高三数学（文）一轮复习课堂达标51变量间的相互关系与独立性检验

◆牛刀小试•成功靠岸◆课堂达标(五十一)[A基础巩固练]1．(2018·湖北七市联考)为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计某班学生的两科成绩得到如图所示的散点图(x轴、y轴的单位长度相同)，用回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是()A．线性相关关系较强，b的值为1.25B．线性相关关系较强，b的值为0.83C．线性相关关系较强，b的值为－0.87D．线性相关关系较弱，无研究价值[解析]由散点图可以看出两个变量所构成的点在一条直线附近，所以线性相关关系较强，且应为正相关，所以回归直线方程的斜率应为正数，且从散点图观察，回归直线方程的斜率应该比y＝x的斜率要小一些，综上可知应选B.[答案]B2．(2018·山东省青岛市数学一模试卷)已知变量x，y具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若y关于x的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝1.3x－1，则m＝______________.x1234y0.11.8m4[解]由题意，eq\x\to(x)＝2.5，代入线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝1.3x－1，可得eq\x\to(y)＝2.25，∴0.1＋1.8＋m＋4＝4×2.25，∴m＝3.1.故答案为3.1.[答案]3.13．(2018·兰州、张掖联考)对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，8)，其回归直线方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(1,3)x＋eq\o(a,\s\up6(^))，且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝2(y1＋y2＋y3＋…＋y8)＝6，则实数eq\o(a,\s\up6(^))的值是()A.eq\f(1,16)B.eqB.eq\f(1,8)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,2)[解析]依题意可知样本中心点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(3,8)))，则eq\f(3,8)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＋eq\o(a,\s\up6(^))，解得eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\f(1,8).[答案]B4．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，算得K2＝eq\f(110×40×30－20×202,60×50×60×50)≈7.8.附表：P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是()A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”[解析]根据独立性检验的定义，由K2≈7.8>6.635，可知我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选C.[答案]C5．(2017·山东)为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^)).已知eq\i\su(i＝1,10,x)i＝225，eq\i\su(i＝1,10,y)i＝1600，eq\o(b,\s\up6(^))＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为()A．160 B．163C．166 D．170[解析]由已知eq\x\to(x)＝22.5，eq\x\to(y)＝160，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝160－4×22.5＝70，y＝4×24＋70＝166，选C.[答案]C6．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：优秀非优秀合计甲班10b乙班c30合计附：P(K2≥k0)0.050.0250.0100.005k03.8415.0246.6357.879已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为eq\f(2,7)，则下列说法正确的是()A．列联表中c的值为30，b的值为35B．列联表中c的值为15，b的值为50C．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”D．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”[解析]由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c＝20，b＝45，选项A、B错误．根据列联表中的数据，得到K2＝eq\f(105×10×30－20×452,55×50×30×75)≈6.109>5.024，因此有97.5%的把握认为“成绩与班级有关系”．[答案]C7．(2018·济宁二模)已知下表所示数据的回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝4x＋242，则实数a＝______.x23456y251254257a266[解析]回归直线eq\o(y,\s\up6(^))＝4x＋242必过样本点的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，而eq\x\to(x)＝eq\f(2＋3＋4＋5＋6,5)＝4，eq\x\to(y)＝eq\f(251＋254＋257＋a＋266,5)＝eq\f(1028＋a,5)，∴eq\f(1028＋a,5)＝4×4＋242，解得a＝262.[答案]2628．(2018·山东省济宁市二模试卷)为了解某班学生喜欢打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查，得到如下2×2列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生20525女生101525合计302050经计算得到随机变量K2的观测值为8.333，则有__________%的把握认为喜爱打篮球与性别有关(临界值参考表如下).P(K2≥K0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001K02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828[解析]根据表中数据计算得到随机变量K2的观测值为8.333，对照临界值表知8.333＞7.879，∴有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关．[答案]99.59．某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170[解析]儿子和父亲的身高可列表如下：父亲身高173170176儿子身高170176182设回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x，由表中的三组数据可求得eq\o(b,\s\up6(^))＝1，故eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝176－173＝3，故回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝3＋x，将x＝182代入得孙子的身高为185cm.