2026年中考数学复习专题★★　综合与实践 教学课件

2026年中考数学复习专题★★综合与实践类型一：几何模型迁移型综合与实践模型一“燕尾”模型(对应第1题)【模型展示】图示

条件D为∠BAC内部一点，连接BD，CD，形成凹四边形ABDC结论1.∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C；2．AB＋AC>BD＋CD模型二“风筝”模型(对应第2题)【模型展示】图示

条件B，C分别为∠DAE边AD，AE上的点，F为∠DAE内部一点，连接BF，CF，在∠DAE内部形成凸四边形ABFC结论∠DBF＋∠ECF＝∠A＋∠F(腋下两角之和等于上下两角之和)模型三“双角平分线”模型(对应第3，4，5题)【模型展示】类型双内角平分线型双外角平分线型一内一外平分线型图示

条件在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线在△ABC中，BD，CD分别是∠EBC，∠FCB的平分线在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC，∠ACE的平分线结论模型四“高＋角平分线”模型(对应第6题)【模型展示】图示

条件在△ABC中，AD，AE分别是角平分线和高线结论模型五“中线”模型(对应第7题)【模型展示】图示

条件在△ABC中，AD是△ABC的中线结论模型六“中位线”模型(对应第8题)【模型展示】图示

条件在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，连接DE结论模型七“中垂线”模型(对应第9题)【模型展示】图示

条件直线l是AB的垂直平分线(也称“中垂线”)，P是直线l上一点，连接PA，PB结论PA＝PB模型八勾股树(对应第10题)【模型展示】作图作等腰直角三角形作等边三角形作正方形图示

结论S1＋S2＝S3模型九赵爽弦图(对应第11题)【模型展示】图示

条件大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形无缝拼接组成结论1.S正方形ABCD＝S正方形EFGH＋4S△ABE；2．正方形EFGH的边长为直角三角形的两直角边之差，即EF＝BE－AE模型十“中点四边形”模型(对应第12题)【模型展示】图示

条件在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点结论模型十一“垂美四边形”模型(对应第13题)【模型展示】定义对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形图示

条件在四边形ABCD中，AC⊥BD结论模型十二含60°角的菱形(对应第14题)【模型展示】图示

条件四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD交于点O，∠ABC＝60°结论模型十三“射影定理”模型(对应第15题)【模型展示】图示

条件在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC结论1.△DBA∽△DAC⇒AD2＝BD·CD；2．△DBA∽△ABC⇒AB2＝BD·BC；3．△DAC∽△ABC⇒AC2＝CD·BC【模型应用】1．如图，在△ABC中，∠A＝20°，D为CB延长线上的一点，过点D作DE⊥AB于点E，∠D＝50°，则∠C的度数为（

）A．20°B．25°C．30°D．35°A2．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝50°，D，E分别是AB，AC上的点，连接DE，DF平分∠BDE交BC于点F，连接EF.若BC∥DE，∠EFD＝40°，则∠CEF的度数为

.25°3．如图，在△ABC中，OB，OC分别是∠ABC和∠ACB的平分线．若∠ABC＋∠ACB＝100°，则∠O的度数为

.130°4．如图，在△ABC中，外角∠EAC和∠FCA的平分线相交于点D.若∠B＝40°，则∠D的度数为

.70°5．如图，∠BAC与∠CBD的平分线相交于点E.若∠C＝100°，则∠E的度数为

.50°6.如图，AD和AE分别是△ABC的高线和角平分线．若∠BAC＝60°，∠C＝70°，则∠DAE的度数为

.10°7．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边BC，AD，BE的中点．若S△AEF＝2，则△ABC的面积为（

）A．13B．14C．15D．16D8．如图，在△ABC中，∠A＝90°，D，E分别为AB，AC的中点，CF平分∠ACB，交DE于点F.若AC＝6，AB＝8，则DF的长为

.29．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E.连接AD，若△ABC的周长为19，△ABD的周长为13，则AC的长为

（

）A．5B．6C．7D．8B10.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB，AC，BC为边分别向外作正方形，若S1＝S2＝5，则S3的值为

.1011．如图，△ABE，△BCF，△CDG和△DAH是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形．若AB＝10，EF＝2，则AH的长为

.612．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连接AC，BD，EF，FG，GH，HE.(1)四边形EFGH的形状为

，若对角线AC＝20，BD＝30，则四边形EFGH的周长为

；(2)当AC＝BD时，四边形EFGH的形状为

，若四边形EFGH的周长为40，则四边形ABCD的对角线AC的长为

.平行四边形50菱形2013.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠AEB＝90°，若BD＝6，AC＝4，则四边形ABCD的面积为

.1214．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，若△ABC为等边三角形，则OB的长为

.

