大学物理下册(湖南大学陈曙光)课后习题答案和全解

大学物理下册课后习题全解()

第十二章真空中的静电场

12.1如图所示，在直角三角形ABCO的A点处，有点电荷/=1.8X10-9C,8点处有点电荷公=

-4.8x10-9C,AC=3cm,BC=4cm,试求C点的场强.

I解答］根据点电荷的场强大小的公式

922

石=左耳=」一N，其中1/(4〃ro)=Z:=9.OxlON-m-C-.

rr~

点电荷/在C点产生的场强大小为：

£,=——-^=9X109X^8-10y=1.8xlO4(N-C')

12

4^0AC(3x10-2)2图12.1

方向向下.

点电荷仪在C点产生的场强大小为

1948X1094

E2=1^1=9X10X=2.7X10(N-C'),

2BC2(4xl0-2)2

方向向右.

C处的总场强大小为

E=JE；+E；=0.9叱x104=3.245x104(N-C1),

F

总场强与分场强E2的夹角为0=arctan—=33.69°.

12.2半径为R的一段圆弧，圆心角为60°,其电线密度分

别为我和U,求圆心处的场强.

［解答］在带正电的圆弧上取••弧元

ds=Rd。，电荷元为dq=2d5,

在O点产生的场强大小为

1dq1AdsA

dE=60,

4兀*4冗qR，4冗%R

场强的分量为dj=dEcos仇dEv=dEsinO.

对于带负电的圆弧，同样可得在。点的场强的两个分量.由于弧形是对称的，x方向的合场强为零,

总场强沿着y轴正方向，大小为

E=2E,=fdEsin。

■'Ji.

2乃/6]4/6

=------1sinede=——--(-cos。)

2戒QR•2兀£°R0

12.3均匀带电细棒，棒长a=20cm,电荷线密度为%=3x10*00?,求：

(1)棒的延长线上与棒的近端小=8cm处的场强；

(2)棒的垂直平分在线与棒的中点相距d2=8cm处的场强.

［解答］(1)建立坐标系，其中L=a/2=0」(m),x=L+J,=0.18(m).

在细棒上取一线元出，所带的电量为dq=/d/,

根据点电荷的场强公式，电荷元在P,点产生的场强的大小为

E,dq2dl坪

g=kT=--------------r,d'

广4^0(X-/)-*|卜「也三

(°-F

场强的方向沿X轴正向.因此外点的总场强大小通过积分得

2L(d/A1

Ei=

2

4万£()_•(x-Z)4TT£0x-l-L

212LA

)=①

4兀x-Lx+L4万4x2-L2

将数值代入公式得P,点的场强为

2x0.1x3x10-8

6=9xl()9X=2.41X103(N-C'),

0.182-0.12

方向沿着X轴正向.

(2)建立坐标系，y=d2.

在细棒上.取一线元出，所带的电量为dq=Xdl,

在棒的垂直平分在线的尸2点产生的场强的大小为

,dqAd/

(IE,=k—^-=------>

r~4/r~7

由于棒是对称的，x方向的合场强为零，y分量为dEy=dEzsinO.

由图可知:r=djsinf),I=diCOiO,

所以d/=-didO/sirrO,

-A

因此dEsin0d0,

4乃£出

总场强大小为

-2LL2L

EyJsin060—

4啊，2必+/

4盘0。2l=-L47T£od2l=-Ll=-L

12LA

.②

4g>+E

将数值代入公式得尸2点的场强为

LcS92x0.1x3x10-8

E=9X109X----------------V=5.27x103(N.C').

>0.08(0.082+0.12)1/2

方向沿着y轴正向.

［讨论］(1)由于L=a/2,x=L+dit代入①式，化简得

2a2

4松(/|dt+a47r%didja+\

保持4不变，当”f8时，可得

2

EiT③

4万

这就是半无限长带电直线在相距为d,的延长线上产生的场强大小.

(2)由②式得

AA

E

v4fd2J"；+(q/2)24万£&Jq/af+(1/2/

当.f8时，得

2

④

4f2兀1/2

这就是无限长带电直线在线外产生的场强公式.如果小=/2,则有大小关系EV=2E1.

