第三章　第13课时　动力学中的连接体和临界、极值问题-2026版一轮复习

第13课时动力学中的连接体和临界、极值问题目标要求1.知道连接体的类型以及运动特点，会用整体法、隔离法解决连接体问题。2.理解几种常见的临界极值条件，会用极限法、假设法、数学方法解决临界极值问题。考点一动力学中的连接体问题多个相互关联的物体连接(叠放、并排或由绳子、细杆、弹簧等联系)在一起构成的物体系统称为连接体。系统稳定时连接体一般具有相同的速度、加速度(或速度、加速度大小相等)。1.共速连接体两物体通过弹力、摩擦力作用，具有相同的速度和相同的加速度。(1)绳的拉力(或物体间的弹力)相关类连接体(2)叠加类连接体(一般与摩擦力相关)例1如图所示，水平面上有两个质量分别为m1和m2的木块1和2，中间用一条轻绳连接，两木块的材料相同，现用力F向右拉木块2，当两木块一起向右做匀加速直线运动时，已知重力加速度为g，下列说法正确的是()A.若水平面是光滑的，则m2越大，绳的拉力越大B.若木块和水平面间的动摩擦因数为μ，则绳的拉力为m1Fm1C.绳的拉力大小与水平面是否粗糙无关D.绳的拉力大小与水平面是否粗糙有关答案C解析若设木块和地面间的动摩擦因数为μ，以两木块整体为研究对象，根据牛顿第二定律有F－μ(m1＋m2)g＝(m1＋m2)a，得a＝F-μ(m1＋m2)gm1＋m2，以木块1为研究对象，根据牛顿第二定律有FT－μm1g＝m1a，得a＝FT-μm1gm拓展1两个质量分别为m1和m2的木块1和2，中间用一条轻绳连接。①如图甲所示，用力F竖直向上拉木块时，绳的拉力大小FT＝；

②如图乙所示，用力F沿光滑固定斜面向上拉木块时，绳的拉力大小为；斜面不光滑时绳的拉力大小FT＝。

答案①m2Fm1＋拓展2若质量为m1和m2的木块A和B叠放在一起，放在光滑水平面上，B在拉力F的作用下，A、B一起(相对静止)做匀加速直线运动，则A受到的摩擦力大小为。

答案m1.整体法与隔离法在分析共速连接体问题中的应用(1)整体法：若连接体内的物体具有共同加速度，可以把它们看成一个整体，分析整体受到的外力，应用牛顿第二定律求出加速度；(2)隔离法：求系统内两物体之间的作用力时，就需要把物体从系统中隔离出来，应用牛顿第二定律列方程求解；(3)整体法和隔离法交替使用：一般情况下，若连接体内各物体具有相同的加速度，且求物体之间的作用力时，可以先用整体法求出加速度，然后再隔离某一物体，应用牛顿第二定律求相互作用力；若求某一外力，可以先隔离某一物体求出加速度，再用整体法求合外力或某一个力。2.共速连接体对合力的“分配协议”一起做加速运动的物体组成的系统，若外力F作用于m1上，则m1和m2之间的相互作用力FT＝m2Fm1＋m2，若作用于m2上，则FT＝m1Fm1＋m2。此“协议2.关联速度连接体轻绳在伸直状态下，两端的连接体沿绳方向的速度大小总是相等。下面三图中A、B两物体速度和加速度大小相等，方向不同。例2(多选)如图所示，固定在地面上的光滑斜面体倾角为θ＝30°，一根轻绳跨过斜面体顶端的光滑定滑轮，绳两端系有小物块a、b，a的质量为2m，b的质量为4m。重力加速度为g，定滑轮左侧轻绳与斜面平行，右侧轻绳竖直。将a、b由静止释放，则下列说法正确的是()我用夸克网盘分享了「与您分享-国家、地方、行业、团体标准」，点击链接即可保存。打开「夸克APP」，无需下载在线播放视频，畅享原画5倍速，支持电视投屏。链接：/s/45a9f612fe59提取码：t9EX联系qq:1328313560我的道客巴巴：/634cd7bd0a3f5a7311db139533c20794

