含绝对值不等式解法

x>a或x<－a－a<x<at>c或t<－cax＋b>cax＋b<－c3．解|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c型不等式，除分段讨论法外，还可用________________(课本上叫做图象法、几何法)．函数法或几何意义解下列不等式．(1)|2x＋5|<7.(2)|2x＋5|>7＋x.(3)|x2－3x＋1|<5.考点一单向的绝对值不等式例1【思路点拨】仿照|x|>a，|x|<a的解集形式．【解】

(1)原不等式等价为－7<2x＋5<7.∴－12<2x<2，∴－6<x<1，∴原不等式解集为{x|－6<x<1}．(2)由不等式|2x＋5|>7＋x，可得2x＋5>7＋x或2x＋5<－(7＋x)，∴x>2或x<－4.∴原不等式解集为{x|x>2或x<－4}．求使不等式|x－4|＋|x－3|<a有解的a的取值范围．(2)问题可转化为a>f(x)的某些值，由题意a>f(x)min，同上得a>5.(2)关于x的不等式a>|x－3|＋|x＋2|的解集非空，求实数a的取值范围．1．若a>0，且|x|>a，则____________；∴|x＋3|－|x＋5|的最大值为8，【名师点评】解关于恒成立问题时注意等价转化思想的应用．变式训练2解不等式：|x－1|＋|3x＋5|≤4x＋4.(3)关于x的不等式a>|x－3|＋|x＋2|在R上无解，求实数a的取值范围．【思路点拨】对(1)来说，a<f(x)对x∈R恒成立等价于a<f(x)的最小值，求f(x)的最小值，只需使用含绝对值的重要不等式|x－3|＋|x＋2|≥|(x－3)－(x＋2)|＝5，求出|x－3|＋|x＋2|的最小值，则问题获解．【思路点拨】对(1)来说，a<f(x)对x∈R恒成立等价于a<f(x)的最小值，求f(x)的最小值，只需使用含绝对值的重要不等式|x－3|＋|x＋2|≥|(x－3)－(x＋2)|＝5，求出|x－3|＋|x＋2|的最小值，则问题获解．f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a.【思路点拨】化简两个集合，求出解集形式，通过两解集区间端点的关系求a.f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a.(2)|2x＋5|>7＋x.若a>0，且|x|<a，则____________.变式训练1解不等式|2x－1|<2－3x.解不等式1<|2－x|≤7.【思路点拨】利用|x|>a与|x|<a的解法来转化该不等式．考点二双向的绝对值不等式例2B＝{x||x＋a|≥3}＝{x|x＋a≥3，或x＋a≤－3}＝{x|x≥3－a，或x≤－a－3}，对(2)(3)来说，问题的关键是如何转化，是求函数f(x)＝|x－3|＋|x＋2|的最大值还是最小值．对(2)(3)来说，问题的关键是如何转化，是求函数f(x)＝|x－3|＋|x＋2|的最大值还是最小值．变式训练2解不等式：|x－1|＋|3x＋5|≤4x＋4.f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a.【名师点评】解关于恒成立问题时注意等价转化思想的应用．【思路点拨】对(1)来说，a<f(x)对x∈R恒成立等价于a<f(x)的最小值，求f(x)的最小值，只需使用含绝对值的重要不等式|x－3|＋|x＋2|≥|(x－3)－(x＋2)|＝5，求出|x－3|＋|x＋2|的最小值，则问题获解．∴原不等式解集为{x|x>2或x<－4}．当1≤x<2时，原不等式变为x－1－(x－2)>3＋x，若a>0，且|x|<a，则____________.3．解|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c型不等式，除分段讨论法外，还可用________________(课本上叫做图象法、几何法)．(2)|2x＋5|>7＋x.∴a<1时原不等式有解．若a>0，且|x|<a，则____________.(2)问题可转化为a>f(x)的某些值，由题意a>f(x)min，同上得a>5.法二：原不等式可转化为－7≤2－x<－1或1<2－x≤7，∴3<x≤9或－5≤x<1，∴原不等式解集为{x|－5≤x<1或3<x≤9}．【名师点评】本例题是不等式的一种常见题，第二种解法要比第一种解法更为简单．也可根据绝对值的意义解题．变式训练2解不等式1<|x－2|≤3.已知集合A＝{x||2－x|<5}，B＝{x||x＋a|≥3}，且A∪B＝R，求a的取值范围．【思路点拨】化简两个集合，求出解集形式，通过两解集区间端点的关系求a.考点三含参数的绝对值不等式例3【解】

