河北雄安容西容兴高级中学2026届高三下学期考前适应性训练（一）数学试题 含答案

/数学考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（）A. B. C. D.2.已知（其中为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（）A.-2 B.-1 C.2 D.33.已知函数为奇函数，则（）A. B. C. D.4.已知圆台的高为，侧面积为，下底面半径是上底面半径的2倍，则该圆台的体积为（）A. B. C. D.5.某党校派了名讲师到个单位去讲党课，每个单位只能安排一位讲师授课，而每位讲师至少要去一个单位且至多只能去两个单位，则不同的选派方法的种数为（）A. B. C. D.6.已知椭圆的左、右焦点分别为分别为椭圆的左、右顶点，直线过与椭圆交于两点（不同于点），的周长为，直线与的斜率分别为，且，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.7.早在西周时期，中国就有对勾股定理探讨的实例，数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.“勾股弦”指的是直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为c.如图，已知在长方形中，满足“勾3股4弦5”，为上一点，且，则向量可用向量表示为（）A. B.C. D.8.已知为圆上的不同两点，过两点分别作圆的切线，且两切线的交点在直线上，则的最小值为（）A. B.4 C.6 D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.B.若，则“”是“”的充要条件C.的最小值为3D.若，则10.在中，角所对的边分别为a,b,A.B.若，则符合条件的三角形有两个C.D.cosCcos11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数的极大值为B.函数的极小值为C.直线是函数图象的一条切线D.若关于的不等式有唯一的整数解，则实数的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数fx=log13.在期中考试后，某小学五年级统计了学生的数学成绩（），将所有学生的数学成绩按40,50,14.已知函数fx=sinxcosx+3cos四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列满足，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.16.如图，在直三棱柱中，，，，是线段上的一个动点，分别是线段的中点.（1）若平面平面，求证：；（2）若，求二面角的大小.17.已知双曲线的左、右焦点分别为，直线过点且与双曲线交于第一象限的点.（1）若直线与双曲线的左半支交于点，，且，求实数的值；（2）若点的横坐标为，且满足，证明：直线的斜率为定值.18.已知函数的定义域为.（1）求函数的值域；（2）若不等式exx−λln19.当下有许多人喜欢以爬山作为锻炼身体的运动方式，有一座山，上山有①②两条路径.（1）小李、小王、小张三人经常组队去爬这座山锻炼身体，三人选择①路径爬山的概率分别为，求小李、小王、小张三人中恰有两人选择②路径爬山的概率.（2）若小刘决定连续两天去爬山，事件“小刘第一天选择①路径爬山”，“小刘第二天选择②路径爬山”，且.若小刘第一天选择①路径爬山，第二天仍选择①路径爬山的概率为；若小刘第一天选择②路径爬山，则第二天选择①路径爬山的概率为.求.（3）有一支登山队，经过一段时间的爬山锻炼后，可对每人的登山速度的提高做出评定为“有效”和“无效”.在对全体登山队员的登山速度的提高做出评定后，从中随机抽取一人，登山速度的提高为“有效”的概率为0.88.现从全体登山队员中随机抽取一人，若此人登山速度的提高为“有效”，则继续抽取下一人，直到抽取到登山速度的提高为“无效”的人为止.若抽取的次数为，且（且），求的最大值.（参考数据：）

数学考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：解不等式确定集合，再由交集定义计算．解答过程：，又，所以，故选：D．2.已知（其中为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（）A.-2 B.-1 C.2 D.3答案：C解析：解答过程：，是纯虚数，，.3.已知函数为奇函数，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由函数fx=x即，解得，因此，所以f6=4.已知圆台的高为，侧面积为，下底面半径是上底面半径的2倍，则该圆台的体积为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：设圆台的母线长为，上底面的半径为，则下底面的半径为.因为圆台的侧面积为，所以πr+2rl又l2=r则上底面和下底面的面积分别为πr则该圆台的体积为1535.某党校派了名讲师到个单位去讲党课，每个单位只能安排一位讲师授课，而每位讲师至少要去一个单位且至多只能去两个单位，则不同的选派方法的种数为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由题意知，必有一位讲师去两个单位，另外两个单位各去一位讲师.第一步：先将个单位按分成三组，共有C42C第二步：再把三名讲师分配到三个小组，有种分配方法，故共有种选派方法.6.已知椭圆的左、右焦点分别为分别为椭圆的左、右顶点，直线过与椭圆交于两点（不同于点），的周长为，直线与的斜率分别为，且，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：的周长为43，则，.设点Px0,，整理得y02=−23∴c=32−27.早在西周时期，中国就有对勾股定理探讨的实例，数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.“勾股弦”指的是直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为c.如图，已知在长方形中，满足“勾3股4弦5”，为上一点，且，则向量可用向量表示为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：先建立平面直角坐标系，再结合，计算得出，结合向量的坐标运算求解.解答过程：以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系.