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A.绳子对b的拉力大小为4mgB.a的加速度大小为gC.绳子对定滑轮的作用大小为23mgD.在相同时间内(b未触地)，a、b速度变化量大小不相等答案BC解析在相同时间内(b未触地)，a、b加速度的大小相等，速度变化量大小相等，D错误；以b为研究对象，设绳子拉力为FT，由牛顿第二定律有4mg－FT＝4ma，以a为研究对象，由牛顿第二定律有FT－2mgsinθ＝2ma，联立解得FT＝2mg，a＝g2，故A错误，B正确；由几何关系知，两侧绳子的夹角为60°，则绳子对定滑轮的作用力大小为F＝2FTcos30°＝23mg，故C关联速度连接体做加速运动时，由于加速度的方向不同，一般采用分别选取研究对象，对两物体分别列牛顿第二定律方程，用隔离法求解加速度及相互作用力。考点二动力学中的临界和极值问题1.常见的临界条件(1)两物体脱离的临界条件：FN＝0。(2)相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值。(3)绳子断裂或松弛的临界条件：绳子断裂的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛的临界条件是FT＝0。2.处理临界问题的三种方法极限法把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的假设法临界问题存在多种可能，特别是有非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题数学法将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解出临界条件例3如图甲所示，物块A、B静止叠放在水平地面上，B受到从零开始逐渐增大的水平拉力F的作用，A、B间的摩擦力Ff1、B与地面间的摩擦力Ff2随水平拉力F变化的情况如图乙所示。已知物块A的质量m＝3kg，g取10m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。(1)分析图乙可知，A、B间最大静摩擦力为N，B与地面间最大静摩擦力为N，F＝N时，B开始滑动，F＝N时，A、B间发生相对滑动；

(2)下列说法正确的是。

A.两物块间的动摩擦因数为0.2B.当0<F<4N时，A、B保持静止C.当4N<F<12N时，A、B发生相对滑动D.当F>12N时，A的加速度随F的增大而增大答案(1)64412(2)AB解析(2)根据题图乙可知，发生相对滑动时，A、B间的滑动摩擦力为6N，所以A、B之间的动摩擦因数μ＝Ff1mmg＝0.2，选项A正确；当0<F<4N时，根据题图乙可知，Ff2还未达到B与地面间的最大静摩擦力，此时A、B保持静止，选项B正确；当4N<F<12N时，根据题图乙可知，此时A、B间的摩擦力还未达到最大静摩擦力，所以没有发生相对滑动，选项C错误；当F>12N时，根据题图乙可知，此时A、B发生相对滑动，对物块A有a＝Ff1mm＝2m/s例4(2024·山东青岛市第十九中学月考)如图所示，一轻质弹簧的下端固定在水平面上，上端叠放两个质量均为1kg的物体A、B(B物体与弹簧拴接)，弹簧的劲度系数为k＝50N/m，初始时系统处于静止状态。现用一方向竖直向上的拉力F作用在物体A上，使物体A开始向上做加速度大小a为4m/s2的匀加速直线运动，重力加速度g取10m/s2，空气阻力忽略不计，下列说法正确的是()A.外力F刚施加的瞬间，F的大小为4NB.当弹簧压缩量减小到0.3m时，A、B间弹力大小为1.2NC.A、B分离时，A物体的位移大小为0.12mD.B物体速度达到最大时，B物体的位移为0.22m答案C解析施加外力前，系统处于静止状态，对整体受力分析，由平衡条件得2mg＝kx0，代入数据解得x0＝0.4m，外力施加的瞬间，物体A加速度为4m/s2，对整体，由牛顿第二定律得F－2mg＋kx0＝2ma，代入数据解得F＝8N，故A错误；当弹簧压缩量减小到0.3m时，设A、B间弹力大小为FAB，对A受力分析，由牛顿第二定律得F'＋FAB－mg＝ma，对A、B组成的系统受力分