小学数学第六章　周末练1　范围：§6.1~§6.2

周末练1范围：§6.1~§6.2分值：90分一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.已知平面向量a，b，则“a=λbλ∈R”是“a，b共线A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.在正六边形ABCDEF中，AC等于A.2AB+AF B.AB+2AFC.AB-AF D.2AB+2AF3.若OA为单位向量，OA⊥AB，则OA·OA+A.-1 B.0 C.1 D.24.(2024·新课标全国Ⅱ)已知向量a，b满足|a|=1，|a+2b|=2，且(b-2a)⊥b，则|b|等于A.12 B.22 C.5.已知△ABC和点M满足MA+MB+MC=0，若存在实数λ使得AB+AC=λAM成立，则λ等于A.6 B.5 C.4 D.36.若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a=2e1+e2与b=-3e1+2e2的夹角为A.30° B.60° C.120° D.150°二、多项选择题(每小题6分，共18分)7.已知非零向量e1，e2，a，b满足a=2e1-e2，b=ke1+e2(k∈R)，则以下结论正确的是A.若e1与e2不共线，a与b共线，则k=-2B.若e1与e2不共线，a与b共线，则k=2C.存在k，使得a与b不共线，e1与e2共线D.不存在k，使得a与b不共线，e1与e2共线8.已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，|a+b|=2，则下列结论中正确的是A.a·b=-2 B.a⊥(a+2b)C.|a-b|=6 D.a与b的夹角为2π9.★★点O为△ABC所在平面内一点，且OA=OB+2OC，则下列选项正确的是A.AO=12ABB.直线AO必过BC边的中点C.S△AOB∶S△AOC=2∶1D.若|OB|=OC=1，且OB⊥OC，则OA·OB+三、填空题(每小题5分，共15分)10.在△ABC中，D是AB的中点，M是DC上一点，且满足5AM=AB+3AC，则△ABM与△ABC的面积比为.11.已知非零向量a，b，c满足a·b=a·c，a与c的夹角为2π3，|c|=2，则向量b在向量a上的投影向量的模为12.如图，在△ABC中，若AB=AC=3，cos∠BAC=12，DC=2BD，则AD·BC=四、解答题(共27分)13.(13分)如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE=23AD，AB=a，AC=(1)用a，b表示向量AD，AE，AF，BE，BF；(6分)(2)求证：B，E，F三点共线.(7分)14.(14分)已知|a|=2，|b|=1，a与b的夹角为45°.(1)若2a+3b与ta-b共线，求实数t的值；(4分)(2)求|a+2b|的值；(4分)(3)若向量2a-λb与λa-3b的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.(6分)

答案精析1.A2.A3.D4.B5.D6.C[由已知，e1·e2=|e1||e2|cos〈e1，e2〉=12所以(2e1+e2)·(-3e1+2e2)=-6e12+e1·e2+2e2|2e1+e2|=(2e4e12|-3e1+2e2|=(-3=9e12设向量a=2e1+e2与b=-3e1+2e2的夹角为α，则cosα=-727又0°≤α≤180°，所以α=120°.]7.AD8.BC9.ACD[对于A，由OA=OB+2OC，则OA=OA+AB+2OA+AC=3OA+AB+2则-2OA=2AO=AB+2AC，即AO=12AB+AC，故对于B，若直线AO过BC边的中点D，设AO=λAD，λ∈R，则AO=λAD=λ·1=λ2AB+λ2AC≠故B错误；对于C，由OA=OB+2OC，得OA-OB=BA=2OC，即AB∥OC，|AB|=2|OC|，则S△AOB∶S△AOC=|AB|∶|OC|=2∶1，故C正确；对于D，由OA=OB+2OC，|OB|=|OC|=1，且OB⊥OC，则OA·(OB+OC)=(OB+2OC)·(OB+OC)=|OB|2+3OB·OC+2|OC|2=12+0+2×12=3，故D正确.]10.3512.-3解析根据条件，得AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13(AC-AB)所以AD·BC=23AB+13AC=13AB·AC-2=13×3×3×12-23×9+=-3213.(1)解AD=12(AB=12(a+b)AE=23AD=13(a+AF=12AC=1BE=AE-AB=13(a+b)-=13(b-2a)BF=AF-AB=12b-=12(b-2a)(2)证明由(1)知BF=12(b-2a)BE=13(b-2a)∴BE=23BF，即BE与BF又BE，BF有公共点B，∴B，E，F三点共线.14.解(1)因为2a+3b与ta-b共线，所以存在实数m，使得2a+3b=m(ta-b)=mta-mb，所以mt=2,-所以实数t的值为-23(2)因为|a|=2，|b|=1，a与b的夹角为45°，所以a·b=|a||b|cos45°=2×1×22=1所以|a+2b|2=|a|2+4a·b+4|b|2=2+4+4=10，则|a+2b|=10.(3)由题意可得，(2a-λb)·(λa-3b)>0，且2a-λb与λa-3b不共线，当(2a-λb)·(