三年级奥数-第12讲巧求周长

同学们好！今天我们要一起探索的内容，是三年级奥数里一个非常实用又有趣的专题——巧求周长。说到周长，大家肯定不陌生，它就是围绕一个平面图形边缘一周的长度。我们已经学过长方形和正方形的周长计算，比如长方形的周长是（长+宽）×2，正方形的周长是边长×4。这些是基础，但在奥数题目里，我们会遇到很多看起来奇形怪状、不规则的图形，直接套用公式往往就行不通了。这时候，就需要我们开动脑筋，运用一些巧妙的方法来解决，这就是“巧求周长”的魅力所在。一、“老朋友”回顾：周长的基本概念与公式在开始“巧求”之前，我们先和“老朋友”打个招呼，巩固一下基础。*周长的定义：封闭图形一周的长度，就是它的周长。我们可以想象自己沿着图形的边缘走一圈，所走的路程就是这个图形的周长。*长方形周长：长方形有两条长和两条宽，并且对边相等。所以，长方形周长=长+宽+长+宽=（长+宽）×2。*正方形周长：正方形的四条边都相等，所以，正方形周长=边长×4。这些基础公式是我们解决复杂问题的“武器库”里最基本的武器，一定要牢牢掌握哦！二、“新朋友”登场：巧求周长的常用技巧当我们遇到不规则图形时，不要慌张，也不要害怕。很多时候，这些不规则图形都可以通过我们的“火眼金睛”和一些小技巧，转化成我们熟悉的规则图形来计算。技巧一：“平移法”——化不规则为规则“平移法”是巧求周长中最常用也最直观的方法之一。它的核心思想是：通过平移图形的某些边，将不规则的图形转化为一个规则的长方形或正方形，或者一个我们更容易计算的图形。在平移的过程中，要注意图形的周长是否发生了变化。通常情况下，平移那些“凹”进去或者“凸”出来的边，能让图形变得“平整”。举个例子：有一个图形，它像一个大写的“L”字母，或者一个“凹”字形。我们可以把横向的短线段向上或向下平移，把纵向的短线段向左或向右平移。平移之后，你会发现，这个不规则图形的周长，其实就等于平移后形成的大长方形的周长，再加上一些平移过程中没有被抵消掉的“小尾巴”（如果有的话）。例题1：一个图形如图所示（此处可想象一个长为5厘米，宽为3厘米的长方形，右上角被挖去一个边长为1厘米的小正方形）。求这个图形的周长。分析与解答：我们来尝试用平移法。这个图形右上角缺了一块。我们可以把右上角凹进去的那两条边（1厘米的竖边和1厘米的横边）分别向上和向右平移。平移之后，我们会发现，这个图形的外轮廓就变成了一个长5厘米、宽3厘米的大长方形。但是，原来凹进去的地方，平移后会新增加两条小边吗？仔细观察，其实没有。原来的周长是大长方形的周长，挖去小正方形后，虽然内部多了两条边，但外部的周长并没有减少，反而增加了两条小正方形的边长吗？不对，我们再想想。哦，不对！对于“凹”字形或者这种挖去一个角的图形，平移后，原来的大长方形的周长并没有改变。因为我们把凹进去的横向小边向右平移，刚好补上了大长方形右上角横向的缺失部分；把凹进去的纵向小边向上平移，刚好补上了大长方形右上角纵向的缺失部分。所以，平移后，这个图形的周长就等于原来大长方形的周长。大长方形周长=（5+3）×2=16（厘米）。所以这个不规则图形的周长就是16厘米。是不是很简单？技巧二：“标向法”——按方向“加加减减”有时候，我们会遇到一些图形，它们的边比较多，而且方向各异，平移起来可能一下子看不明白。这时候，“标向法”就可以派上用场了。“标向法”的思路是：给图形的每条边都标上方向，比如上、下、左、右。然后，我们会发现，向上的所有边长之和，一定等于向下的所有边长之和；向左的所有边长之和，一定等于向右的所有边长之和。知道了这一点，我们就可以把所有向上和向下的边长相加的总和（其实就是两倍的“总高度”），加上所有向左和向右的边长相加的总和（其实就是两倍的“总宽度”），就得到了图形的周长。例题2：一个多边形，它的各条边长度如图所示（此处可想象一个由横向和纵向线段组成的封闭图形，例如：从起点开始，向右走3厘米，向上走2厘米，向左走1厘米，向上走2厘米，向右走4厘米，向下走4厘米，回到起点）。求这个多边形的周长。分析与解答：我们来给每条边标上方向：1.向右：3厘米2.向上：2厘米3.向左：1厘米4.向上：2厘米5.向右：4厘米6.向下：4厘米现在，我们把相同方向的边长相加：*向上：2厘米+2厘米=4厘米*向下：4厘米（这里只有一条向下的边）*咦，向上的总和是4厘米，向下的总和是4厘米，它们相等了！*向左：1厘米*向右：3厘米+4厘米=7厘米*向左的总和是1厘米，向右的总和是7厘米。它们不相等？这是怎么回事？哦，不对，我们是不是漏看了什么？或者说，这个图形的“总宽度”应该是向右的总长度减去向左的总长度吗？*不是的。在“标向法”中，向左和向右的所有边长之和应该是相等的，才能构成一个封闭图形。如果我们计算出来不相等，那一定是我们在分析或者标注方向时出了问题。*让我们再仔细看看这个例子里的描述：“从起点开始，向右走3厘米，向上走2厘米，向左走1厘米，向上走2厘米，向右走4厘米，向下走4厘米，回到起点”。*我们把向右的记为正，向左的记为负。那么水平方向的总位移应该是3-1+4=6厘米。