第35讲数形结合思想

第四篇综合与实践第九章数学思想方法运用第35讲数形结合思想数形结合：就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含以形助数和以数解形两个方面.利用它可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长，是优化解题过程的重要途径之一，是一种基本的数学思想.数形结合思想的主要内容体现在以下几个方面：1.

公式、定理和等式的证明（如乘法公式、勾股定理）.2.

利用图象解方程、不等式.3.

函数问题.4.

几何模型问题等.

类型一

公式、定理和等式的证明例1

我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式.例如图1可以用来解释（a＋b）2－（a－b）2＝4ab.那么通过图2面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（

C

）CA.

a2－b2＝（a＋b）（a－b）B.

（a－b）（a＋2b）＝a2＋ab－2b2C.

（a－b）2＝a2－2ab＋b2D.

（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2【解后感悟】利用拼图过程中面积不变使问题简便.

1.

如图，五个边长为1的小正方形无缝隙、不重合地拼成了一个“十”字形，连结A，B两个顶点，过顶点C作CD⊥AB，垂足为D.

“十”字形被分割成了①②③三个部分，这三个部分恰好可以无缝隙、不重合地拼成一个矩形，这个矩形的对角线长为

.

类型二

利用图象解方程和不等式例2

如图，直线y＝kx＋b过A（－1，2），B（－2，0）两点，则0≤kx＋b≤－2x的解集为

－2≤x≤－1

.－2≤x≤－1

【解后感悟】从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx＋b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx＋b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合.

A.

x＞1B.

x＜－1C.0＜x＜1D.

－1＜x＜0D类型三

用函数解决几何问题例3

如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝4，线段AB的垂直平分线分别交AB于点D，交AC于点E，则DE＝

.【解后感悟】几何问题通过建立直角坐标系后变成函数问题，往往在直角三角形、正方形、网格背景下实现.

3.

如图1所示，平面直角坐标系中，等腰三角形ABC的底边BC在x轴上，BC＝8，顶点A在y的正半轴上，OA＝2，一动点E从（3，0）出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB向左运动，到达OB的中点停止.另一动点F从点C出发，以相同的速度沿CB向左运动，到达点O停止.已知点E，F同时出发，以EF为边作正方形EFGH，使正方形EFGH和△ABC在BC的同侧.设运动的时间为t

s（t≥0）.（1）当点H落在边AC上时，求t的值.

【运用函数图象解决几何问题】小亮在学习中遇到这样一个问题：

BD/cmCD/cmFD/cm08.08.01.07.77.42.07.26.93.06.66.54.05.96.15.0a6.06.03.96.27.02.46.78.008.0

5.0

（2）将线段BD的长度作为自变量x，CD和FD的长度都是x的函数，分别记为yCD和yFD，并在平面直角坐标系中画出了函数yFD的图象，如图.请在同一坐标系中画出函数yCD的图象.【答案】（2）由题意可画出函数图象