第22章 函数 单元测试2（解析版）

第二十二章函数·能力提升建议用时：60分钟，满分：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件．根据分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可．【详解】解：∵分式要有意义，∴，∴，∴函数中，自变量的取值范围是，故选：D．2．下列函数经过点的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了函数的概念，熟知函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．把分别代入函数检验即可．【详解】解：A、当时，，函数图象不经过，故A不符合题意；B、当时，，函数图象不经过，故B不符合题意；C、当时，，函数图象经过，故C符合题意；D、当时，，函数图象不经过，故D不符合题意；故选：C．3．下列图象中，不能表示y是x的函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查函数的定义，根据函数的定义进行判断即可．【详解】解：在某个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则称y是x的函数，A，B，C不符合题意；选项D的图象，给一个x值，y有多个值对应的情况，不能表示y是x的函数，故D符合题意．故选：D．4．如图所示的是加油站加油机上的数据显示牌．在加油的过程中，下列说法正确的是（

）金额/元303.89加油量/L36.79单价/元8.26A．金额是常量 B．加油量是常量 C．单价是常量 D．单价是变量【答案】C【分析】本题考查常量与变量的定义，熟练掌握常量和变量的定义是解题关键．根据加油过程中各量的变化情况进行判断即可．【详解】解：∵在加油过程中，单价固定不变，金额随加油量的增加而变化，加油量也持续变化，∴单价是常量，金额和加油量是变量，故选：C．5．京沪高速铁路全长为，用式子表示在此铁路上运营的列车的平均速度v（单位：）与全程运行时间t（单位：h）的关系，结果为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查路程、速度、时间三者的基本数量关系，解题的关键是掌握三者之间的关系．利用“路程=速度×时间”的公式，代入已知路程即可推导速度与时间的关系式．【详解】解：，即，故选：B．6．连环是中国古代传统智力玩具，小云同学在实践课中探究这一传统玩具与数学的关联．他发现，解开n连环的最少步数（记为y）有明确规律：当n为奇数时，步数公式为．根据上述公式，解开九连环的最少步数为（

）A．255步 B．341步 C．511步 D．1023步【答案】B【分析】本题主要考查了求函数值，将代入对应的公式中求出y的值即可得到答案．【详解】解：∵是奇数，符合公式∴将代入公式得，即解开九连环的最少步数为341步，故选：B．7．匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图（图中为一折线），则这个容器的形状为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：因为匀速地向一个容器内注水，函数图象的走势是稍陡、稍平、陡，所以水面高度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关，从下到上依次是稍粗、粗、细．所以这个容器的形状是B项中的图形．8．年月日，跑遍辽宁·沈阳和河半程马拉松赛鸣枪开跑．甲、乙两选手的行程（千米）随时间（小时）变化的图象如图所示，则下列判断错误的是（

）A．起跑后小时以内，乙在甲的前面 B．起跑后小时，甲和乙相遇C．乙比甲先到达终点 D．甲、乙都跑了千米【答案】A【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，根据函数图象获取信息，逐项判断即可得解，解决本题的关键是数形结合的思想的运用．【详解】解：A选项：由图象可知，起跑后1小时内，甲所跑路程大于乙所跑路程，所以起跑后小时内，甲在乙的前面，故A选项错误；B选项：由图象可知，起跑后小时，甲和乙相遇，故B选项正确；C选项：由图象可知，甲到达终点的时间比乙到达终点的时间多，故C正确；D选项：由图象可知，甲、乙都跑了20.09千米，故D正确．故选：A．9．如图①，在数学实验课上，芳芳用弹簧测力计挂着一重物将其缓慢地放入水中，直至该重物完全浸入水中，如图②为弹簧测力计示数与该重物浸入水面深度的图象．下列结论中错误的是（

）小贴士：当时，；当时，（G为物体所受到的重力）A．该重物的重力为B．点P表示的实际意义是该重物已完全浸入水中C．该重物的高度为D．从该重物底部刚浸过水面到恰好完全浸入水中时，F先随h的增大而减小，然后不变【答案】D【分析】从函数图象中的坐标含义，结合图象的变化分析即可．【详解】解：当时，，∴该重物的重力为，故选项A正确，不符合条件；由图②可知在点P处时该重物完全浸入水中，故选项B正确，不符合条件；在点P处时该重物完全浸入水中，此时，故选项C正确，不符合条件；从该重物底部刚浸过水面到恰好完全浸入水中时，F随h的增大而减小，故选项D错误，符合条件．10．为筹备校园“正方形主题文化角”，工作人员用两个边长相同的正方形展板布置：如图，固定展板（顶点、在直线展台上）与移动展板（顶点、在直线展台上），移动展板可沿平移．设固定展板顶点与移动展板顶点的距离为（单位：）（），两个展板重叠部分的面积为（单位：），关于的函数图像如图所示．下列选项正确的是（