要回到起点，最后向下走4厘米后，还需要一个向左的6厘米才能回到起点吗？但描述里说“回到起点”了。看来我这个例子举得不够严谨，导致方向总和出现了问题。*那么，我们换一个思路，或者说，一个正确的“标向法”例子应该是所有向上等于向下，向左等于向右。比如，一个简单的“台阶”状图形，向右、向上、向右、向下、向左、向下。这样，向上的总和等于向下的总和，向左的总和等于向右的总和。*所以，正确运用“标向法”，周长=（向上总和+向下总和）+（向左总和+向右总和）=2×向上总和+2×向左总和（因为向上=向下，向左=向右）。所以，“标向法”的关键是耐心地把每条边的方向标出来，然后分别相加，确保封闭图形的平衡性，最后就能轻松算出周长了。技巧三：“拼接图形”的周长——注意重叠部分有时候题目会给我们几个小图形，比如正方形或者长方形，让我们把它们拼在一起，然后求拼成后的大图形的周长。这种情况下，我们要特别注意拼接的部分。因为当两个图形拼接在一起时，它们相互重合的边就不再是新图形周长的一部分了。举个例子：用两个边长为2厘米的正方形拼成一个长方形。这个长方形的周长是多少？分析与解答：如果我们直接把两个正方形的周长相加，2×4+2×4=16厘米，那就错啦！因为两个正方形拼在一起时，中间有两条边重合了（每个正方形各有一条边重合）。拼成后的长方形，长是2+2=4厘米，宽还是2厘米。所以长方形周长=（4+2）×2=12厘米。或者，我们也可以这样想：两个正方形原本总周长是2×4×2=16厘米。拼在一起后，重合了两条边，每条边长2厘米，所以重合部分的总长度是2×2=4厘米。因此，新图形的周长=16-4=12厘米。两种方法都能得到正确答案。三、“实战演练”：例题精讲掌握了方法，我们就来挑战几个稍微复杂一点的题目吧！例题3：下面是一个零件的平面图（此处可想象一个图形：一个大长方形，长为8厘米，宽为5厘米。在长方形的左上角，剪去一个长为3厘米，宽为2厘米的小长方形，剪去的小长方形的一条长和一条宽分别与大长方形的长和宽重合）。求这个零件平面图的周长。分析与解答：这个图形看起来有点复杂，左上角被剪去了一个小长方形。我们试试用“平移法”。我们把小长方形上面的那条边（长3厘米）向上平移，会发现它正好可以补上大长方形左上角被剪去的那部分长度。再把小长方形左面的那条边（宽2厘米）向左平移，同样可以补上大长方形左上角被剪去的那部分宽度。平移之后，原来的大长方形的轮廓基本恢复了。但是，我们会发现，剪去小长方形后，图形的边缘多出来了两条边，就是小长方形的另外两条边（剩下的一条长和一条宽）。所以，这个零件平面图的周长，就等于原来大长方形的周长，再加上小长方形两条边的长度（3厘米和2厘米）吗？等等，我们仔细看：原来大长方形的周长是（8+5）×2=26厘米。剪去小长方形后，通过平移，大长方形的上下两条长和左右两条宽的总长度并没有改变。但是，在小长方形的位置，原本是大长方形的一个角，现在被剪去后，多出来了小长方形的两条边：一条是小长方形的宽（2厘米，垂直方向），一条是小长方形的长（3厘米，水平方向）。所以，这个零件的周长=大长方形周长+小长方形的两条边=26+3+2=31厘米？或者，我们换个角度，用“标向法”来验证一下。把整个图形的外围边按顺时针方向标上方向和长度：右：8厘米（大长方形的下边）上：5厘米（大长方形的右边）左：8-3=5厘米（大长方形的上边，被剪去了3厘米）上：2厘米（小长方形的左边）左：3厘米（小长方形的上边）下：5-2=3厘米（大长方形的左边，被剪去了2厘米）下：8厘米？不对，这样标太乱了，容易出错。还是平移法更直观。通过正确的平移，我们会发现，剪去一个角（小长方形），周长实际上增加了被剪去的小长方形的两条边的长度。所以，例题3的答案应该是（8+5）×2+3+2=26+5=31厘米。四、“温馨提示”：巧求周长的“小法宝”1.仔细观察，大胆想象：拿到一个图形，先不要急于计算，仔细观察它的特点，想想它像什么，能不能通过平移、旋转等方式变成长方形或正方形。2.“化整为零”与“化零为整”：复杂图形可以分解成几个简单图形（化整为零），或者补成一个大的规则图形再减去多余部分（化零为整）。3.平移时，“点对点”，“边对边”：平移线段时，要注意平移的方向和距离，确保平移后能组成一个规则的图形，并且不要遗漏或多算某些边。4.耐心细致，不怕麻烦：无论是“平移法”还是“标向法”，都需要我们耐心地去画、去标、去算，尤其是对于边比较多的图形。5.多做练习，熟能生巧：巧求周长的方法很多，只有通过不断练习，才能熟练掌握各种技巧，并能灵活运用。五、“小试牛刀”：拓展练习好了，学习了这么多巧求周长的方法，大家是不是已经跃跃欲试了？下面有几个小练习，大家可以自己尝试一下：1.一个“凸”字形的图形，下部是一个长6厘米、宽4厘米的长方形，上部中间凸起一个边长为2厘米的正方形（凸起部分的底边与长方形的上边长重合）。求这个“凸”字形的周长。2.用3个边长为2厘米的正方形拼成一个长方形，有几种拼法？每种拼法的周长是多少？3.一个不规则多边形，用“标向法”标出各边后，向上的边长总和是5厘米，向左的边长总和是3厘米。求这个