宣传,某体育健康机构为制作一期《达标成年人》的纪录片,采取街头采访的方式进行拍摄,当采访到第二位“达标成年人”时,停止当天采访.记采访的18~64岁的市民数为随机变量X(X≥2),且该市随机抽取的18~64岁的市民是“达标成年人”的概率为13,抽查结果相互独立(1)求某天采访刚好到第五位可停止当天采访的概率;(2)若采访的18~64岁的市民数X不超过n的概率大于13,求整数n的最小值5.垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物,由于排出量大,成分复杂多样,且具有污染性,所以需要无害化、减量化处理.某市为调查产生的垃圾数量,采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析,得到样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,20),其中xi和yi分别表示第i个县城的人口(单位:万人)和该县年垃圾产生总量(单位:吨),并计算得∑i=120xi=80,∑i=120yi=4000,∑i=120(xi-x)2=80,∑i=120(yi-y)2=8000,∑i=120(1)请用样本相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合(若|r|≥0.75,则认为有较强的线性相关关系).(2)求y关于x的经验回归方程.(3)某科研机构研发了两款垃圾处理机器,下表是以往两款垃圾处理机器(单位:台)的使用年限(整年)统计表:款式使用年限1年2年3年4年5年甲款520151050乙款152010550某环保机构若考虑购买其中一款垃圾处理机器,以使用年限的频率估计概率.根据以往经验估计,该机构选择购买哪一款垃圾处理机器,才能使用更长久?参考公式:样本相关系数r=∑i对于一组具有线性相关关系的数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),其经验回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=∑i=1n(xi-x)(6.[2024·福建龙岩三模]某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级,分别对应如下五组质量指标值:[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95].根据长期检测结果,得到芯片的质量指标值X服从正态分布N(μ,σ2),并把质量指标值不小于80的产品称为A等品,其他产品称为B等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本,统计得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据长期检测结果,该芯片质量指标值的标准差s的近似值为11,用样本平均数x作为μ的近似值,用样本标准差s作为σ的估计值.若从生产线中任取一件芯片,试估计该芯片为A等品的概率(保留小数点后面两位有效数字,同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(2)(i)从样本中质量指标值在[45,55)和[85,95]内的芯片中随机抽取3件,记其中质量指标值在[85,95]内的芯片件数为M,求M的分布列和数学期望.(ii)该企业为节省检测成本,采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一件A等品芯片的利润是m(1<m<24)元,一件B等品芯片的利润是ln(2