河南省普通高中2026届高三下学期春期期中联考数学试题 含答案

/河南周口市天立高级中学等普通高中2026届高三年级下学期期中联考数学试卷一、单选题1．已知集合，，若，则实数的所有取值之和为（

）A．2 B． C．4 D．2．复数的虚部为（

）．A． B． C．1 D．23．设，是一个随机实验中的两个事件，若，，则（

）A． B． C． D．4．定义在上的函数，对任意实数都有，．若，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．5．已知圆，圆沿着圆内部边缘滚动，点，在圆上，且连线经过圆心，若圆的半径为1，则（

）A． B． C．3 D．46．若双曲线：的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．7．若函数在内不单调，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．8．已知三棱锥的各顶点均在表面积为的球的表面上，且，，则三棱锥体积的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．为了研究某款新上市智能手环的直播间展示时长（单位：分钟）与即时下单量（单位：件）之间的关系，某电商平台随机记录了5场直播带货的数据，如下表所示：直播间展示时长12345即时下单量1218253034若与的经验回归方程为，样本相关系数为，则（

）A．B．回归直线过点C．D．当直播间展示时长为10分钟时，即时下单量的值估计为6310．已知双曲线：的渐近线与圆：相切，记的左、右焦点分别为，，为上一点，且，与圆交于，两点，则（