[答案]18510．(2018·唐山一模)为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得如下实验数据：天数t(天)34567繁殖个数y(千个)2.5344.56(1)求y关于t的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，预测t＝8时，细菌繁殖个数．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\o(,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))ti－\x\to(t)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t).[解](1)由表中数据计算得，eq\x\to(t)＝5，eq\x\to(y)＝4，eq\o(,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(o(t))(yi－eq\x\to(y))＝8.5，eq\o(,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(o(t))2＝10，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\o(,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))ti－\x\to(t)2)＝0.85，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t)＝4－0.85×5＝－0.25.所以回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85t－0.25.(2)将t＝8代入(1)的回归方程中得eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85×8－0.25＝6.55.故预测t＝8时，细菌繁殖个数为6.55千个．[B能力提升练]1．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方程，求得回归直线分别为l1和l2，已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，那么下列说法正确的是()A．l1和l2必定平行B．l1与l2必定重合C．l1和l2一定有公共点(s，t)D．l1与l2相交，但交点不一定是(s，t)[解析]注意到回归直线必经过样本中心点．[答案]C2．(2018·郑州预测)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x(元)456789销量y(件)908483807568由表中数据，求得线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－4x＋a.若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)[解析]依题意得eq\x\to(x)＝eq\f(1,6)×(4＋5＋6＋7＋8＋9)＝eq\f(13,2)，eq\x\to(y)＝eq\f(1,6)×(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，又回归直线必经过样本中心点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，于是有a＝80＋4×eq\f(13,2)＝106，不等式4x＋y－106＜0表示的是回归直线的左下方区域．注意到在6个样本数据中，共有2个样本数据位于回归直线的左下方区域，因此所求的概率等于eq\f(1,3).[答案]B3．以下四个命题，其中正确的序号是______．①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.2x＋12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量eq\o(y,\s\up6(^))平均增加0.2个单位；④对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大．[解析]①是系统抽样；对于④，随机变量K2的观测值k越小，说明两个相关变量有关系的把握程度越小．[答案]②③4．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得x2≈3.918，已知P(x2≥3.841)≈0.05.对此，四名同学作出了以下的判断：p：有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；q：若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；r：这种血清预防感冒的有效率为95%；s：这种血清预防感冒的有效率为5%.则下列结论中，正确结论的序号是______．①p∧綈q；②綈p∧q；③(綈p∧綈q)∧(r∨s)；④(p∨綈r)∧(綈q∨s)．[解析]本题考查了独立性检验的基本思想及常用逻辑用语．由题意，得x2≈3.918，P(x2≥3.841)≈0.05，所以，只有第一位同学的判断正确，即有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．由真值表知①④为真命题．[答案]①④5．(2018·广西玉林、贵港联考)某市地铁即将于2016年6月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度如下：月收入(单位：百元)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]赞成定价者人数123534认为价格偏高者人数4812521(1)若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，求参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少？(结果保留2位小数)；(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，分析是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”.月收入不低于55百元的人数月收入低于55百元的人数总计认为价格偏高者赞成定价者总计附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)P(K2≥k0)0.050.01k03.8416.635[解](1)“赞成定价者”的月平均收入为x1＝eq\f(20×1＋30×2＋40×3＋50×5＋60×3＋70×4,1＋2＋3＋5＋3＋4)≈50.56.“认为价格偏高者”的月平均收入为x2＝eq\f(20×4＋30×8＋40×12＋50×5＋60×2＋70×1,4＋8＋12＋5＋2＋1)＝38.75，∴“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是x1－x2＝50.56－38.75＝11.81(百元)(2)根据条件可得2×2列联表如下：月收入不低于55百元的人数月收入低于55百元的人数总计认为价格偏高者32932赞成定价者71118总计104050K2＝eq\f(50×3×11－7×292,10×40×18×32)≈6.27＜6.635，∴没有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”．[C尖子生专练](2018·保定调研)某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的55名学生，得到数据如下表：喜欢“应用统计”课程不喜欢“应用统计”课程总