湖南省永州市部分学校2026年中考二模数学试卷

湖南省永州市部分学校2026年中考二模数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某玩具店某天收入500元记作“+500元”，那么支出237元记作（）A．-237元 B．+237元 C．-500元 D．-263元2．以下是历届冬奥会会标中的部分图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B．C． D．3．下列计算正确的是（）A．2+3=5 B．22−4．从2026年起，湖南体育中考测试项目增加了游泳等选考项目，如图是甲、乙、丙、丁四位同学在某次游泳比赛中各轮成绩的折线图，其中方差最小的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁5．计算2aA．2a6 B．8a2 C．8a6 D．6a26．下列命题中，正确的是（）A．若a>b，那么aB．相似三角形对应边上的高的比等于相似比C．矩形的对角线互相垂直D．在反比例函数y=17．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是直径，延长AD与BC相交于点E，连接OD，若AB=BC，∠COD=42°，则∠DCE的度数为（）A．24° B．38° C．42° D．66°8．如图1是一台可调节温度的“火箱”，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现控温.如图2是该“火箱”的电流I（A)与电阻R（Ω)成反比例函数的图象，该图象经过点M（200，1.1).根据图象可知，下列说法错误的是（）图1图2A．I与R的函数关系式是I=B．当电阻R从200Ω调节到400Ω时，电流减少了0.55AC．当10<R<110时，I的取值范围是2<I<22D．已知该“火箱”的发热功率P（W)为P=I9．我国古代数学家刘徽在注释《九章算术》时，常用“出入相补”原理（即割补法)来证明几何图形的面积关系.如图，将图1大正方形中的阴影部分拼成图2的矩形，这个过程可以直观验证的公式是（）图1图2A．a+2b2−a+bC．a−2b2=a10．如图，在▱ABCD中，∠B=60°，AB=3，分别以点A，B为圆心，以大于12A．6 B．32 C．33 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11．写出一个小于2的正无理数.12．分式方程2x−2=113．在密室逃脱游戏中，玩家需要打开一个宝箱获取线索.宝箱内有6张除数字外其余均相同的密码卡片（分别标有数字1，2，3，4，5，6).玩家从宝箱中随机取出一张密码卡片，若取出的卡片上的数字是偶数时能打开密室大门，则玩家一次成功打开大门的概率为.14．如图1是一个用于野营的竹节灯笼帐篷，其内部是一个由牛津布制作的无底圆锥，展开为如图2所示的扇形，已知圆锥母线长度为3米，扇形圆心角为240°，则这个牛津布的面积是平方米.（结果保留π)图1图215．唐代数学家王孝通所撰《缉古算经》记载了古人“筑龙尾堤”.堤截面为如图所示的等腰梯形，原文记“堤头上下广差六尺”（古算称梯形上下边为“上广”“下广”)，即该堤截面的“上广”比“下广”多6尺.已知该堤的深度为4尺，则该龙尾堤截面的一侧斜高（即等腰梯形腰长)为尺.16．定义：对于平面内一点PxPyP及其关于直线l的对称点.P'xP'yP,（1）h（C，OO')的值为；（2）PQQD⋅CM三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．计算：−18．先化简，再求值：x2x19．某校音乐组在全校范围内随机抽取了部分学生进行了“我最喜欢的音乐类型”问卷调查（每人限选一种)，并对数据进行了整理、描述和分析，部分信息如下：抽取学生的“我最喜欢的音乐类型”人数统计表音乐类型人数/（人)频率古典音乐80.1民族音乐12n流行音乐320.4摇滚/电子m0.25其他80.1抽取学生的“我最喜欢的音乐类型”人数条形统计图根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：表中m=，n=；（2）补全条形统计图；（3）若该校共有3000名学生，试估计全校喜欢“传统类音乐”（古典音乐和民族音乐)的学生总人数；（4）根据调查结果，请为学校开展音乐文化活动提出一条合理化建议，并说明理由.20．