陕西汉中市镇巴中学等校2025-2026学年高二下学期质量检测数学试卷（二）（含答案）

/2025～2026学年第二学期高二质量检测卷（二）数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，请将答题卡上交．4．本卷主要命题范围：北师大版选择性必修第一册第六章、第七章，选择性必修第二册第一章～第二章2.5．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数在区间上的平均变化率是（）A.2 B.4 C. D.【正确答案】B【分析】根据平均变化率的计算公式求得正确答案.【详解】函数在区间上的平均变化率是.2.在等差数列中，若，，则公差（）A. B.1 C. D.2【正确答案】A【分析】根据等差数列的知识求得正确答案.【详解】由等差数列的通项公式知．故选：A3.设，若，则（）A.4 B. C.3 D.【正确答案】A【分析】先对函数求导，再根据列方程求解即可.【详解】因为，所以，则，解得.4.一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为，（的单位：m，的单位：s），则时的瞬时速度为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】利用导数的物理意义，结合物理相关知识即可得解.【详解】因为st=2t则时的瞬时速度为s'45.已知函数，则（）A. B.2 C.3 D.6【正确答案】D【详解】，由可得．6.在递增等比数列中，其前项和为，且是和的等差中项，则（）A.28 B.20 C.18 D.12【正确答案】A【分析】由等比数列的通项公式求出，再由等比数列的前项和公式代入化简即可得出答案.【详解】根据题意得，，解得或（舍），则.故选：A.7.已知数列满足，，则数列的通项公式是（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】由题意可得数列为首项为3的常数列，从而可得出答案.【详解】由题意得，即所以数列是以首项为的常数列，则，得.故选：A8.第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】首先得甲去场馆或的总数为，进一步由组合数排列数即可得所求概率.【详解】不考虑甲是否去场馆，所有志愿者分配方案总数为，甲去场馆的概率相等，所以甲去场馆或的总数为，甲不去场馆，分两种情况讨论，情形一，甲去场馆，场馆有两名志愿者共有种；情形二，甲去场馆，场馆场馆均有两人共有种，场馆场馆均有两人共有种，所以甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为.故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.关于二项式的展开式，下列说法正确的是（）A.展开式的所有系数和为1 B.展开式的第4项二项式系数最大C.展开式中不含项 D.展开式的常数项为240【正确答案】ABD【分析】在二项式中令，可判断A选项；利用二项式系数和可判断B选项；写出二项展开式，令的指数为，可判断C选项；令的指数为零，求出参数的值，代入展开式通项可判断D选项.【详解】对于A选项：令，可得二项式的展开式中所有项的系数和为，故A正确；对于B选项：因为指数为偶数，即，所以展开式的第项二项式系数最大，故B正确；展开式通项为，对于C选项：令，解得，所以展开式中含项，故C错误；对于D选项：令，可得，故展开式中常数项为，故D正确.故选：ABD.10.若袋子中有3个白球，2个黑球，现从袋子中有放回地随机取球5次，每次取一个球，取到白球记1分，取到黑球记0分，记5次取球的总分数为X，则（）A. B.C.X的数学期望 D.X的方差【正确答案】ACD【分析】由题意可知5次取球的总分数为X，即为5次取球取到白球的个数，故可确定，即可判断A；由此可计算，即可判断B；利用二项分布的期望和方差公式计算期望和方差，即可判断C，D.【详解】由题意知从袋子中有放回地随机取球5次，每次取到白球的概率为，取到白球记1分，取到黑球的概率为，取到黑球记0分，则记5次取球的总分数为X，即为5次取球取到白球的个数，知，故A正确；，故B错误；X的数学期望，故C正确﹔X的方差，故D正确.故选：ACD．11.设数列的前n项和为，已知，且，则下列结论正确的是（）A.是等差数列 B.是等比数列C.9980是中的一项 D.【正确答案】AB【分析】A选项，变形得到，得到A正确；B选项，在A选项基础上求出，故，利用等比数列定义求出B正确；C选项，，显然单调递增，求出，，故C错误；D选项，错位相减法求和得到D错误.【详解】A选项，，故为等差数列，公差为1，首项为，A正确；B选项，由A选项可知，，故，所以，故为等比数列，B正确；C选项，由B选项知，，显然单调递增，，，故9980不是中的一项，C错误；D选项，①，故②，式子①-②得，，故，D错误.故选：AB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，的导函数为，则_________.【正确答案】【分析】求出函数的导函数，再令代入计算可得.【详解】∵，∴，∴，解得.故13.设数列是首项为16，公比为的等比数列，则___________．【正确答案】30【分析】根据的通项公式求解【详解】，.14.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_________.【正确答案】【分析】先由导数的几何意义，求出切线方程，得出切线方程与坐标轴的交点坐标，进而可求出结果.【详解】因为，所以，因此其在点处的切线斜率为，所以，在点处的切线方程为：，令，得；令，得，因此该切线与坐标轴所围三角形的面积为.故答案为.本题主要考查求曲线的切线与坐标轴围成图形的面积问题，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.求下列函数的导数.（1）；（2）；（3）.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】由基本初等函数的求导公式，根据求导法则，可得答案.【小问1详解】.【小问2详解】.【小问3详解】.16.已知函数的图象在点处的切线方程为.（1）求函数的解析式；（2）求函数图象上的点到直线的距离的最小值.【正确答案】（1）（2）0【分析】（1）利用切点在切线和曲线上，以及切点处的导数等于切线斜率可得；（2）构造函数，结合零点存在性定理判断两个函数图象有交点，然后可知..【小问1详解】由，可得，∴，∴，又，故，，可知函数的解析式为.【小问2详解】记函数，因为，，且的图象在区间上连续，故在区间上有零点，即直线与函数的图象有交点，所以函数图象上的点到直线的距离的最小值为0.17.某研究小组为了解青少年的身高与体重的关系，随机从15岁人群中选取了9人，测得他们的身高（单位：cm）和体重（单位：kg），得到如下数据：样本号123456789均值身高165157156173163159177161165164体重53464856574960455452（1）若两组变量间的样本相关系数满足，则称其为高度相关，试判断青少年身高与体重是否高度相关，说明理由（精确到0.01）；（2）建立关于的经验回归方程，并预测某同学身高为时，体重的估计值（保留整数）.参考数据：，，，，.参考公式：样本相关系数，经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：，.【正确答案】（1）相关，理由见解析（2），身高为的某同学，体重大概为【分析】（1）根据题意，由相关系数的公式代入计算，即可判断；（2）根据题意，由最小二乘法公式代入计算，分别求得，然后代入计算，即可得到结果.【小问1详解】.因为（或），所以，即身高与体重间是高度相关的；【小问2详解】因为，所以，所以体重关于身高的回归方程为，所以当时，.即某同学身高为时，体重大概为.18.已知前项和为的数列的各项均为正数，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，记数列的前项和为，若称使得为整数的正整数为“优化数”，试求区间内所有“优化数”的和.【正确答案】（1）（2）4083【分析】（1）根据的关系即可得，进而根据等差数列的性质求解，（2）根据对数的运算性质得，即可根据得，由等比数列求和公式，结合分组求和即可求解.【小问1详解】当时，，解得.当时，，整理为,即，由，有，可得数列是首项为1，公差为2的等差数列有，故数列的通项公式为【小问2详解】，.若为整数，只需要，又由，可得则区间内所有“优化数”的和.19.已知数列的前n项和为，且．（1）证明：是等比数列，并求的通项公式；（2）记，记数列的前n项和为．①求；②若存在，使得，求的取值范围．【正确答案】（1）证明见解析，；（2