15．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB.若BD＝1，AB＝4，则BC的长为

（

）A．1

B．2

C．3

D．4B第1课时“a＝b”型的线段问题“a＝b”型(1)若a与b分别在不同的三角形中，则直接证明对应所在三角形全等．(2)若a与b不共线但共顶点，则证明所在三角形是等腰三角形．(3)若a与b共线且共顶点，常用证明方法是作平行线，先构造一组三角形全等得到一组对应边相等，再证明“8”字三角形全等(如图①)．需要证明：BD＝DC.过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F.先构造一组三角形全等，得到对应边相等，即BE＝CF或ED＝DF，再构造“8”字三角形全等(△BED≌△CFD)，得到BD＝DC.(4)若a与b垂直，常用证明方法是构造直角三角形，证明最大的三角形是等腰直角三角形，利用斜边的中点可得结论(如图②)．需要证明：BA＝BC.延长AB到点D，使得AB＝BD，连接AC，DC.先利用旋转型或双垂直型模型证明△ACD是直角三角形，再利用斜边上的中点得到BA＝BC.

在△ABC中，∠CAB＝45°，BD⊥AC交AC于点D，点F在AB边上，CF交BD于点E.(1)如图①，作FG⊥AC于点G，若E是CF的中点，∠CFB＝75°，DE＝1，补全图形，求AB的长；(2)如图②，取BD的中点G，连接FG，若E是CF的中点，F是AB的中点，补全图形，求证：CF＝CB.

【方法归纳】证明两条线段相等，除了构造三角形全等，还可以证明它是等腰三角形或者利用等腰三角形三线合一的方法来证明．1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°.

90°AD＝CF解：(2)BD＝2CE.理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴△BCE≌△BFE(ASA)，∴CE＝EF，∵∠BAC＝90°，CE⊥BD，∴∠ACF＋∠F＝90°，∠ABD＋∠F＝90°，∴∠ABD＝∠ACF，∴△ABD≌△ACF(ASA)，∴BD＝CF，∵CF＝CE＋EF＝2CE，∴BD＝2CE.(3)补全图形如图③.FD＝2CE.2．【模型启迪】(1)如图①，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD并延长至点H.使DH＝AD，连接CH.由∠ADB＝∠CDH，得△ADB≌△HDC，则AB与CH的数量关系为________，位置关系为________；AB＝CHAB∥CH【模型探索】(2)如图②，在△ABC中，AP平分∠BAC，D为BC边的中点，过点D作DQ∥AP，交CA的延长线于点Q，交AB边于点K，作BH∥CQ，交QD的延长线于点H，试判断BK与CQ的数量关系，并说明理由；(3)如图③，在△ABC中，D为BC的中点，连接AD，E为AC边上一点，过点E作EG⊥AD于点G，连接BE交AD于点F，且BF＝AC.作BR∥AC，交AD的延长线于点R，补全图形，求证：AG＝GF.(2)解：BK＝CQ，理由：由题意得∠H＝∠Q，∵DQ∥AP，∴∠Q＝∠CAP，∠BKH＝∠BAP，∴∠H＝∠CAP，∵AP平分∠BAC，∴∠CAP＝∠BAP，∴∠H＝∠BKH，∴BK＝BH，∵D为BC边的中点，∴BD＝CD，∵∠BDH＝∠CDQ，∴△BDH≌△CDQ(AAS)，∴BH＝CQ，∴BK＝CQ.(3)证明：补全图形如图③.则∠R＝∠CAD，∵D为BC的中点，∴BD＝CD，∵∠RDB＝∠ADC，∴△RDB≌△ADC(AAS)，∴RB＝AC，∵BF＝AC，∴RB＝BF，∴∠R＝∠BFR，∴∠BFR＝∠CAD，∴∠AFE＝∠BFR＝∠CAD，∴AE＝FE，∵EG⊥AD，∴AG＝GF.第2课时“a＝b＋c”型的线段和差问题针对几何题目中涉及三条线段之间的和、差关系(a＝b＋c)，我们一般采用截长补短或类似截长补短的方法．1．截长补短法有一类几何题，其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”或比例关系，一般可以采取截长或补短的方法进行求解，所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一条线段与已知的另一条线段的大小关系，所谓“补短”，就是将一条已知的较短的线段延长，延长部分与另一条已知的较短的线段的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的大小关系．有的是采取截长补短的方法后，使之构成某种特定的三角形进行求解．(1)截长法：①过某一点作长边的垂线；②在长边截取一条与某一短边相等的线段，再证剩下的线段与另一短边相等．(2)补短法：①延长短边；②通过旋转等方式使两短边拼合在一起．2．类似截长补短这类几何题主要是借助题目给出的条件，如角平分线，等腰三角形等作出类似于截长补短的辅助线求解．(2025·吴忠模拟)已知△ABC是等边三角形．(1)如图①，若AB＝4，点D在线段BC上，且BD＝1，连接AD，过点D作DE⊥AB于点E，请补全图形，求AD的长；(2)如图②，E是BC延长线上一点，∠AEF＝60°，EF交△ABC的外角平分线于点F，在线段CF上截取一点G，使得CG＝CE，连接EG，请补全图形，求证：CF＝AC＋CE.

