1.5角平分线 角平分线的性质教学课件2025-2026学年北师大版八年级下册

1.5角平分线第一章三角形的证明

八年级数学下（BS）教学课件第1课时角平分线北师大版八年级数学下册SSSSASASAAAS旧知回顾:1.我们学过的判定三角形全等的方法回顾复习HL性质定理：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等.2.角平分线的性质定理内容是什么?情境引入如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）DCS解：1.作夹角的角平分线OC，2.截取OD=2.5cm,D即为所求.O导入新课验证性质定理已知：如图，OC是∠AOB的平分线,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证：PD=PE.PAOBCDE证明：∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO

≌△PEO(AAS).∴PD=PE.角的平分线上的点到角的两边的距离相等∵OC是∠AOB的平分线∴∠AOC=∠BOC

性质定理：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等.应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.应用格式：∵OP

是∠AOB的平分线，∴PD=PE（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.知识要点PD⊥OA,PE⊥OB，BADOPEC判一判：（1）∵如下左图，AD平分∠BAC（已知），∴

=

，()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BDCD×BADC(2)∵

如上右图，DC⊥AC，DB⊥AB

（已知）.

∴

=

,

()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BDCD×BADC（）（

）例1：已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.ABCDEF证明：∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC，∴

DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE

和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE

≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.角平分线的判定二PAOBCDE在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上．思考：交换角的平分线性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.思考：这个结论正确吗？逆命题已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上.证明：作射线OP，

∴点P在∠AOB

角的平分线上.在Rt△PDO和Rt△PEO

中，（全等三角形的对应角相等）.

OP=OP（公共边），PD=PE（已知），BADOPE∵PD⊥OA,PE⊥OB.∴∠PDO=∠PEO=90°，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOP=∠BOP猜想证明判定定理：在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.PAOBCDE应用所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.定理的作用：判断点是否在角平分线上.应用格式：∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.∴点P在∠AOB的平分线上.知识总结例2：如图,在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，

AD＝10，DE丄AB，DF丄AC，垂足分别为E，F，DE＝DF，求DE的长.解：∵DE丄AB,DF丄AC，垂足分分别为E，F,且DE＝DF，∴AD平分∠BAC(在一个角的内部，到角的两边

距离相等的点在这个角的平分线上）.又∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝

∠BAC=30°.

∵∠AED＝90°，AD＝10，∴DE＝AD＝×10＝5(在直角三角形中，如果

一个锐角等于30°.那么它所对的直角边等于斜

边的一半).小试牛刀2.△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是

.ABCD3E1.如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，DE=DF，∠EDB=60°，则∠EBF=

度，BE=

.60BFEBDFACG3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD＝3，则△ABD的面积为（）

A．15

B．30C．12

D．10A4．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点E是射线OB上的一个动点，若PD＝3，则PE的最小值（）

A．大于3

B．等于3C．小于3

D．无法确定B如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．

证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC.∴FG＝FM.又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD，FM⊥BC，∴FM＝FH，∴FG＝FH.∴点F在∠DAE的平分线上.

GHMABCFED┑┑┑考考你又∵FG⊥AE，FH⊥AD课堂小结通过这节课的学习，你有何收获？课堂小结图形已知条件结论PCPCOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E角的平分线的判定定理角的平分线的性质定理作

业一、基础题（必做题）二、拓展思维（选做题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E．若AC＝10，DE＝4，则AD的长为（）

A．2

B．4

C．6

D．82.如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝6，DE＝3，则