教学材料《建筑力学》-第11章

第一节位移的概念及位移计算的目的■一、位移的概念结构在荷载或其他因素作用下会产生变形，由于变形，结构上各点的位置会产生移动，构件的横截面会产生转动，这些移动和转动就称为结构的位移。我们把结构上各点位置的移动称为线位移；用横截面绕中性轴的转动称为角位移。如图１１-１（ａ）所示的悬臂梁，在荷载F作用下，梁的轴线由图１１-１（ａ）中的直线变成了图１１-１（ｂ）中虚线所示的曲线，同时梁中各截面的位置也发生了变化。例如图中的截面C移到了C′，CC′称为C截面的线位移，规定线位移垂直向下为正；同时，C截面绕中性轴转过了一个角度θ，θ称为C截面的角位移，一般称为转角，规定顺时针转角为正。下一页返回第一节位移的概念及位移计算的目的除荷载会使结构产生位移外，还有其他一些因素，如温度改变、材料胀缩、支座移动、尺寸的制造误差、基础沉降等也会使结构产生变形和位移。对于静定结构，在荷载作用下产生内力和变形，从而使结构产生位移；在温度改变和材料胀缩的影响下，不产生内力只产生变形，使结构产生位移；有支座移动时不产生应力和应变，只产生刚性位移；有制造误差时也不产生应力和应变，但产生变形位移。上一页下一页返回第一节位移的概念及位移计算的目的■二、位移计算的目的结构位移计算的目的概括起来有以下两个方面：（１）校核结构的刚度。为了保证结构或构件的正常工作，除满足强度条件外，还需满足刚度要求，即在荷载作用下（或其他因素作用下）不致产生过大的位移，保证结构在正常工作时产生的位移不超过规定的允许值。例如，吊车梁的挠度不得超过跨度的，屋盖和楼盖梁的挠度不得超过跨度的１/４００。上一页下一页返回第一节位移的概念及位移计算的目的（２）分析超静定结构。计算超静定结构的支座反力和内力时，只用静力平衡条件是不能全部求出的，还需考虑变形协调条件，而建立变形协调条件就需计算位移。因此，位移计算是超静定结构计算的基础。另外，在结构的制作、架设、养护等过程中，有时需要预先知道结构的变形情况，以便采取一定的施工措施，因而也需要进行位移计算。建筑力学中位移计算一般是以虚功原理为基础的。上一页返回第二节变形体的虚功原理■一、变形体的虚功功的基本定义是：力与沿力方向发生位移的乘积称为功。若位移是由力本身引起的，此时力做的功称为实功；若位移并不是由力本身引起的，而是由其他原因引起的，此时力与位移的乘积称为虚功。■二、变形体的虚功原理变形体的虚功原理可表述为：变形体处于平衡的必要和充分条件是，对于任何虚位移，外力所做的虚功总和等于各微段上的内力在其变形上所做虚功的总和，即“外力虚功等于内力虚功”。可写为W外＝W内下一页返回第二节变形体的虚功原理如图１１-２（ａ）所示的简支梁，在静荷载F１作用下，梁发生了虚线所示的变形，达到平衡状态。F１的作用点沿其作用线产生了位移Δ１１，此时F１做的实功为W１１＝１２F１Δ１１，称为外力实功。这里的位移Δ１１用两个脚标，第一个脚标“１”表示位移发生的地点和方向，即表示F１作用点沿F１方向上的位移；第二个脚标“１”表示位移产生的原因，即此位移是由F１引起的。如图１１-２（ａ）的基础上，在梁上又增加了一个静荷载F２，梁就会达到新的平衡状态，如图１１-２（ｂ）所示。F１的作用点沿F１的方向又产生了位移Δ１２，F２的作用点沿F２方向产生了位移Δ２２，由于F１不是产生Δ１２的原因，所以W１２＝F１·Δ１２即为F１所做的虚功，称之为外力虚功；而F２是产生Δ２２的原因，所以W２２＝１２F２Δ２２就是外力实功。上一页下一页返回第二节变形体的虚功原理如图１１-２所示的简支梁，在F１和F２作用下会产生内力。内力在其本身引起的变形上所做的功，称为内力虚功，分别用W′１１、W′２２表示；内力在其他原因引起的变形上所做的功，称为内力虚功，用W′１２表示。在图１１-２中，外力F１和F２所做的总功为W外＝W１１＋W１２＋W２２由F１和F２引起的内力所做的总功为W内＝W′１１＋W′１２＋W′２２而W外＝W内，即W１１＋W１２＋W２２＝W′１１＋W′１２＋W′２２上一页下一页返回第二节变形体的虚功原理根据实功原理，即外力实功等于内力实功，有W１１＝W′１１，W２２＝W′２２所以得W１２＝W′１２上述虚功原理表明：结构的第一组外力在第二组外力所引起的位移上所做的外力虚功，等于第一组内力在第二组内力所引起的变形上所做的内力虚功。上一页返回第三节结构在荷载作用下的位移计算下一页返回第三节结构在荷载作用下的位移计算在实际计算中，根据不同类型的结构，位移计算的表达式还可进一步简化。下面介绍各类杆件结构在荷载作用下的位移计算公式。■一、梁和刚架通常情况下，梁和刚架的位移主要是由弯矩引起的，剪力和轴力的影响很小，可以忽略不计，因此，梁和刚架的位移计算公式简化为上一页下一页返回第三节结构在荷载作用下的位移计算■二、桁架桁架的每一根杆件只有轴力作用，没有弯矩和剪力。同一杆件的轴力FＮＰ、FＮ、拉压刚度EA和杆长l均为常数，因此，桁架的位移计算公式可简化为■三、组合结构组合结构是由链杆和梁式杆组合而成的，因此位移计算公式为上一页返回第四节图乘法用式（１１-２）计算梁和刚架的位移，需先列弯矩方程MＰ（x）和M（x），然后进行积分运算。当杆件数目较多，或荷载较为复杂时，积分运算计算量大且麻烦，因此，我们可以采用一种更为简便实用的方法代替积分运算，即图乘法。■一、图乘法的适用条件（１）杆轴为直线。（２）杆段的弯曲刚度EI＝常数。（３）MＰ图和M图中至少有一个是直线图形。下一页返回第四节图乘法■二、图乘法的基本公式图１１-３中，设等截面直杆AB段上的两个弯矩图中，MＰ图的形心为C，图形面积为A，与形心C所对应的另一个弯矩图M图上的竖标为yＣ。则AB段的位移为（推导从略）Δ＝A·yＣ/EI即位移等于一个弯矩图的面积A乘以其形心所对应的另一个直线弯矩图的竖标yＣ，再除以EI，于是积分运算转化为数值乘除运算，这种方法就称为图乘法。上一页返回第五节静定结构在支座移动时的位移计算

静定结构由于支座移动并不产生内力也无变形，只产生刚体位移。刚体位移可用几何法求解，但采用虚功原理来计算更为简便。如图１１-１１（ａ）所示的静定结构，其支座发生了水平位移C１、竖向位移C２、转角C３。现要求由此引起的任一点沿任一方向的位移，例如求K点的竖向位移ΔＫ。下一页返回第五节静定结构在支座移动时的位移计算

上一页返回第六节互等定理■一、功的互等定理设外力F１和F２分别作用于同一结构上，如图１１-１３（ａ）和图１１-１３（ｂ）所示，分别称为结构的第一状态和第二状态。如果把第一状态作为力状态，把第二状态作为位移状态，根据虚功原理，第一状态的外力在第二状态的相应位移上所做的外力虚功W１２，等于第一状态的内力在第二状态的相应变形上所做的内力虚功W′１２（即W１２＝W′１２），则有下一页返回第六节互等定理如果把第二状态作为力状态，第一状态作为位移状态，则第二状态的外力在第一状态的相应位移上所做的外力虚功，等于第二状态的内力在第一状态相应变形上所做的内力虚功（即W２１＝W′２１），则有这表明：第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功，等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的虚功。这就是功的互等定理。上一页下一页返回第六节互等定理■二、位移的互等定理位移的互等定理是功的互等定理的一个特例。如图１１-１４所示，假设两个状态中的荷载都是单位力，即X１＝１，X２＝１，与其相应的位移用δ１２和δ２１表示，则由功的互等定理，有１·δ１２＝１·δ２１得δ１２＝δ