12.4一均匀带电的细棒被弯成如图所示的对称形状，试问。为何值时，圆

心。点处的场强为零.

图12.4

［解答］设电荷线国度为鼠先计算圆弧的电荷在圆心产生的场强.

在圆弧上取一弧元ds=R&<p,

所带的电量为

dq=

在圆心处产生的场强的大小为

7dq2ds2,

dE=k^-=------7=------d(p，

广4%R~4%R

由于弧是对称的，场强只剩x分量，取x轴方向为正，场强为

dEv=-d£cos^9.

总场强为

2^-0/2_jiTt-OH

[cos"10=------sin(p

ei20/2

Asin2，方向沿着x轴正向.

2兀2

£QRR,

再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强.

根据上一题的公式③可得半无限长带电直线在延长上。点产生的场强大小为

E-------，

4府()7?

由于两根半无限长带电直线对称放置，它们在。点产生的合场强为

2Q

cos-,方向沿着X轴负向.

Ex=2Ecos-

22TC%R2

当。点合场强为零时，必有纥=瓦，可得tan0/2=1,

因此。/2=乃/4,所以e=n/2.

12.5一宽为h的无限长均匀带电平面薄板，其电荷密度为“，如图所示.试

求：

(1)平板所在平面内，距薄板边缘为〃处的场强.

(2)通过薄板几何中心的垂直线上与薄板距离为d处的场强.

［解答］(1)建立坐标系.在平面薄板上取一宽度为dr的带电直线,电荷的线密

度为d2=0dx,图12.5

2

根据直线带电线的场强公式E=—

27V20r

得带电直线在尸点产生的场强为

adx

d£=—,其方向沿R轴正向.

2万£(/2%43/2+Q—x)

由于每条无限长直线在P点的产生的场强方向相同，所以总场强为

b!21b/2

E=-^—dr=----ln(Z7/2+。-x)

冗Ih/2+a—x27r%

2-b/2-b/2

a

ln(l+-).①

2g)a

场强方向沿式轴正向.

(2)为了便于观察，将薄板旋转建立坐标系.仍然在平面薄板上取一宽度为dr的带电直线，电

荷的线密度仍然为(U=odx,

带电直线在。点产生的场强为

,「dAcrdx

dE=-----=-------z---

2兀£。丁2女+工2)【几

y

沿Z轴方向的分量为

acosOAx

=d£cos6=

2fs2+x2），/2

设x=dtan"则dr=ddQ/cos之仇因北匕

d£.=dEcose=」一d。

2冗&o

积分得

arcian(〃/2d).

E：=f-^—de=—arctan(—).②

-arctan”/2d)2盘o71go2d

场强方向沿Z轴正向.

［讨论］(1)薄板单位长度上电荷为2=H,

①式的场强可化为

_2ln(l+/?/a)

E=---------------，

2兀£辞hla

当〃一0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为

③

2冗E串

这正是带电直线的场强公式.

(2)②也可以化为E.='arctanS/2”),

~24bl2d

当b~0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为

E.T'，

2兀£<>d

这也是带电直线的场强公式.

当bf00时，可得：E.—>---,④

"2£。

这是无限大带电平面所产生的场强公式.

12.6(1)点电荷q位于一个边长为。的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体一面的电

通量是多少？

(2)如果将该场源点电荷移到立方体的的•个角上，这时通过立方体各面的电通量是多少？

［解答J点电荷产生的电通量为=q囱.

(1)当点电荷放在中心时，电通量要穿过6个面，通过每一面的电通量为口=6/6=q/6eo.

(2)当点电荷放在一个顶角时，电通量要穿过8个卦限，立方体的3个面在一个卦限中，通过每个

面的电通量为0|=24=q/24%；

立方体的另外3个面的法向与电力线垂直，通过每个面的电通量为零.

12.7面电荷密度为。的均匀无限大带电平板，以平板上的一点。为中心，R为半径作一半球面,

如图所示.求通过此半球面的电通量.

［解答］设想在平板下面补一个半球面，与上面的半球面合成一个球

面.球面内包含的电荷为<7=7tR2a,

通过球面的电通量为0,，=qle0,

通过半球面的电通量为①〔=0/2=无力姬氏.

