高阶线性微分方程

6.3高阶线性微分方程6.3.1高阶线性微分方程解的结构6.3.2常系数齐次线性微分方程6.3.3常系数非齐次线性微分方程6.3.4欧拉方程6.3.1高阶线性微分方程解的结构这里n≥2，pi(x)及f(x)在某区间I上连续。

n阶线性微分方程二阶线性微分方程二阶线性齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程1.相关概念2.二阶齐次线性微分方程解的结构:问题:例如，函数1，cos2x，sin2x在整个数轴上是线性相关的。因为取k1=1，

k2=k3=－1，就有恒等式

1－cos2x－sin2x≡0设y1(x)，

y2(x)

，…yn(x)为定义在区间I上的n个函数。如果存在n个不全为零的常数：k1,k2

，…kn，使得x∈I时有恒等式：k1y1+k2y2(x)…

+knyn≡0成立，那末称这n个函数在区间I上线性相关；否则称线性无关。

函数的线性相关、线性无关

又如，函数1，x，x2在任何区间(a，b)内是线性无关的。因为如果k1，k2，k3，不全为零，那末在该区间内至多只有两个x值能使二次三项式

k1+k2x+k3x2

为零；要使它恒等于零，必须k1，k2，k3全为零。特别地:对于两个函数y1(x)，y2

(x)，若

则y1，y2线性相关，否则线性无关。

对于n个函数，若则这n个函数线性相关，否则线性无关。

例如，对于函数1，x，x2，有

线性无关因此方程

y〞+y=0的通解为

y=C1cosx+C2

sinx。

例如例1

验证y1＝ex2及y2＝xex2都是方程y〞－4xy′+(4x2－2)y=0的解，并写出该方程的通解。解：检验略y＝(C1+C2x)ex23．非齐次线性微分方程解的结构

例如，方程y〞+y=x2是二阶非齐次线性微分方程。y=C1cosx+C2sinx+x2－2是所给方程的通解。

又容易验证y*=x2－2是所给方程的一个特解。因此已知y=C1cosx+C2sinx是对应的齐次方程y〞+y=0的通解；例2

验证（C1、C2是任意常数）是方程y〞－3y′+2y＝e5x的通解。解：先验y1＝ex、y2＝e2x是对应齐次方程

y〞－3y′+2y＝0的解，

是所给方程的一个特解，则…解的叠加原理非齐次线性微分方程的任意两个解的差是相应定理5的齐次线性微分方程的解例如对于对于是该方程的通解。所以是非齐次线性微分方程的特解。

例3

已知二阶非齐次线性方程的三个特解为求该方程满足的特解解都是对应的齐次方程的解且线性无关,从而齐次方程的进而非齐次的通解为由条件可得故所求的特解为注二阶线性微分方程解的结构可以推广到高阶。通解为：1.定义n阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式6.3.2二阶常系数齐次线性微分方程2.二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法将其代入上方程,得故有特征方程特征根

有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次线性方程的通解为特征根为

有两个相等的实根一特解为得齐次线性方程的通解为特征根为

有一对共轭复根重新组合得齐次线性方程的通解为特征根为综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程

y〞+py′+qy=0(1)的通解的步骤如下：

第一步

写出微分方程的特征方程

r2+pr+q=0。

第二步

求出特征方程的两个根r1，r2。

第三步

根据特征方程的两个根的不同情形，写出微分方程的通解。

定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.解特征方程为解得故所求通解为例1解特征方程为解得故所求通解为例2例3求微分方程y〞－2y′－3y=0的通解。

解特征方程为

r2－2r－3=0，

其根r1=－1，r2=3是两个不相等的实根，因此所求通解为

例4求方程解：特征方程为

r2+2r+1=0，

其根r1=r2=－1是两个相等的实根，因此所求微分方程的通解为

满足初始条件s|t=0=4，s′|t=0=－2的特解。将条件s|t=0=4代入通解，得C1=4，从而

将上式对t求导，得

再把条件s′|t=0=－2代入上式，得C2=2。

于是所求特解为

例5已知y=xex是某二阶常系数齐次线性微分方程的一个解，求此微分方程。解：由题设知r＝1是特征方程的二重根，即r2－2r+1=0所求的微分方程为y〞－2y′+y=0

所以特征方程为(r－1)2=0特征方程的根微分方程的解(2)一对单复根(4)一对k重复根(3)k重实根r(1)单实根r对应一个解：对应两个解：给出k个解：给出2k个解：3.n阶常系数齐次线性方程解法特征方程为注意n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着一个特解,且这n个解线性无关，从而原方程的通解为：特征根为解特征方程为例6故所求通解为解：这里的特征方程为r4－6r3+12r2=0，即它的根是r1=0和因此所给微分方程的通解为例7求解方程例8为特解的4阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.解:

根据给定的特解知特征方程有根:因此特征方程为即故所求方程为其通解为

微分方程第一次习题课一、内容与要求

1．掌握微分方程的基本概念

微分方程微分方程的阶微分方程的通解微分方程的特解微分方程的初始条件初值问题

2．掌握一阶微分方程的解法(1)可分离变量的微分方程解法分离变量法(2)齐次方程解法作变量代换(3)一阶线性微分方程

y′+P(x)y=Q(x)(4)伯努利方程

y′+P(x)y=Q(x)yn

(n≠0，1)令z=y1－n而将原方程化为一阶线性微分方程:

(5)通过适当的变换可化为上述几类方程中的某一类的一阶微分方程

3．掌握可降阶的高阶微分方程

解法

型接连积分n次，得通解．

型特点解法代入原方程,得特点

型解法代入原方程,得二、典型例题例1填空1)求2)求4)求3)求6)求

例2解下列方程解：变形

分离变量积分得

方程通解为1)求(C=－6C1)例2解下列方程2).解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(C

为任意常数

)解：

——一阶线性微分方程

3)求解1整理得A常数变易法:B公式法:4)

解法一：齐次方程（略）

解法二：——伯努利方程

令z=x3，所以原方程的通解为x3=Cy3+3y3lny由初始条件得C2=1特解为y-2ln|y|=x+1例3设当x>0时，曲线y=f(x)上任一点(x，f(x))处的切线在y轴上的截距等于解：曲线上任意点(x，f(x))处的切线方程为Y－f(x)=f′(x)(X－x)令X=0，得截距Y=f(x)－xf′(x)由题设有即

上式两端对求导得

f(x)=xf′(x)+f(x)

－2xf′(x)－x2f〞(x)求f(x)整理得xf〞(x)+f′(x)=0，即有

(xf′(x))′=0所以f(x)=C1

lnx+C2

说明：不含初始条件为曲边的曲边梯形面积上述两直线与x

轴围成的三角形面例4二阶可导,且上任一点P(x,y)

作该曲线的切线及x轴的垂线,区间[0,x]上以解:于是在点P(x,y)处的切线倾角为

,积记为(99考研)再利用y(0)=1得利用得两边对x

求导,