）A．的离心率为2 B．的渐近线方程为C． D．若，则11．已知数列的前项和为，若，，则（

）A． B．数列为递减数列C．任意， D．任意，三、填空题12．若，则___________．13．若“”是假命题，则的取值范围为__________．14．某校数学教师命制一张试卷，试卷要求考查函数、几何、概率统计三个板块内容，其中函数题3道、几何题2道、概率统计题2道，且同板块试题难度互不相同．现要求同一板块的试题不相邻且难度从易到难，则该试卷不同的排版方案有___________种（用数字作答）．四、解答题15．已知是数列的前项和，，.(1)求的通项公式；(2)若数列的前项和为，证明.16．如图，四棱锥中，底面，，.(1)求平面与平面所成角的余弦值；(2)已知，分别为线段，上的动点，是否存在这样的点，，使得，，，四点共面、且该平面与平面垂直？若存在，请确定点，的位置；若不存在，请说明理由.17．为响应“书香校园”建设，某校图书馆引入了一套智慧自助借还系统M，该系统内置个智能识别模块.每个模块在日常使用环境下正常工作的概率为，各模块工作状态相互独立.(1)该图书馆从某批次智能识别模块中随机抽取了100个，在“日常校园环境”和“高温潮湿仓库环境”下测试其工作状态，得到如下列联表：正常工作故障合计日常校园环境50555高温潮湿仓库环境351045合计8515100请根据小概率值独立性检验，能否认为模块工作状态与测试环境有关联？附：，.0.050.010.001k3.8416.63510.828(2)当时，系统M中正常工作的模块个数为随机变量X，回答以下问题：（i）求X的分布列及数学期望；（ii）若有超过一半的模块正常工作，则系统正常工作，系统正常工作的概率称为系统的可靠性.为改善时系统M的可靠性，能否通过增加一个智能识别模块（即）提高系统M的可靠性？请给出你的结论并证明.18．已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论的单调性；(3)若有极小值，且，求a的取值范围.19．已知为坐标原点，点是焦距为的双曲线上的三个点，分别是线段的中点，是的两条互相垂直的渐近线.(1)求双曲线的方程；(2)若直线与分别交于和，求证：；(3)判断的外接圆是否过定点；若是，请写出定点坐标并证明；若否，请说明理由.答案及解析1．A解析：已知集合，，，则或.若，因式分解为，解得或.两种解都满足集合元素互异性.若，整理得，判别式，无实数解.故实数的所有取值之和为.2．A解析：由复数的运算法则，可得，所以复数的虚部为．3．C解析：因为，所以.又，且，所以，.4．A解析：由可知,设，则所以，函数最小正周期为3，由可得，设(C为常数)，则，那么，在上单调递增，，，由可得，，即，又在上单调递增所以，，故选A.5．C解析：圆的标准形式为，，即圆心的轨迹是以为圆心，半径是2的圆，已知，点，在圆上，且连线经过圆心，则是圆的直径，则，，．6．A解析：依题意，，则，即，即，解得，故所求渐近线方程为．7．D解析：，当时，，则函数在内单调递减，不满足条件，当时，令,则．所以在内单调递增，要使函数在内不单调，∴在上有变号零点，又，故只需．∴.8．A解析：设球的半径为，所以，解得，故，又，所以，所以，设的中点为，则是外接圆的圆心，则平面，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，设点，因为，所以，即，两式相减解得，代回上式可得，所以，即，又平面的一个法向量为，所以点到平面的距离为，所以点到平面的最大距离为，所以三棱锥体积的最大值为.9．ACD解析：对于A，由数据可知，即时下单量随着直播间展示时长的增大而增大，因此直播间展示时长与即时下单量为正相关，即样本相关系数，故A正确；对于B，由数据可知，，，则回归直线过中心点，不过点，故B错误；对于C，将点代入，可得，解得，故C正确；对于D，由C知，与的经验回归方程为，则时，，故D正确.10．ABD解析：双曲线：的渐近线方程为，即.圆：的圆心为，半径为.由题意得，圆心到渐近线的距离，即，所以.对于A：，故A正确.对于B：，所以渐近线方程为，故B正确.对于C：，，因为，所以点的横坐标为，代入双曲线方程，解得.取，则，，所以，故C错误.对于D：若，则，，，，.直线方程为，即.圆心到直线的距离，由垂径定理可得，，故D正确.11．ABD解析：对于A，，，，故A正确；对于B，，当时，若，则或，令，即，因为，故方程无解，即，当时，或，而，以此类推，或，又，所以，所以，所以，所以数列为递减数列，故B正确；对于C，，所以，故C错误；对于D，因为数列为递减数列，故，由可得，即，由，两边同时除以得，即，所以当时，，，，，上式累加得，即，又，所以，当时，，此时，综上，，故D正确.12．解析：由题意得：令，得，令，得，令，得，所以，所以.13．解析：由于“”是假命题，则有对任意恒成立，由于时，，因此，又因为当时，，且在内可无限趋近，为满足恒成立，故的取值范围是.14．38解析：用表示三道函数题且难度从易到难，用表示两道几何题且难度从易到难，用表示两道概率统计题且难度从易到难，先排几何题与概率统计题，则有①或、②或、③或这三类不同情况，针对情况①：之间与之间必须插入一道函数题，则剩余的道函数题有个位置可选，共有种情况；针对情况②：再插入三道函数题，共有种情况；针对情况③：则之间或之间必须插入一道函数题，共有种情况；综上，共有种不同情况.15．(1)(2)证明见解析解析：（1）当时，，，，又，；，即，；则当为奇数时，；当为偶数时，；.（2）由（1）得：，，，，.16．(1)(2)存在，点位于线段上的中点、点位于线段上靠近点的三等分点．解析：（1）方法一：因为，所以，即因为平面平面，所以，又因为平面平面，所以平面，因为平面，所以，所以为平面与平面所成的角，因为，所以，即平面与平面所成角的余弦值为；方法二：以为坐标原点，建立空间直角坐标系如下图所示，由已知，，则，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，所以，因为底面，所以平面的法向量为，因此平面与平面所成角的余弦值为；（2）方法一：取线段上的中点，因为，所以，由（1）可知平面平面，所以，又因为平面平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，延长、交于点，连接，并延长交线段于点，则，，，四点共面，过点作，交延长线于点，因为，所以①因为，，所以，同理可得，所以，，故，所以是的中点，因为，所以②联立①②可得，即，所以存在这样的点，满足题意，此时点位于线段上的中点、点位于线段上靠近点的三等分点．方法二：取线段上的中点，因为，所以，由（1）可知平面平面，所以，又因为平面平面PBC，所以平面，因为平面，所以平面平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如下图所示，，假设存在这样的点，使得，，，四点共面，不妨设（其中），则，因为存在唯一的有序实数对，使得，所以，解得，此时，所以存在这样的点，满足题意，此时点位于线段上的中点、点位于线段上靠近点的三等分点．方法三：以为坐标原点，建立空间直角坐标系如下图所示，，假设存在这样的点，，不妨设（其中），（其中），则设平面的法向量为，则，即，令，则，所以，因为平面与平面垂直，由（1）可得平面的法向量为由，可得，此时，又因为，，，四点共面，所以存在唯一的有序实数对，使得，即，解得，此时，所以存在这样的点，满足题意，此时点位于线段上的中点、点位于线段上靠近点的三等分点．17．(1)不能认为有关联(2)（i）分布列见解析，3（ii）能，证明见解析解析：（1）零假设为：模块工作状态与测试环境无关联.根据列联表中数据，得，所以依据小概率值的独立性检验，我们推断成立，可以认为模块工作状态与测试环境无关联.（2）①由题意可知，（法一）的分布列为，.（法二），，，，，则的分布列如下：01234.②当时记系统中正常工作的模块数为随机变量，则，记时系统的可靠性为，记时系统的可靠性为.故，，故，故增加一个模块即，能提高系统的可靠性.18．(1)(2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增(3)解析：（1）当时，，所以所以切线方程为即，（2），若，可得时，，所以在上单调递增；若时，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增；综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（3）由（2）可知当时，有极小值，极小值为，此时极小值也是最小值，由，可得，，又，所以令，求导得，所以在上单调递减，又，当时，，当时，，所以时，，此时满足，所以a的取值范围19．(1)(2)证明见详解(3)外接圆过定点，证明见详解解析：（1）双曲线的渐近线方程为，由题意两条渐近线互相垂直，因此斜率乘积为：，已知双曲线焦距，故，又双曲线满足，代入得：，因此双曲线的方程为.（2