某特色民宿计划采购A，B两种规格的织锦用于客房装饰.已知采购2幅A型织锦和3幅B型织锦共需费用3800元，采购3幅A型织锦和2幅B型织锦共需费用3700元.（1）求每幅A型，B型织锦的采购单价各是多少元?（2）该民宿计划采购A，B两种规格织锦共50幅，且A型织锦的数量不超过B型织锦数量的2321．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，BC，过点C作⊙O的切线l，过点A作l的垂线交l于点D.（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AD=3，CD=4，求BC的长.22．电力部门工作人员在某处铺设电力线路过程中，会使用简易绞盘将沉重的混泥土电线杆立起来.作业准备过程中，先将绞盘P固定在地面上，电线杆MN的底端M与三角形土坑ABC的点B重合（连接AC，三角形土坑ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°)，如图1.在立杆作业时，让绞盘转动，这样系在电线杆顶端的钢丝绳PN就不断地缠绕在轴上，电线杆被逐渐拉起并最终竖直立好，如图2.已知电线杆MN的长度为12米，绞盘P与点A的距离为（62米，十坑的深度AB=（1）求作业准备过程中电线杆露出地面部分的长度CN及钢丝组的长度PN；（2）在电线杆竖直立好后，需用专用钢索QN对电线杆进行固定.为节省开支，工作人员计划重复利用绞盘固定点，即钢索地面固定点Q与点P重合，如图2.若钢索与地面的夹角θ（∠NQA)要满足4523．如图，抛物线y=ax2+bx−2（1）求抛物线的表达式；（2）求证：PE·AQ=PD·FQ；（3）设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n.①当m=2时，求出此时点Q的坐标；②连接PF，在点P的运动过程中，△APF的面积S是否存在最大值?若存在，求出S取最大值时m，n的值；若不存在，请说明理由.24．在矩形ABCD中，E是直线BC上一动点，连接AE，将AE绕点A顺时针旋转90°得到AF，连接EF，取EF的中点M，连接DM，AM.提示：按照设问条件补全图形，并解答.（1）问题初探：如图1，当AB=BC时：①连接DF，求证：DF=BE；②当点E在边BC上运动时（不与点B，C重合)，∠ADM的大小会改变吗?若会改变，请说明理由；若不改变，请直接写出∠ADM的度数；（2）深入探究：当AB≠BC时：①如图2，若ABBC=4②如图3，若BC=2AB，当MD⊥AD时，（2）①中结论还成立吗?若成立，请说明理由；若不成立，请求出CEBE（3）拓展探究：如图4，在菱形ABCD中，∠B=120°，E是直线BC上一动点，连接AE，将AE绕点A顺时针旋转60°得到AF，连接EF，取EF的中点M，连接DM，AM，当MD⊥AD时，求CEBE

答案解析部分1．【答案】A2．【答案】B3．【答案】D4．【答案】B5．【答案】C6．【答案】B7．【答案】D8．【答案】D9．【答案】A10．【答案】C11．【答案】2（答案不唯一）12．【答案】x=813．【答案】114．【答案】6π15．【答案】516．【答案】（1）12（2）32017．【答案】解：原式=−3+=18．【答案】解：原式===当x=2−319．【答案】（1）20；0.15（2）解：补全条形统计图如解图（3）解：“传统类音乐”(古典音乐和民族音乐)频率为0.1+0.15=0.25，全校3000名学生中，估计人数为3000×0.25=750(人)，答：估计全校喜欢“传统类音乐”(古典音乐和民族音乐)的学生总人数为750人；（4）解：合理化建议：学校多开展流行音乐相关文化活动，理由如下：抽样中喜欢流行音乐的学生占比0.4，为所有类型中最高，符合多数学生的审美偏好.(言之合理即可)20．【答案】（1）解：设每幅A型织锦x元，每幅B型织锦y元，根据题意，得2x+3y=3800,解得x=700,答：每幅A型织锦700元，每幅B型织锦800元（2）解：设采购A型织锦a幅，则采购B型织锦(50-a)幅，总费用W元，根据题意，得a≤2W=700a+800(50-a)=-100a+40000，∵-100<0，∴W随a的增大而减小，∴当a=20时，W取最小值，W最小=-100×20+40000=38000，此时50-a=30，答：采购A型织锦20幅、B型织锦30幅时总费用最低，最低费用为38000元21．