析，由牛顿第二定律得F'＋kx1－2mg＝2ma，代入数据联立解得FAB＝1N，故B错误；设A、B分离时，弹簧的形变量为x2，对B受力分析，由牛顿第二定律得kx2－mg＝ma，代入数据解得x2＝0.28m，所以A物体的位移大小为x0－x2＝0.4m－0.28m＝0.12m，故C正确；当B物体的合力为零时速度达到最大，由C项可知A、B分离时有向上的加速度，所以速度最大时A、B已经分离，当合力为零时，对B受力分析，由平衡条件得kx3＝mg，代入数据解得x3＝0.2m，故B物体的位移大小为x0－x3＝0.2m，故D错误。拓展求A、B分离时B的速度大小及B匀加速运动持续的时间？答案265m/s解析A、B分离时，A、B的位移大小相等，速度大小也相等由v2＝2a(x0－x2)，解得v＝265由v＝at，解得t＝610s例5(2025·山东青岛市校考)如图甲所示，一个质量m＝0.5kg的小物块(可看成质点)，以v0＝2m/s的初速度在平行斜面向上的拉力F＝6N作用下沿斜面向上做匀加速运动，经t＝2s的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L＝8m，已知斜面倾角θ＝37°，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：(1)物块加速度a的大小；(2)物块与斜面之间的动摩擦因数μ；(3)若拉力F的大小和方向可调节，如图乙所示，为保持原加速度不变，F的最小值是多少。答案(1)2m/s2(2)0.5(3)125解析(1)根据L＝v0t＋12at2代入数据解得a＝2m/s2。(2)根据牛顿第二定律有F－mgsinθ－μmgcosθ＝ma，代入数据解得μ＝0.5。(3)设F与斜面夹角为α，平行斜面方向有Fcosα－mgsinθ－μFN＝ma垂直斜面方向有FN＋Fsinα＝mgcosθ联立解得F＝ma＝ma当sin(φ＋α)＝1时，F有最小值Fmin，代入数据解得Fmin＝1255课时精练(分值：100分)1~7题每小题8分，共56分1.(2023·北京卷·6)如图所示，在光滑水平地面上，两相同物块用细线相连，两物块质量均为1kg，细线能承受的最大拉力为2N。若在水平拉力F作用下，两物块一起向右做匀加速直线运动。则F的最大值为()A.1N B.2N C.4N D.5N答案C解析对两物块整体受力分析有Fmax＝2ma，再对后面的物块受力分析有FTmax＝ma，又FTmax＝2N，联立解得Fmax＝4N，故选C。2.(多选)如图所示，用力F拉着三个物体在光滑水平面上运动，现在中间的物体上加一块橡皮泥，它和中间的物体一起运动，且原拉力F不变，那么加上橡皮泥以后，两段绳的拉力FTA和FTB的变化情况是()A.FTA增大 B.FTB增大C.FTA减小 D.FTB减小答案AD解析设最左边的物体质量为m，最右边的物体质量为m'，整体质量为M，整体的加速度a＝FM，对最左边的物体分析FTB＝ma＝mFM，对最右边的物体分析，有F－FTA＝m'a，解得FTA＝F－m'FM，在中间物体上加上橡皮泥，则整体的质量M增大，因为m、m'不变，所以FTB减小，FTA3.(2024·全国甲卷·15)如图，一轻绳跨过光滑定滑轮，绳的一端系物块P，P置于水平桌面上，与桌面间存在摩擦；绳的另一端悬挂一轻盘(质量可忽略)，盘中放置砝码。改变盘中砝码总质量m，并测量P的加速度大小a，得到a－m图像。重力加速度大小为g。在下列a－m图像中，可能正确的是()答案D解析当m质量较小时，由于P与桌面存在摩擦，a＝0；当m趋于无穷大时，加速度大小趋近于g。故选D。4.(2021·海南卷·7)如图，两物块P、Q用跨过光滑轻质定滑轮的轻绳相连，开始时P静止在水平桌面上。将一个水平向右的推力F作用在P上后，轻绳的张力变为原来的一半。已知P、Q两物块的质量分别为mP＝0.5kg、mQ＝0.2kg，P与桌面间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g＝10m/s2。则推力F的大小为()A.4.0N B.3.0NC.2.5N D.1.5N答案A解析P静止在水平桌面上时，由平衡条件有FT1＝mQg＝2N，Ff＝FT1＝2N<μmPg＝2.5N，推力F作用在P上后，轻绳的张力变为原来的一半，即FT2＝FT12＝1N，故Q物块加速下降，有mQg－FT2＝mQa，可得a＝5m/s2，而P物块将以相同大小的加速度向右加速运动，对P由牛顿第二定律有FT2＋F－μmPg＝mPa，解得F＝4.0N，故选5.如图，质量mA＝0.1kg、mB＝0.4kg的A、B两物体在水平推力F＝1.5N的作用下，沿光滑水平面做匀加速直线运动，物体A、B始终保持相对静止。A和B接触面竖直，且A不与地面接触。已知物体A和B之间的动摩擦因数为0.9，重力加速度g取10m/s2，则下列说法正确的是()A.A、B两物体的加速度大小为0.3m/s2B.A、B两物体之间的压力大小为1.2NC.A、B两物体之间的摩擦力大小为1.08ND.B物体对地面的压力大小为4N答案B解析对A、B两物体整体进行受力分析，根据牛顿第二定律F＝(mA＋mB)a，解得A、B两物体的加速度大小为a＝3m/s2，故A错误；对A、B两物体整体进行受力分析，竖直方向有FN＝(mA＋mB)g＝5N，故B对地面的压力大小为5N，故D错误；对A进行受力分析，水平方向有F－FBA＝mAa，故B对A的弹力FBA＝1.2N，故B正确；对A进行受力分析，竖直方向有FfAB＝mAg＝1N，故A、B之间的摩擦力大小始终为1N，故C错误。6.(多选)(2025·山东滕州市第一中学月考)如图所示，质量为M=2kg的凹形槽在水平拉力F作用下向左做匀加速直线运动。凹形槽与水平地面间的动摩擦因数为μ1=0.7，凹形槽内有一质量为m=1kg的小铁块恰好能静止在后壁上，铁块与凹形槽间的动摩擦因数为μ2=0.5。运动一段时间后逐渐减小拉力(但凹形槽仍做加速运动)，铁块开始沿凹形槽竖直的后壁落到底部且不反弹。之后当凹形槽的速度为v0=4m/s时突然撤去拉力，最终铁块恰好没有与凹形槽的前壁相碰，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2，不计铁块大小和槽的厚度，则开始运动时拉力F的大小和凹形槽的长度L分别为()A.F=81N B.F=162NC.L=0.6m D.L=1.2m答案AC解析铁块恰好能静止在凹形槽后壁上，竖直方向受力平衡，由平衡条件有mg=μ2FN，对铁块，在水平方向上，根据牛顿第二定律有FN=ma，以铁块和凹形槽组成的整体为研究对象，根据牛顿第二定律有F-μ1(M+m)g=(M+m)a，联立解得F=81N，因为μ1>μ2，所以撤去拉力后铁块与凹形槽发生相对滑动，当凹形槽停止后，铁块继续减速至零。对铁块受力分析，根据牛顿第二定律有μ2mg=ma1，对凹形槽受力分析，根据牛顿第二定律有μ1(M+m)g-μ2mg=Ma2，铁块运动的位移为x1=v022a1，凹形槽运动的位移为x2=v022a2，凹形槽的长度为L=x1-x2，联立解得L7.(2025·山东泰安市模拟)如图所示，细线的一端固定在倾角为30°的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的小球，静止时细线与斜面平行。已知重力加速度为g。使滑块以加速度a＝2g水平向左加速运动，小球与滑块相对静止，则下列说法中正确的是()A.细线对小球的拉力大小为5mgB.细线对小球的拉力大小为(3＋1C.小球对滑块的压力大小为32D.小球对滑块的压力大小为2mg答案A解析设当小球贴着滑块一起向左运动且支持力为零时加速度为a0，小球受到重力、拉力作用，根据牛顿第二定律a0＝gtan60°＝3g，当滑块以加速度a＝2g向左加速运动时，此时小球已经飘离斜面，则此刻小球对滑块的压力为0，设此时细线与水平方向的夹角为α，故有FTsinα＝mg，FTcosα＝ma＝2mg，解得FT＝5mg，故A正确，B、C、D错误。