(2)证明：补全图形如图②.∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠ACE＝180°－∠ACB＝120°，∵CF平分∠ACE，∴∠ACF＝∠ECF＝60°，∴△CEG是等边三角形，∴CE＝GE，∠CEG＝∠CGE＝60°＝∠AEF，∴∠FGE＝∠ACE＝120°，∠CEA＝∠GEF，∴△ACE≌△FGE(ASA)，∴AC＝FG，∴CF＝CG＋GF＝AC＋CE.

【方法归纳】根据问题的特征“a＝b＋c”，可以快速判断是否采用截长补短法，关键是在进行截长或补短后，是否可以证明三角形全等，或者是否为等腰三角形，是判断方法是否准确的重要评判手段．3．【问题背景】如图①，已知AM∥BN，AE平分∠BAM，BE平分∠ABN，过点E的直线交射线AM于点C，交射线BN于点D.探究图中AC，BD，AB之间的数量关系．(1)小王同学探究此问题的方法是：延长AE交BN于点F，先证∠AEB＝90°，说明△ABE≌△FBE，再证△ACE≌△FDE，可得出结论：

；【探索延伸】如图②，已知AM∥BN，AE平分∠BAM，BE平分∠ABN，过点E的直线交射线AM的反向延长线于点C，交射线BN于点D.延长AE交BD于点G.(2)试判断AC，BD与AB之间的数量关系，并说明理由；(3)若AB＝5，AC＝3，S△ABE－S△ACE＝4，求S△BDE.AB＝BD＋AC

(3)∵△ABE≌△GBE，△ACE≌△GDE，∴AB＝BG＝5，AC＝DG＝3，设S△ABE＝S△GBE＝5x，S△ACE＝S△GDE＝3x，∵S△ABE－S△ACE＝4，∴5x－3x＝4，解得x＝2，则S△BDE＝S△GBE＋S△DGE＝5x＋3x＝8x＝16.4．【模型建立】如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点(点E不与点B，C重合)，且∠EAF＝45°.(1)当BE＝DF时，求证：AE＝AF；【模型应用】(2)在CD的延长线上截取DM＝BE，猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明；【模型迁移】(3)连接AC，G是CB延长线上一点，GH⊥AE，垂足为K，交AC于点H且GH＝AE.作HR⊥BC于点R，若DF＝a，CH＝b，补全图形，请用含a，b的代数式表示EF的长．(1)证明：由题意得AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，BE＝DF，∴△ABE≌△ADF(SAS)，∴AE＝AF.(2)解：BE＋DF＝EF，证明：易证△ABE≌△ADM(SAS)，∴∠BAE＝∠DAM，AM＝AE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°，∴∠DAM＋∠DAF＝45°，即∠MAF＝45°，∴∠MAF＝∠EAF，∴△MAF≌△EAF(SAS)，∴FM＝FE，∴DM＋DF＝EF，∴BE＋DF＝EF.