12.8两无限长同轴圆柱面，半径分别为R和>&),带有等量异号电荷，单位长度的电量为

，和乩求(1)"R；(2)(3)r>自处各点的场强.।

［解答］由于电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也具有轴对称性.

(1)在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以一

E=0,(r</?,).

(2)在两个圆柱之间做一长度为/,半径为r的同轴圆柱形高斯面，高斯面内包含的电荷为q="

穿过高斯面的电通量为

<Pe=|jyEdS=£EdS=E2兀rl，

根据高斯定理6=g/eo,所以

(/?1<r</?2).

2兀£«

(3)在外圆柱面之外做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内电荷的代数和为零，所以

£=0,(r>/?2).

12.9一厚度为d的均匀带电无限大平板，电荷体密度为"，求板内

外各点的场强.

I解答］方法一：高斯定理法.

(1)由于平板具有面对称性，因此产生的场强的方向与平板垂直且

对称于中心面：E=E'.

在板内取一底面积为S,高为2r的圆柱面作为高斯面，场强与上下

两表面的法线方向平等而与侧面垂直，通过高斯面的电通量为

①=fE-dS=fE-dS+fE-dS+fE-dS

eJS此JS2此

=ES+E'S+0=2ES,

高斯面内的体积为V=2rS,包含的电量为q=pV=2prS,

根据高斯定理①e=q/决,

可得场强为E=pr/£o,(0=r=d/2).①

(2)穿过平板作一底面积为S,高为2r的圆柱形高斯面,通过高斯面的电通量仍为

<Pe=2ES,

高斯面在板内的体积为1=5”,包含的电量为<7=pV=pSd,

根据高斯定理0=q/e。，

可得场强为E=p4/2eo，(rMd/2).②

方法二：场强迭加法.

(1)由于平板的可视很多薄板迭而成的，以r为界，卜面平板产生的场强方向向上，上面平板产生

的场强方向向下.在下面板中取一薄层Qy,面电荷密度为

do=〃dy,

产生的场强为dE|=dR2co，

积分得

，迹=­③

2%2

同理，上面板产生的场强为

"沁=24④

!2£。2%2

r处的总场强为E=E\-E2=pr/e().

(2)在公式③和④中，令r=d/2,得

殳=0、E=E|=pd/2e0,E就是平板表面的场强.

平板外的场强是无数个无限薄的带电平板产生的电场迭加的结果，是均强电场，方向与平板垂直,

大小等于平板表面的场强，也能得出②式.

12.10•半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为小若在球内挖去一

块半径为RNR的小球体，如图所示，试求两球心。与。,处的电场强度，井证

明小球空腔内的电场为匀强电场.

［解答］挖去一块小球体，相当于在该处填充一块电荷体密度为力的小球

体，因此，空间任何一点的场强是两个球体产生的场强的迭加.

图12.10

对于一个半径为R，电荷体密度为0的球体来说，当场点P在球内时，过P点作一半径为r的同心

球形高斯面，根据高斯定理可得方程

“2143

E47rr=-----nrp

£。3

P点场强大小为E=J.

34

当场点P在球外时，过P点作一半径为r的同心球形高斯面，根据高斯定理可得方程

,14，

E4乃厂------TCRp

3

P点场强大小为£=0丁.

34厂

。点在大球体中心、小球体之外.大球体在。点产生的场强为零，小球在。点产生的场强大小为

七。=上或方，方向由。指向

。,点在小球体中心、大球体之内.小球体在。'点产生的场强为零，大球

在。点产生的场强大小为

E0.=上-。，方向也由。指向。'.

3£（）

［证明］在小球内任一点P,大球和小球产生的场强大小分别为

E,=〃-r,方向如图所示.

3/3%

设两场强之间的夹角为仇合场强的平方为

2

片=理+或+2E,.Er.cos®=（幺＞（/+r'+2rr'cos^）,

根据余弦定理得

a2=r2+r"-2rr'cos（万一6）,

所以E=-^-a，

380

可见：空腔内任意点的电场是一个常量.还可以证明：场强的方向沿着。到。'的方向.因此空腔内的电

场为匀强电场.

12.11如图所示，在4、8两点处放有电量分别为+«和口的点电荷，A8间距离为2R,现将另一正

试验电荷qo从。点经过半圆弧路径移到C点，求移动过程中电场力所做的功.