【答案】（1）证明：如图，连接OC，∵l为⊙O的切线，OC为⊙O的半径，∴OC⊥l，∵AD⊥l，∴OC∥AD，∴∠DAC=∠ACO，∵OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∴∠DAC=∠CAO，∴AC平分∠DAB（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AD⊥l，∴∠ADC=∠ACB=90°，∵AD=3，CD=4，∴在Rt△ADC中，根据勾股定理，得AC=由(1)可知，∠DAC=∠CAB，∴△ADC∽△ACB，∴即3∴BC=22．【答案】（1）解：如解图，过点N作水平面的垂线，垂足为H，∵在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=2米，∴∠BCA=45°，AC=2米，BC=2米，∴∠NCH=45°，CN=MN-BC=12-2=10(米)，∴△NHC为等腰直角三角形，∴CH=NH=52米，∵PA=62米，∴PH=PA+AC+CH=62在Rt△NHP中，根据勾股定理，得PN=P答：作业准备过程中电线杆露出地面部分的长度CN为10米，钢丝绳的长度PN为132米（2）解：由题图2可知，在Rt△NAQ中，NA=MN-AB=(12-2)米，QA=62米，当∠NQA=45°时，NA=QA=62当∠NQA=60°时，NA=3∵12−12−∴6∴45°<θ<60°，答：QN满足要求.23．【答案】（1）解：∵抛物线经过点A(-1，0)，B(4，0)，∴将A，B两点坐标分别代入y=ax得a−b−2=0,解得a=∴抛物线的表达式为y=（2）证明：∵PE∥x轴，∴PE⊥y轴，∠DPE=∠DAO，∴∠PED=90°，∴∠PDE+∠DPE=90°，∵AQ⊥AP，∴∠QAF+∠DAO=90°，∴∠QAF=∠PDE，∵QF∥y轴，∴QF⊥x轴，∴∠QFA=90°，∴∠QFA=∠PED，∴△QFA∽△PED，∴∴PE·AQ=PD·FQ（3）解：①∵点P的横坐标m=2，PE⊥y轴于点E，∴PE=2，将x=2代入y=1得yp=-3，∴点P的坐标为(2，-3)，即OE=3，设直线AP的表达式为y=kx+d(k≠0)，将点A(-1，0)，P(2，-3)分别代入，得−k+d=0,解得k=−1,∴直线AP的表达式为y=-x-1，则点D的坐标为(0，-1)，即OD=1，∴DE=OE-OD=2=PE，∴∠QAF=∠PDE=45°，∴QF=AF，∵点Q的横坐标为n，∴QF=∣∴12n2∴点Q的坐标为(6，7)②解：存在，理由如下：由题意可知，点P坐标为(m,12m2设直线AP的解析式为y=kx+b，将A(−1,0)代入可得将P(m,可得km+k=1即k(m+1)=1解得k=1则直线AP的解析式为y=1∵当x=0，y=1∴点D的坐标为(0,∴DE=1∵由（2）可知，△AQF∽△DPE，∴QF∵AF=n+1，QF=1∴12n∴n=−4∴AF=n+1=−4∴S=−1∵−5∴当m=−1942×(−54故S存在最大值，此时m=1910，24．【答案】（1）解：①证明：∵在矩形ABCD中，AB=BC，∴矩形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠B=∠BAD=90°，∴∠BAE+∠EAD=90°，∵由旋转可知∠EAF=90°，AE=AF，∴∠DAF+∠EAD=90°，∴∠BAE=∠DAF，∴△BAE≌△DAF，∴DF=BE；②解：不改变，∠ADM的度数恒为45°（2）解：①12；

②依题意作图如图2，当MD⊥AD时，此时点M落在CD的延长线上，图2∵BC=2AB，∴设AB=CD=y，BC=AD=2y，∵MD⊥AD，∴∠ADM=∠MCE=90°，∴∠MAD+∠AMD=90°，由(2)①同理得∠CME+∠AMD=90°，EM=MA，∴∠MAD=∠CME，∴△CME≌△DAM，∴CM=AD=2y，CE=DM，∴CE=DM=2y-y=y，∴BE=2y+y=3y，⋅（3）解：依题意作图如图3，延长DM交BC于点G，过点A作AH⊥CB交CB的延长线于点H，则∠H=90°，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥CB，