小学数学第六章　§6.2　6.2.4　向量的数量积(一)

6.2.4向量的数量积(一)学习目标1.理解平面向量夹角的概念，会求两向量的夹角.2.理解平面向量数量积的概念，会计算平面向量的数量积.3.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.一、向量的数量积的概念问题初中物理课中我们学习过功的概念，请大家写出物理中功的计算公式，并用文字语言表述功的计算公式.知识梳理1.两向量的夹角：已知两个a，b，O是平面上的任意一点，作OA=a，OB=b，则=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角，如图所示.当θ=0时，a与b；当θ=π时，a与b.2.两向量垂直：如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作.3.两向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作，即.规定：零向量与任一向量的数量积为.例1(1)已知|a|=4，|b|=5，①当a∥b时，a·b=；②当a⊥b时，a·b=；③当a与b的夹角为30°时，a·b=.(2)已知△ABC是边长为6的正三角形，则AB·BC=.(3)已知|a|=6，|b|=4，|a·b|=12，求a与b的夹角.反思感悟(1)求平面向量数量积的步骤①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b=|a||b|cosθ.(2)求向量夹角的方法：①几何法.借助图形求两个向量夹角时，首先要使两个向量起点重合，从而找到两个向量的夹角，然后再观察向量夹角与图形内角的关系，从而确定夹角大小.特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0=180°-θ；当λ1λ2>0时，θ0=θ.②代数法.向量a，b夹角的余弦值为cos〈a，b〉=a·跟踪训练1(1)已知向量a，b在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则a·b=.(2)在等腰直角三角形ABC中，AB=BC=5，则AB·BC=，BC·CA=.二、投影向量1.如图，设a，b是两个非零向量，AB=a，CD=b，作如下的变换：过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量b，A1B1叫做向量2.如图，在平面内任取一点O，作OM=a，ON=b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则OM1就是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则OM1与e，a，θ之间的关系为OM1=|a|cos例2已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，与b同向的单位向量为e.(1)求a·b；(2)求a在b上的投影向量.反思感悟(1)任意非零向量a，e为与向量a同向的单位向量，则e=a|(2)任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于|a|cosθe(θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量).跟踪训练2已知|a|=6，e为单位向量，当向量a，e的夹角等于45°时，向量a在向量e上的投影向量是.三、向量数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则(1)a·e=e·a=|a|cosθ.(2)a⊥b⇔a·b=0.(3)当a∥b时，a·b=|特别地，a·a=|a|2或|a|=.(4)|a·b||a||b|.例3(多选)对于任意向量a，b，c，下列命题不正确的是()A.若a·b=0，则a与b中至少有一个为0B.向量a与向量b夹角的范围是[0，π)C.若a⊥b，则a·b=0D.|a|=a反思感悟(1)若a·b=0，则a和b中至少有一个零向量或a，b均为非零向量，且a⊥b.(2)|a|=a·a跟踪训练3(多选)下列命题正确的有()A.a·0=0B.0-AB=BAC.若a≠0，则对任一非零向量b，都有a·b≠0D.若非零向量a与b不垂直，则a·b≠01.知识清单：(1)向量数量积.(2)投影向量.(3)向量数量积的性质.2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：求向量夹角时需要把向量起点重合才行，尤其是在平面图形中研究向量夹角时要注意夹角与图形的内角之间是否相等.1.已知在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，则AD与CD的夹角为()A.30° B.60°C.120° D.150°2.已知|a|=3，|b|=23，a与b的夹角是120°，则a·b等于()A.3 B.-3 C.-33 D.333.已知|a|=2，e为单位向量，若a在e上的投影向量为-e，则a与e的夹角为.4.已知等边△ABC的边长为1，CB=a，CA=b，AB=c，那么a·b+b·c+c·a=.

答案精析问题如图所示，一物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W=|F||s|·cosθ.文字叙述为功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积.知识梳理1.非零向量∠AOB同向反向2.π2a⊥3.|a||b|cosθa·ba·b=|a||b|cosθ0例1(1)①20或-20②0③103(2)-18(3)解因为a·b=|a||b|cos〈a，b〉，所以|a·b|=||a||b|cos〈a，b〉|=|a||b||cos〈a，b〉|=12.又|a|=6，|b|=4，所以|cos〈a，b〉|=12|a||b|所以cos〈a，b〉=±12因为〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角为π3或2π跟踪训练1(1)-4(2)0-25知识梳理1.投影投影向量例2解