［解答I正负电荷在。点的电势的和为零：。。=0;/-F'X

在C点产生的电势为人c（B\

Uc=―W—+二q==，.,+q-qC

c47r£（）37?4兀£（、R6兀£°R图1。”

电场力将正电荷4o从。移到C所做的功为

W=q0UoD=q&Uo-U0=q⑷67KoR.

12.12真空中有两块相互平行的无限大均匀带电平面4和从A平面的电荷面密度为2”，B平面的

电荷面密度为a,两面间的距离为乩当点电荷q从A面移到B面时，电场力做的功为多少？

［解答］两平面产生的电场强度大小分别为

EA=2<T/2CO=<r/so>EB=<7/2SO,

两平面在它们之间产生的场强方向相反，因此，总场强大小为E=EA-EB=H2I如

方向由A平面指向B平面.

两平面间的电势差为U=Ed=ad/2^,

当点电荷q从A面移到B面时，电场力做的功为W=qU=qod!2e0.

12.13一半径为R的均匀带电球面，带电量为。.若规定该球面上电势值为零，则无限远处的电势

为多少？

［解答］带电球面在外部产生的场强为E=—,

4%%厂

00

80°Z)8Q

由于=fEdl=|~Edr=f=-=丫,

!；厂4密/口4/R

当UR=O时，。8=——^―-

4万与阳

12.14电荷。均匀地分布在半径为R的球体内，试证明离球心r(r<R)处的电势为

〃Q(3/?2-r2)

8万£()*

［证明］球的体积为V=刍»/?3,电荷的体密度为2=_32

3V4万K

利用12.10题的方法可求球内外的电场强度大小为后=上~/•=—^—r，(rWR);

3sa4兀£0R'

E=―(rMR).

4g/

取无穷远处的电势为零，则厂处的电势为

00/?00r,p„

2

U=fE-dl=f£dr+fEdr=［_^rdr+f—^-dr=—^-r+^~

!；I,4环用14啊r8喙Rr4兀纣R

Q小a,Q一。(3户一-)

=---------------------r(人-r)'---------二i•

84£O/?34万JR8兀%R

12.15在)，=3和y=b两个“无限大”平面间均匀充满电荷，电荷体密度为“其它地方无电荷.

(1)求此带电系统的电场分布，画E-y图；

(2)以y=0作为零电势面，求电势分布，画E-y图.

［解答］平板电荷产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面：E=

E',但方向相反.

(1)在板内取一底面积为5,高为2)，的圆柱面作为高斯面，场强与上

下两表面的法线方向平等而与侧面垂直，通过高斯面的电通量为

叱=fE-dS=fE-dS+fE-dS+fE-dS=2ES.

JsJs、Js>Js。

高斯面内的体积为V=2yS,

包含的电量为q=pV=2pSy,

根据高斯定理B=q/ea,

UJ■得场强为E=py/e»,(-/?=y=b).

穿过平板作一底面积为S,高为2y的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为n=2ES,

高斯面在板内的体积为V=S2b,包含的电量为q=pV=pS2b,

根据高斯定理巩=q/%,

可得场强为E=pb/e0<SWy)；E=-pb/so,(yS-Z)).

E-y图如图所示.

(2)对于平面之间的点，电势为

在y=0处U=0,所以C=0,因此电势为(4WyWb).这是一条开口向下的抛物线.

2%

当好匕时，电势为U=_但71=—=-义2y+C,

JJ夕

%0C0

在y=b处0=-〃6/2£0，所以C=pb2/2£o，因此电势为。=—包y+度

(—)•

42%

当yw-b时，电势为u=_jE-dl=J£^dy=£^y+C,

*£口£。

在y=-6处U二处之⑵o，所以C=p£/2e。，因此电势为

〃phpb1

U=£—y+——，

£o280

两个公式综合得U=-4y\+正,(lyiarf).

2%

这是两条直线.

U-y图如右图所示.U-y图的斜率就形成E-y图，在丫=动点，电场强

度是连续的，因此，在U-)，图中两条直线与抛物线在)，=±b点相切.