∵A＝{x||2－x|<5}＝{x||x－2|<5}＝{x|－5<x－2<5}＝{x|－3<x<7}；B＝{x||x＋a|≥3}＝{x|x＋a≥3，或x＋a≤－3}＝{x|x≥3－a，或x≤－a－3}，又A∪B＝R，借助数轴如图所示．【名师点评】解此类题，常借助数轴考虑，把不变的集合固定好，让含参数的集合移动，使它满足已知条件即可．解不等式|x－1|＋|x－2|>2.【思路点拨】可用零点分段讨论，可用图象法，也可用绝对值几何意义求解．形如|x＋m|±|x＋n|<(或>)a的不等式的求解例4其图象如图．【名师点评】法一关键是找零点，法二关键是正确作出图象．变式训练1解不等式：|x＋2|－|x－1|<2x.解不等式|x－1|＋|2－x|>3＋x.形如|x＋m|±|x＋n|<(或>)x＋p的不等式的解法例5【解】原不等式变为|x－1|＋|x－2|>3＋x，当x≥2时，原不等式变为x－1＋x－2>3＋x，即x>6，∴x>6；当1≤x<2时，原不等式变为x－1－(x－2)>3＋x，即x<－2，∴x∈∅；当x<1时，原不等式变为－(x－1)－(x－2)>3＋x，即x<0，∴x<0.综上可知，原不等式解集为{x|x<0或x>6}．【名师点评】以上例题用的解法叫零点分段讨论法，含绝对值两个或两个以上的不等式常用此法．首先找到使每个绝对值等于零的点，然后分段讨论，再求各段结果的并集．一般地，n个零点把数轴分成n＋1段．变式训练2解不等式：|x－1|＋|3x＋5|≤4x＋4.当x≥1时，有x－1＋3x＋5≤4x＋4.∴4≤4成立，∴原不等式解集为{x|x≥1}．(1)对任意x∈R，若|x－3|＋|x＋2|>a恒成立，求实数a的取值范围．(2)关于x的不等式a>|x－3|＋|x＋2|的解集非空，求实数a的取值范围．(3)关于x的不等式a>|x－3|＋|x＋2|在R上无解，求实数a的取值范围．形如|x＋m|±|x＋n|<(或>)a恒成立的问题例6【思路点拨】对(1)来说，a<f(x)对x∈R恒成立等价于a<f(x)的最小值，求f(x)的最小值，只需使用含绝对值的重要不等式|x－3|＋|x＋2|≥|(x－3)－(x＋2)|＝5，求出|x－3|＋|x＋2|的最小值，则问题获解．对(2)(3)来说，问题的关键是如何转化，是求函数f(x)＝|x－3|＋|x＋2|的最大值还是最小值．【解】

(1)∵f(x)＝|x－3|＋|x＋2|≥|(x－3)－(x＋2)|＝5，即f(x)min＝5，∴a<5.(2)问题可转化为a>f(x)的某些值，由题意a>f(x)min，同上得a>5.(3)问题可转化为对一切x∈R恒有a≤f(x)⇔a≤f(x)min，可知a≤5.【名师点评】解关于恒成立问题时注意等价转化思想的应用．f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a.f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a.变式训练3若不等式|x＋3|－|x－5|<m对x∈R恒成立，则m的取值范围为________．解析：|x＋3|－|x－5|≤|x＋3－x＋5|＝8，∴|x＋3|－|x＋5|的最大值为8，∴m>8.答案：(8，＋∞)求使不等式|x－4|＋|x－3|<a有解的a的取值范围．【错解】

∵|x－4|＋|x－3|≥|x－4＋3－x|＝1.∴|x－4|＋|x－3|有最小值为1.∴a<1时原不等式有解．【错因】

“|x－4|＋|x－3|<a有解”理解错．上述解法是无解的情况．例误区警示变式训练2解不等式：|x－1|＋|3x＋5|≤4x＋4.若a>0，且|x|<a，则____________.【解】原不等式变为|x－1|＋|x－2|>3＋x，【名师点评】解关于恒成立问题时注意等价转化思想的应用．(2)由不等式|2x＋5|>7＋x，∴原不等式解集为{x|－6<x<1}．若a>0，且|x|<a，则____________.【名师点评】解此类题，常借助数轴考虑，把不变的集合固定好，让含参数的集合移动，使它满足已知条件即可．【思路点拨】可用零点分段讨论，可用图象法，也可用绝对值几何意义求解．B＝{x||x＋a|≥3}＝{x|x＋a≥3，或x＋a≤－3}＝{x|x≥3－a，或x≤－a－3}，变式训练2解不等