∵AD设AP⃗∴AP⋅DB设，则0,3=x∴94x8.已知为圆上的不同两点，过两点分别作圆的切线，且两切线的交点在直线上，则的最小值为（）A. B.4 C.6 D.答案：B解析：思路：由题意可得当的值最小，即时，取得最小值.解答过程：圆，圆心，半径是圆的两条切线，，由圆的知识可知四点共圆，且，.又当的值最小，即时，取得最小值.的最小值为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.B.若，则“”是“”的充要条件C.的最小值为3D.若，则答案：AC解析：思路：利用存在量词命题的定义判断A；利用充要条件的定义判断B；利用基本不等式求出最小值判断C；利用不等式的性质判断D.解答过程：对于A，解不等式，得，因此，A正确；对于B，当时，或，即能推出，但不能推出，因此“”是“”的充分不必要条件，B错误；对于C，x2当且仅当，即时取等号，因此x2+9对于D，，当c2−1<0时，，D错误.10.在中，角所对的边分别为a,b,A.B.若，则符合条件的三角形有两个C.D.cosCcos答案：ACD解析：思路：代入余弦定理计算判断A；利用正弦定理判断B；利用余弦定理及基本不等式判断C；先利用两角和余弦公式得，然后利用正切函数性质求解即可判断D.解答过程：A，由余弦定理，得，故A正确.B，由正弦定理得，，解得，故符合条件的三角形不存在，故B错误.C，由余弦定理得，即，，当且仅当时，等号成立，故C正确.D，cosC且，∴tan∴3即cosC11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数的极大值为B.函数的极小值为C.直线是函数图象的一条切线D.若关于的不等式有唯一的整数解，则实数的取值范围是答案：ACD解析：思路：求出的定义域和，对于AB，利用导数法得到的单调性，结合单调性得到的极值，从而得到结论.对于C，设切点为，利用导数的几何意义求出切线的斜率和切点的坐标，利用点斜式得到切线方程.对于D，利用的单调性和极值，结合图像求解.解答过程：的定义域为.对于AB，当时，在上单调递增；当时，，在上单调递减.在定义域内只有极大值，没有极小值，极大值为，故A正确，B错误.对于C，设切点为，显然，是方程的一个根，切点为切线方程为，即，故C正确.对于D在上单调递增，在上单调递减，且在定义域内有极大值，又，即由此作出函数的大致图象，如图.不等式有唯一的整数解，，即，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数fx=log答案：3解析：思路：根据分段函数的解析式分别代入计算即可得出结果.解答过程：∵f13.在期中考试后，某小学五年级统计了学生的数学成绩（），将所有学生的数学成绩按40,50,答案：解析：解答过程：设该校五年级学生期中考试的数学成绩的中位数的估计值为.第一组、第二组、第三组数据的频率之和为，第一组、第二组、第三组、第四组数据的频率之和为，所以.由，解得.14.已知函数fx=sinxcosx+3cos答案：##解析：思路：利用三角恒等变换可得，结合函数对称性分析可知，代入即可得结果.解答过程：由题意可知：f=1时，0≤2x+而，，，可知是函数相邻最近的两个零点，且是函数的对称轴，若x1,x2∈−π所以fx四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列满足，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.答案：（1）（2）解析：思路：（1）分析可知数列是首项为1，公比为3的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解；（2）可得，结合等差数列求和公式运算求解.（1）因为，则，即，且，可知数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以.（2）因为，则，可得数列为等差数列，所以数列的前项和.16.如图，在直三棱柱中，，，，是线段上的一个动点，分别是线段的中点.（1）若平面平面，求证：；（2）若，求二面角的大小.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）先应用线面平行判定定理证明平面，再应用线面平行性质定理证明；（2）建立空间直角坐标系，再分别求出平面的法向量和平面的一个法向量，再应用二面角余弦公式计算求解.（1）分别是线段的中点，.在三棱柱中，四边形为平行四边形，则.又平面平面，平面.平面，平面平面，.（2）平面平面.又两两相互垂直.以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，.设平面的法向量为，则令，则，得.平面的一个法向量为.设二面角的大小为，则.由题图可知，为钝角，则二面角的大小为.17.已知双曲线的左、右焦点分别为，直线过点且与双曲线交于第一象限的点.（1）若直线与双曲线的左半支交于点，，且，求实数的值；（2）若点的横坐标为，且满足，证明：直线的斜率为定值.答案：（1）（2）证明见解析解析：思路：（1）利用双曲线的定义求出，再在中由余弦定理即可求出；（2）方法一：设，与双曲线方程联立，将代入方程中化简即可；方法二：求出点坐标，再化简直线的斜率即可.（1）点在双曲线右支上，，由，得PF1−又直线与双曲线的左半支交于点，所以，得，在中由余弦定理得cos∠，整理得，解得或（舍去）.实数的值为.（2）方法一：设直线的斜率为，则直线，联立x2a2因为点的横坐标为，所以恰是该方程的解，∴b整理得，即.又，所以，直线过点且与双曲线交于第一象限的点，，即直线的斜率为定值.方法二：点的横坐标为，在第一象限，且在双曲线上，，解得，故，因为直线过点，所以直线的斜率为.因为，所以直线的斜率为，即直线的斜率为定值.18.已知函数的定义域为.（1）求函数的值域；（2）若不等式exx−λln答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用导数求出函数在上的最小值，从而得到值域；（2）设，将原不等式转化为关于的恒成立问题，进一步转化为函数最值问题求解.（1）由f＇x=exx＇=ex所以函数在上单调递减，在上单调递增，故当时取得最小值，且.又因为当且时，；当时，，所以函数的值域为.（2）设由第（1）问可知，.原不等式可化为.再设则由可得，且.于是原不等式可化为.即，对一切恒成立.设，其中，的最大值等于函数在区间上的最小值.由φ＇设，则所以在上单调递增.又因为，所以当时，，从而；当时，，从而.故函数在处取得最小值，且.因此，实数的最大值为.19.当下有许多人喜欢以爬山作为锻炼身体的运动方式，有一座山，上山有①②两条路