［注意］根据电场求电势时，如果无法确定零势点，可不加积分的上下限，但是要在积分之后加一个

积分常量.根据其它关系确定常量，就能求出电势，不过，线积分前面要加一个负号，即

(7=-jEdl这是因为积分的起点位置是积分下限.

12.16两块“无限大”平行带电板如图所示，4板带正电，B板带负电并接地(地的电势为零)，设

A和B两板相隔5.0cm,板上各带电荷＜7=3.3x106c.m-2,求：

(1)在两板之间离4板1.0cm处P点的电势；4B

(2)A板的电势.

P

［解答］两板之间的电场强度为E=c依,方向从A指向艮

以B板为原点建立坐标系,则3=0,»=-0.04m,以=-0.05m.~1

(1)尸点和B板间的电势差为图12.16

Up—UB=jE-dl=][£”=£(7—小)，

£

rPrPO

由于〃=0,所以P点的电势为

33x10-6

Up------------X0.04=1.493X104(V).

「8.84xl0-'2

(2)同理可得A板的电势为

UA=一(%—0)=1.866x1()4").

12.17电量q均匀分布在长为2L的细直线上，试求：

(1)带电直线延长线上离中点为r处的电势；

(2)带电直线中垂在线离中点为r处的电势；

-L(>7dT7~Pix

(3)由电势梯度算出上述两点的场强.

［解答］电荷的线密度为2=q/2L.

(1)建立坐标系，在细在线取一线元d/,所带的电量为dg=id/,

根据点电荷的电势公式，它在8点产生的电势为

〃，1Adi

dq=---------

4万r—I

〃％%d/-2八，qr+L

总电势为U［=--------=-----ln(r-/)=---In-----.

4兀％1r-14TT£0nr-L

(2)建立坐标系，在细在线取一线元d/,所带的电量为dq=id/,

在线的垂直平分在线的P2点产生的电势为

Ad/

dt/2

积分得

U=-^―f,-；•I：芦d/=ln(Vr2+/2+/)

2~4g」(户+广严4f―

q,Vr2+L2+Lq,y/r2+L3+L

=------in/-----——i——In--------------

8万＜r2+L2-L4%r

(3)外点的场强大小为

______^)=_^--L_

drr-Lr+L4f/一Z3

方向沿着x轴正向.

P2点的场强为

E,=*-4J厂一［一］二」--,1

22222

加4TT£0LrVr+L(Vr+L+L)'rVr+Z3

方向沿着y轴正向.

［讨论］习题12.3的解答已经计算了带电线的延长线上的场强为

」__勺不，由于2U=q,取)=〃就得公式①.

14%X-L

(2)习题12.3的解答还计算了中垂在线的场强为

E=-------乎取'=「,可得公式②.

4go-2依+-2

由此可见，电场强度可用场强迭加原理计算，也可以用电势的关系计算.

12.18如图所示，一个均匀带电，内、外半径分别为Ri和色的均匀带电球壳，所带电荷体密度为

P，试计算：

(1)A,8两点的电势；

(2)利用电势梯度求A,8两点的场强.

［解答］(1)A点在球壳的空腔内，空腔内的电势处处相等，因此4点的电

势就等于球心。点的电势.

在半径为r的球壳处取一厚度为dr的薄壳，其体积为

dV=4nr_dr,

包含的电量为dq=pdV=4s/?r2dr,

这就是A点的电势t/八.

过B点作一球面，B的点电势是球面外的电荷和球面内的电荷共同产生的.

球面外的电荷在B点产生的电势就等于这些电荷在球心处产生的电势，根据上面的推导可得

U］=六（8-r；）.

球面内的电荷在B点产生的电势等于这些电荷集中在球心处在8点产生的电

势.球壳在球面内的体积为

4

v=—包含的电量为Q=pv，

这些电荷集中在球心时在B点产生的电势为

U,=.。=-^―-盾）.

-4g0%3sorB

8点的电势为［/8=5+［/2=上-（3/^-］一2殳）.

6%-%

（2）A点的场强为EA=0.

B点的场强为EB

［讨论］过空腔中A点作一半径为，的同心球形高斯面，由于面内没有电荷，根据高斯定理，可得空

腔中4点场强为

E=0,（rWR）.

、.4

过球壳中8点作一半径为r的同心球形高斯面，面内球壳的体积为V=-^-（r3-/?,3）,

包含的电量为q=pV,

根据高斯定理得方程4/E=q/e。,

可得8点的场强为£=上&_与），（RlsrSR2）.这两个结果与上面计算的结果相同.

34r

4。°

在球壳外面作一半径为r的同心球形高斯面，面内球壳的体积为V=飞%—,

包含的电量为q=pV,

根据高斯定理得可得球壳外的场强为£=」~^=，（屈一步）,（/?2Sr）.

4%厂3名厂

A点的电势为

UA=jE-dl=j£dr=|odr+j.（一少"+j处若鲁dr

0

以。。为oR2

=/（8-&）.

5点的电势为

cocoR2cA300

U„=JEdl=『Edr=j壬（「一?）”+j

rBrBrB°&

A和B点的电势与前面计算的结果相同.

12.19•圆盘，半径为R,均匀带电，面电荷密度为外求：

（1）圆盘轴线上任一点的电势（用该点与盘心的距离x来表示）；

（2）从电场强度的和电势梯度的关系，求该点的电场强度.

（此题解答与书中例题解答相同，在此省略）

12.20（1）设地球表面附近的场强约为200V-mL方向指向地球中心，试求地球所带有的总电量.

(2)在离地面1400m高处，场强降为20V.m方向仍指向地球中心,试计算在1400m下大气层里

的平均电荷密度.

［解答］地球的平均半径为/?=6.371xl06m.

(1)将地球当作导体，电荷分布在地球表面，由于场强方向指向地面，所以地球带负量.

根据公式E=-<T/£0>电荷面密度为o=-£(>£；地球表面积为S=4兀R?,

地球所带有的总电量为Q=oS=-4底#2E=-R2E/k,k是静电力常量，

因此电量为Q=--------------------=-9.02x105(C).

9x10

(2)在离地面高为〃=1400m的球面内的电量为Q'=_(R+〃)々=-0.9X1(AC),

k

大气层中的电荷为4=。-。'=812xl05(C).

由于大气层的厚度远小于地球的半径，其体积约为V==0.714x10'8(m3).

平均电荷密度为p=q/V=1.137xlO-12(C-m-3).

第十三章静电场中的导体和电介质

13.1一带电量为q,半径为小的金属球A,与一原先不带电、内外半径分

别为3和万的金属球壳B同心放置，如图所示，则图中尸点的电场强度如何？若

用导线将A和B连接起来，则A球的电势为多少？(设无穷远处电势为零)

I解答］过P点作一个同心球面作为高斯面，尽管金属球壳内侧会感应出异种，

但是高斯面内只有电荷仪根据高斯定理可得E4兀产=q/£。,

可得P点的电场强度为£=-^-5-.

4;r£or

图13.1

当金属球壳内侧会感应出异种电荷可时，外侧将出现同种电荷分用导线将力

和8连接起来后，正负电荷将中和.A球是一个等势体，其电势等于球心的电势.4球的电势是球壳外侧

的电荷产生的，这些电荷到球心的距离都是小所以A球的电势为U=—^—

4f4

13.2同轴电缆是由半径为凡的导体圆柱和半径为色的同轴薄圆筒构成的，其间充满了相对介电常

数为%的均匀电介质，设沿轴线单位长度上导线的圆筒的带电量分别为+2和X,则

通过介质内长为/,懈为r的同轴封闭圆柱面的电位移通量为多少？圆柱面上任一

点的场强为多少？

I解答J介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的.在内外半径之间作一个半

径为八长为/的圆柱形高斯面，根据介质中的高斯定理，通过圆柱面的电位移通过

等于该面包含的自由电荷，即%=4=".

设高斯面的侧面为So，上下两底面分别为Si和S”通过高斯面的电位移通量为

0(/=|^|DdS=［D-dS+［DdS+［DdS=2^7£),

可得电位移为D=XHnr,其方向垂直中心轴向外.

电场强度为E=D/Cof-r=2/2硝方向也垂直中心轴向外.

