小学数学第六章　§6.3　6.3.5　平面向量数量积的坐标表示

6.3.5平面向量数量积的坐标表示学习目标1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算.2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题.一、平面向量数量积的坐标表示问题1在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j的值吗？若设非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，你能给出a·b的值吗？知识梳理设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=.例1(1)已知a=(2，-1)，b=(1，-1)，则(a+2b)·(a-3b)等于()A.10 B.-10 C.3 D.-3(2)已知a=(1，1)，b=(2，5)，c=(3，x)，若(8a-b)·c=30，则x等于()A.6 B.5 C.4 D.3反思感悟(1)已知向量的坐标进行数量积运算时，要正确使用公式a·b=x1x2+y1y2.(2)在运算的过程中，我们可以有两种方式，一种是先把各向量用坐标表示出来，再进行数量积的运算；另一种是先利用数量积的运算律将原式展开，再用坐标逐个计算其中的未知量.(3)常用的运算律有：①(a+b)·(a-b)=a2-b2；②(a±b)2=a2±2a·b+b2.跟踪训练1(1)已知向量a=(1，-2)，b=(-3，4)，c=(3，2)，则(a+2b)·c等于()A.11 B.0C.-3 D.-11(2)在平面直角坐标系Oxy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB=(1，-2)，AD=(2，1)，则AD·AC等于()A.5 B.4 C.3 D.2二、平面向量的模问题2若已知a=(x1，y1)，试计算a2和|a|2的值.知识梳理1.若a=(x，y)，则|a|2=或|a|=.2.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么a=(x2-x1，y2-y1)，|a|=.例2(1)已知向量a=(2，m)，b=(3，6)，若|3a+b|=|3a-b|，则实数m的值为()A.1 B.-1 C.4 D.-4(2)已知AB，AC均为单位向量，且AB+2AC=(1，1)，则|BC|等于()A.2 B.3 C.142 D.反思感悟求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a|2=a2，将向量模的运算转化为向量数量积的问题.(2)坐标表示下的运算：若a=(x，y)，则a·a=a2=|a|2=x2+y2，于是有|a|=x2跟踪训练2若向量a=(2x-1，3-x)，b=(1-x，2x-1)，则|a-b|的最小值为.三、平面向量的夹角、垂直问题设a，b都是非零向量，a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，θ是a与b的夹角.(1)cosθ=a·b|(2)a⊥b⇔.例3(1)已知a=(4，3)，b=(-1，2).①求a与b夹角的余弦值；②若(a-λb)⊥(2a+b)，求实数λ的值.(2)已知向量a=(-2，1)，b=(1，k)，且a与b的夹角为钝角，则实数k的取值范围是.反思感悟解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)求解方法：由cosθ=a·b|a||b|(2)注意事项：利用三角函数值cosθ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cosθ=a·b|a||b|判断θ的值时，要注意当cosθ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；当cosθ>0跟踪训练3(1)(2025·全国Ⅱ卷)已知平面向量a=(x，1)，b=(x-1，2x)，若a⊥(a-b)，则|a|=.(2)已知在△ABC中，A(2，-1)，B(3，2)，C(-3，-1)，AD为BC边上的高，则点D的坐标为，|AD|=.1.知识清单：(1)a·b=x1x2+y1y2.(2)|a|=x2(3)a⊥b⇔x1x2+y1y2=0(a，b为非零向量).(4)cosθ=a·b|a||b|=x1x2.方法归纳：化归与转化.3.常见误区：两向量夹角的余弦公式易记错.1.若a=(2，-3)，b=(x，2x)，且3a·b=4，则x等于()A.3 B.13 C.-13 D2.已知a=(-3，-1)，b=(1，3)，那么a，b的夹角θ等于()A.π6 B.π3 C.2π33.已知向量a=(1，n)，b=(-1，n)，若(2a-b)⊥b，则|a|等于()A.1 B.2 C.2 D.44.(2024·新课标全国Ⅰ)已知向量a=(0，1)，b=(2，x)，若b⊥(b-4a)，则x等于()A.-2 B.-1 C.1 D.2

答案精析问题1根据向量数量积的定义，易得i·i=1，j·j=1，i·j=0.∵a=x1i+y1j，b=x2i+y2j，∴a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1j·i+y1y2j2=x1x2+y1y2.知识梳理x1x2+y1y2例1(1)B(2)C跟踪训练1(1)C(2)A问题2a2=a·a=x1x1+y1y1=|a|2.知识梳理1.x2+y2x2.(例2(1)B(2)C跟踪训练22知识梳理(1)x(2)x1x2+y1y2=0例3(1)解①设a与b的夹角为θ，因为a·b=4×(-1)+3×2=2，|a|=42+|b|=(-1)2+所以cosθ=a·b|a||②方法一因为a-λb=(4+λ，3-2λ)，2a+b=(7，8)，且(a-λb)⊥(2a+b)，所以7(4+λ)+8(3-2λ)=0，解得λ=529方法二由题意得(a-λb)·(2a+b)=2a2+(1-2λ)a·b-λb2=0，所以50+2(1-2λ)-5λ=0，解得λ=529(2)