小学数学第六章　§6.3　6.3.1　平面向量基本定理

§6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.1平面向量基本定理学习目标1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义.2.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.一、平面向量基本定理问题1如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量.请你将向量a分解成图中所给的两个方向上的向量.问题2上述问题中的分解方法是否唯一？为什么？问题3请结合所学的知识，从理论上证明上述问题中分解方法的唯一性.知识梳理1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的向量a，实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.2.基底：若e1，e2，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.例1(多选)如果{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是()A.若存在实数λ1，λ2，使λ1e1+λ2e2=0成立，则λ1=λ2=0B.该平面内任意向量a都可以表示为a=λ1e1+λ2e2，其中λ1，λ2∈RC.λ1e1+λ2e2(λ1，λ2∈R)不一定在这个平面内D.对于该平面内任意向量a，使a=λ1e1+λ2e2成立的实数λ1，λ2有无数对反思感悟(1)因为零向量与任意向量都是共线向量，所以基底中的两个向量一定不能有零向量.(2)根据平面向量基本定理，平面的基底一旦确定，那么该平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一表示.跟踪训练1已知向量e1，e2不共线，且平面向量a=2e1-5e2，b=-2e2+λe1+μe1-3e2(λ，μ∈R二、用基底表示向量例2(1)如图所示，已知▱ABCD的边BC，CD的中点分别为K，L，且AK=e1，AL=e2，试用e1，e2表示BC，CD.(2)若OP1=a，OP2=b，P1P=λPP2(λ≠A.a+λb B.λa+(1-λ)bC.λa+b D.11+λa+反思感悟(1)用基底表示向量的注意事项：①根据平面向量基本定理，平面内的任意向量都可以用该平面内的一个基底来表示，而且表示方式是唯一的.用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则进行向量的线性运算.②基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量.(2)A，B，P三点共线的充要条件是存在唯一实数组λ，μ，满足OP=λOA+μOB，且λ+μ=1.(O为平面内任意一点)跟踪训练2(1)如图，在正方形ABCD中，设AB=a，AD=b，BD=c，则以{a，b}为基底时，AC可表示为；以{a，c}为基底时，AC可表示为.(2)在平行四边形ABCD中，G为△ACD的重心，AG=xAB+yAD，则3x+y等于()A.103 B.2 C.53 D三、平面向量基本定理的应用例3如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设BA=a，BC=c.(1)用a，c表示向量AE；(2)若点F在AC上，且BF=15a+45c，求AF∶反思感悟(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的.(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.跟踪训练3如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.若AB·AC=6AO·EC，则ABAC的值是1.知识清单：(1)平面向量基本定理.(2)用基底表示向量.(3)平面向量基本定理的应用.2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：忽视基底中的向量必须是不共线的两个向量.1.若{e1，e2}是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是()A.e1-e2，e2-e1B.2e1-e2，e1-12eC.2e2-3e1，6e1-4e2D.4e1+2e2，8e1-4e22.如图，用向量e1，e2表示向量a-b等于()A.-2e1-4e2B.-4e1-2e2C.e2-3e1D.-e2+3e13.已知非零向量OA，OB不共线，且2OP=xOA+yOB，若PA=λAB(λ∈R)，则x，y满足的关系式是()A.x+y-2=0B.2x+y-1=0C.x+2y-2=0D.2x+y-2=04.已知向量a，b不共线，向量m=2a-3b，n=4a-2b，p=3a+2b，则p=(用m，n表示).

答案精析问题1OA=e1，OM=λ1e1，OB=e2，ON=λ2e2，OC=a=OM+ON=λ1e1+λ2e2.问题2从作图的过程来看，向量e1，e2的方向是确定的，所以平行四边形的两条邻边的方向也是确定的，我们以OC为对角线，过点C所作的两条边的平行线也是唯一确定的，因此交点M，N可以确定，所以在线段OA，OB上，线段OM与OA，ON与OB的长度关系及是否同向也是确定的，根据向量共线定理，我们所找的λ1和λ2也是确定的，所以分解方法唯一.问题3如果a还可以表示成μ1e1+μ2e2的形式，那么λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，可得(λ1-μ1)e1+(λ2-μ2)e2=0，由此式可推出λ1-μ1，λ2-μ2全为0(假设λ1-μ1，λ2-μ2不全为0，不妨假设λ1-μ1≠0，则e1=-λ2-μ2λ1-μ1e2.由此可得e1，e2共线，这与e1，e2不共线矛盾)，即λ1=μ知识梳理1.不共线任一有且只有一对2.不共线例1AB跟踪训练11例2(1)解设BC=x，则BK=12x则AB=AK+KB=e1-12xDL=12DC=12AB=12e又AD=BC=x，AL=e2，由AD+DL=AL，得x+12e1-14x=e解得x=43e2-23e即BC=43e2-23e又CD=-AB，则CD=-e1+1=-43e1+23e(2)D跟踪训练2(1)a+b2a+c(2)C例3解(1)因为AC=BC-BA=c-a，点D是AC的中点，所以AD=12AC=12(c-因为点E是BD的中点，所以AE=12(AB=12AB=-12a+