13.3金属球壳原来带有电量Q,壳内外半径分别为a、b,壳内距球心为处有一点电荷q，求

球心。的电势为多少？

［解答］点电荷4在内壳上感应出负电荷-%不论电荷如何分布，距离球心

都为a.外壳上就有电荷q+0,距离球为4球心的电势是所有电荷产生的电

势迭加，大小为

图13.3

]qi।iC+4

u.=

4飞r4Fa4兀%b

13.4三块平行金属板A、B和C,面积都是S=lOOcn?,A、B相距由=2mm,4、C相距dz=4mm,

B、C接地，A板带有正电荷q=3x10*0忽略边缘效应.求

(1)B、C板上的电荷为多少？

(2)A板电势为多少？

［解答］(1)设4的左右两面的电荷面密度分别为g和%所带电量分别为

41=<715和伙=O1S,

在8、C板上分别感应异号电荷-%和可2,由电荷守恒得方程

4=<7i+伙=+0s①

4、8间的场强为©=内/密，

A、C间的场强为E2=

设A板与8板的电势差和A板与C板的的电势差相等，设为则

AU=Ei4=E2d2,②

即<7|"1=<72^2.③

解联立方程①和③得<7|=qd2/s(dt+4)，

88

所以ch=CT1S=qd^dt+d^=2X10-(C)；q2=q-qx=lxlO-(C).

B、C板上的电荷分别为以=0=210-8(0；%=-g2=-lxl()/(c).

(2)两板电势差为MJ=Eidi=oidi/g=qdid*双di+d。

y

由于％=9x10,’=1/4硫，所以£0=10/36^,

因此AU=144%=452.4(V).

由于B板和C板的电势为零，所以UA=AU=452.4(V).

13.5一无限大均匀带电平面A,带电量为q,在它的附近放一块与4平行的金属导体板8,板8

有一定的厚度，如图所示.则在板8的两个表面1和2上的感应电荷分别为多少？网I

［解答I由于板8原来不带电，两边感应出电荷后，由电荷守恒得外怦2q

qi+q2=0.①因尸

虽然两板是无限大的，为了计算的方便，不妨设它们的面积为S,则面电荷密度分别

为g=q、/S、S=q^S、o=q/S,

它们产生的场强大小分别为E\=<7|/fiO'E2=旬。。、E=6/B［Hj4

在B板内部任取一点P,其场强为零，其中1面产生的场强向右，2面和A板产生的图135

场强向左，取向右的方向为正，可得E-E2-E=0,''

即(71-0,2—0=o,口|-42+g=0。(2)

解得电量分别为仅=q/2,41=-伙=-q/2.

13.6两平行金属板带有等异号电荷，若两板的电势差为120V,两板间相距为1.2mm,忽略边缘效

应，求每一个金属板表面的电荷密度各为多少？

［解答］由于左板接地，所以内=0.

由于两板之间的电荷相互吸引，右板右面的电荷会全部吸引到右板左面,

所以内=0.由于两板带等量异号的电荷，所以<72=-内.

两板之间的场强为E=函，而E=U/d,

所以面电荷密度分别为

。3=£曲=£oU/d=8.84x10-7(C-m-2),

72

ff2=-ff3=-8.84xlO_(C-m').

13.7一球形电容器，内外球壳半径分别为必和R2,球壳与地面及其它物体相距很远.将内球用细

导线接地.试证：球面间电容可用公式。=坦必表示.

(提示：可看作两个球电容器的并联，且地球半径R>>&)

［证明］方法一：并联电容法.在外球外面再接一个半径为R3大外球壳，外壳也接地.内球壳和外球

壳之间是一个电容器，电容为

「.1，R圈

外球壳和大外球壳之间也是一个电容器，电容为C,=44生-----------.

2°l/R2-l/R3

外球壳是一极，由于内球壳和大外球壳都接地，共享一极，所以两个电容并联.当R3趋于无穷大

时，C2=并联电容为

c=G+C?=4%:用+4环风=•丁丝一-

XV|x\!

方法二：电容定义法.假设外壳带正电句q,则内壳将感应电荷q'.内球的电势是两个电荷产生的

迭加的结果.由于内球接地，所以其电势为零；由于内球是一个等势体，其球心的电势为

4%&4%公

R

因此感应电荷为g、=一.4.

根据高斯定理可得两球壳之间的场强为E=—^=——如下