1．(2024·宁夏第25题10分)综合与实践如图①，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线交∠CAM的平分线于点E.【发现结论】结论1：∠AEB＝

∠ACB；结论2：当图①中∠ACB＝90°时，如图②，延长BC交AE于点F，过点E作AF的垂线交BF于点G，交AC的延长线于点H.则AE与EG的数量关系是______；【应用结论】(1)求证：AH＝GF；(2)在图②中连接FH，AG，延长AG交FH于点N，补全图形，求证：FN＝NH＋AE.

AE＝EG证明：(1)在Rt△AFC中，∠EFG＋∠EAH＝90°，在Rt△AEH中，∠AHE＋∠EAH＝90°，∴∠EFG＝∠EHA，又∵∠FEG＝∠AEH，EG＝EA，∴△EFG≌△EHA(AAS)，∴AH＝GF.

5．已知正方形ABCD，E为对角线AC上一点．

证明：(1)∵AC是正方形ABCD的对角线，∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝45°，∴△ABE≌△ADE(SAS)，∴BE＝DE.(2)∵四边形ABCD是正方形，∴∠GAD＝90°，∴∠AGD＋∠ADG＝90°，由(1)知△ABE≌△ADE，∴∠ADG＝∠EBG，∴∠AGD＋∠EBG＝90°，∵FB⊥BE，∴∠FBG＋∠EBG＝90°，∴∠AGD＝∠FBG＝∠FGB，∴FG＝FB.

6．【模型建立】(1)如图①，△ABC和△BDE都是等边三角形，点C关于AD的对称点F在BD边上．Ⅰ)求证：AE＝CD；Ⅱ)用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由；【模型应用】(2)如图②，△ABC是直角三角形，AB＝AC，CD⊥BD，垂足为D，点C关于AD的对称点F在BD边上．过点B作BE⊥AD于点E，请补全图形，用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由．(1)Ⅰ)证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠EBD＝60°，∴∠ABC－∠CBE＝∠EBD－∠CBE，∴∠ABE＝∠CBD，∴△ABE≌△CBD(SAS)，∴AE＝CD.Ⅱ)解：AD＝DF＋BD.理由：∵△BDE是等边三角形，∴BD＝DE.∵点C与点F关于AD对称，∴CD＝DF.由(1)知AE＝CD，∴AE＝DF.∴AD＝AE＋DE＝DF＋BD.

如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上一点(点D不与端点重合)．点D关于直线AB的对称点为点E，连接AD，DE.在直线AD上取一点F，使∠EFD＝∠BAC，直线EF与直线AC交于点G.(1)若∠BAC＝60°，BD＜CD，∠BAD＝α，求∠AGE的度数(用含α的代数式表示)；(2)若∠BAC＝60°，BD＜CD，在CG上截取CM＝BD，连接BM，BE，AE，BM交AD于点H，补全图形，用等式表示线段CG与DE之间的数量关系，并证明．解：(1)由题可得∠EFD＝∠BAC＝60°，∵∠EFD＝∠1＋∠BAD＝∠1＋α，∴∠1＝60°－α，∵∠AGE＋∠1＋∠BAC＝180°，∴∠AGE＝180°－60°－∠1＝120°－∠1，∴∠AGE＝120°－(60°－α)＝60°＋α.

7．在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADB＝60°，AD＝BD.

(2)证明：补全图形如图②.∵AB∥CD，∴∠BDC＝∠ABD＝60°，∵BP＝DP，∠APB＝∠MPD，∴△ABP≌△MDP(ASA)，∴AP＝PM，AB＝DM，∴BD＝DM，∴△BDM是等边三角形，∴BD＝BM，∠DBM＝60°.由旋转得BC＝BF＝CF，∠CBF＝∠DBM＝60°，∴△BDC≌△BMF(SAS)，

8．在△ABC中，E为AC边上一动点，以CE为边在CE上方作等边三角形CEN.

类型二：数学文化迁移型综合与实践(2023T26，2022T26)2．(2023·宁夏第26题10分)综合与实践【问题背景】数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．

72°1－x

10．(2025·永宁县模拟)我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写