8、9题每小题9分，10题16分，共34分8.(多选)如图所示，矩形盒内用两根不可伸长的轻线固定一个质量为m＝0.6kg的匀质小球，a线与水平方向成37°角，b线水平。两根轻线所能承受的最大拉力都是Fm＝15N，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2，则()A.系统静止时，a线所受的拉力大小12NB.系统静止时，b线所受的拉力大小8NC.当系统沿竖直方向匀加速上升时，为保证轻线不被拉断，加速度最大为5m/s2D.当系统沿水平方向向右匀加速运动时，为保证轻线不被拉断，加速度最大为10m/s2答案BC解析系统静止时，小球受力如图甲所示，竖直方向有Fa·sin37°＝mg，水平方向有Fa·cos37°＝Fb，解得Fa＝10N，Fb＝8N，故B正确，A错误；系统竖直向上匀加速运动时，小球受力如图乙所示当a线拉力为15N时，由牛顿第二定律得，竖直方向有Fm·sin37°－mg＝ma，水平方向有Fm·cos37°＝Fb，解得Fb＝12N，此时加速度有最大值a＝5m/s2，故C正确；系统水平向右匀加速运动时，由牛顿第二定律得，竖直方向有Fa·sin37°＝mg，水平方向有Fb－Fa·cos37°＝ma解得Fa＝10N，当Fb＝15N时，加速度最大为a≈11.7m/s2，故D错误。9.马车是古代的主要运输工具，如图所示为一匹马水平拉动一车货物，其中最上面有两个木板A和B，A、B之间和B与车之间接触面都水平，A、B之间的动摩擦因数为μ1，B与车之间的动摩擦因数为μ2，A质量为m，B质量为2m，车的质量为5m，地面对车的摩擦力不计，马给车的水平拉力为F，A、B始终没有离开车表面，重力加速度为g，则下列说法正确的是()A.若μ1>μ2，逐渐增大F，A会相对B先滑动B.若μ1>μ2，当F＝8μ2mg时，B与车之间开始相对滑动C.若μ1<μ2，不管F多大，A、B都不会相对滑动D.若μ1<μ2，A、B与车都相对静止，F的最大值为6μ1mg答案B解析若μ1>μ2，B相对于车比A相对于B先滑动，所以不管F多大，B相对车滑动后，A相对B一直静止，故A错误；若μ1>μ2，整体相对静止的最大拉力F＝8μ2mg，当F＝8μ2mg时，B与车之间开始相对滑动，故B正确；若μ1<μ2，A相对B比B相对于车先滑动，故C错误；若μ1<μ2，A、B与车都相对静止，系统的最大加速度为a＝μ1g，则对整体受力分析知最大拉力F＝8μ1mg，故D错误。10.(16分)如图所示，用足够长的轻质细绳绕过两个光滑轻质滑轮将木箱与重物连接，木箱质量M＝8kg，重物质量m＝2kg，木箱与地面间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2。(1)(6分)要使装置能静止，木箱与地面间的动摩擦因数需满足什么条件？(2)(10分)若木箱与地面间的动摩擦因数μ＝0.4，用大小为80N的水平拉力F将木箱由静止向左拉动位移x＝0.5m时，求重物的速度大小v。答案(1)μ≥0.5(2)2m/s解析(1)对重物受力分析，根据受力平衡可得FT＝mg＝20N对木箱受力分析，可得Ff＝2FT，又Ff＝μMg联立解得μ＝0.5，故要使装置能静止，木箱与地面间的动摩擦因数需满足μ≥0.5。(2)设木箱加速度大小为a，则重物加速度大小为2a，对重物受力分析，根据牛顿第二定律可得FT'－mg＝2ma对木箱受力分析，有F－μMg－2FT'＝Ma解得a＝0.5m/s2当拉动木箱向左匀加速运动的位移为x＝0.5m时，重物向上的位移为h＝2x＝1m，由2×2a·h＝v2，可得此时重物的速度大小为v＝2m/s。(10分)11.(多选)(2025·山东枣庄市滕州市第一中学月考)如图所示，倾角为30°足够长的固定光滑