）A．正方形的对角线长为 B．当时，重叠面积C．当时，重叠面积 D．函数图像的最高点的坐标为【答案】B【分析】由图及图知：当及时，，推出，可判断A；当时，此时点为的中点，如图，设交于点，交于点，得，证明四边形是正方形，则重叠面积，可判断B；当时，如图，设交于点，交于点，得，四边形是正方形，则重叠面积，可判断C；由图及图知：当（即点与点重合）时，取得最大值，则重叠面积，可判断D。【详解】解：∵四边形与四边形是两个相同的正方形，与是对角线，∴，，，，∴，由图及图知：当（即点与点重合）时，，当（即）时，，此时，∴，故选项A不正确；∴，∴，即正方形与正方形的边长为，当时，此时点为的中点，如图，设交于点，交于点，∴，∵，，∴，∴四边形是矩形，∵，∴，∴四边形是正方形，∴，∴，∴重叠面积，故选项B正确；当时，如图，设交于点，交于点，∴，四边形是正方形，∵，，∴，∴，∴，∴，∴重叠面积，故选项C不正确；由图及图知：当（即点与点重合）时，取得最大值，此时正方形与正方形重合，∵正方形的边长为，∴此时重叠面积，∴函数图像的最高点的坐标为，故选项D不正确。二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．已知函数，当时，函数值，则_________．（只填最后结果）【答案】2【分析】本题主要考查了求函数值，直接把代入到函数表达式中进行计算即可．【详解】解：由题意得，，故答案为：2．12．某市出租车计价方式如下：行驶距离在以内（含）付起步价元，超过后，每多行驶加元，乘车费用（元）与乘车距离之间的函数表达式为______．【答案】【分析】本题考查函数关系式，根据“乘车费用起步价超过的付费”可得与的关系式．找到所求量的等量关系是解题的关键．【详解】解：依题意得：，∴乘车费用（元）与乘车距离之间的函数表达式为．故答案为：．13．如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加．根据小球速度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系，第时小球的速度为______．【答案】【分析】本题考查了求函数值，根据小球速度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系为，将代入求值即可，解题的关键是正确列出函数关系式．【详解】解：由题意，得，当时，，故答案为：．14．某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从开始，经过__________分钟时，当两仓库快递件数相同．【答案】【分析】本题考查了由函数图像获取信息，待定系数法求函数解析式，利用待定系数法分别求出甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式，再求出两直线的交点即可得到答案．【详解】解：设甲仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为，根据图象得，，解得：，，设乙仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为，根据图象得，，解得：，，联立，解得：，经过20分钟时，当两仓库快递件数相同，故答案为：20．15．如图①，在中，，动点从点出发，沿匀速运动至点后停止．设点运动的路程为，的面积为．若关于的函数图象如图②所示，则的最大值为______．

【答案】【分析】根据图①可知，当点在段运动时，此时最大．结合图②可知，，过点作于点，根据勾股定理可求出，由此可求出的面积，即为的最大值．【详解】解：设边上的高为，则，其中固定不变．当点在段运动时，随着的增大而增大，对应图②中的段；当点在段运动时，的值不变，对应图②中的段，此时最大．由图②可知，，．如图，过点作于点．

在中，，，，，，．16．一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村．甲、乙之间的距离s（单位：）与骑行时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示，则相遇后，两人再次相距时，乙又骑行了________．【答案】30或55【分析】本题考查了函数图象，由图象先分别求出甲、乙的速度，然后根据甲超过乙后相距和甲到达C村庄后相距两种情况计算解答即可．【详解】解：骑行过程为先是甲追乙，追上乙，然后甲超过乙，到达C村庄，然后乙继续骑行，在时到达C村庄，∴乙的骑行速度为，甲的骑行速度为，当甲超过乙后相距时，时间为，当甲到达C村庄后相距时，时间为，故答案为：30或55．三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）17．（6分）已知，求下列各式的值：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查函数值的代入计算和函数自变量与函数值的对应关系这两个知识点．（）对应的自变量值代入函数表达式中计算即可；（）对应的自变量值代入函数表达式中计算即可．【详解】（1）解：，；（2）解：．18．（6分）某旅游景区原来的门票价格为每张80元．临近春节，该景区推出优惠方案：每张门票打九折．某公司组织员工去该景区旅游．设员工人数为人，购买门票的总金额为元．(1)求与之间的函数关系式；(2)当时，求的值．【答案】(1)(2)2160【分析】本题考查列函数关系式、求函数值，理解题意，正确得到函数关系式是解答的关键．（1）设员工人数为人，购买门票的总金额为元，根据总金额人数票价列函数关系式即可；（2）将代入（1）中函数关系式中求解即可．【详解】（1）解：设员工人数为人，购买门票的总金额为元，根据题意，得，与之间的函数关系式为；（2）解：将代入，得，的值为2160．19．（6分）在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，如表是某天一地的海拔与对应高度处气温的关系．海拔…01234…气温…201482…(1)当海拔高度为时，气温是______；当气温为时，海拔是______；(2)写出气温与海拔的关系式：______；(3)求海拔处的气温．【答案】(1)8；4(2)(3)海拔处的气温是【分析】本题考查了求函数关系式，正数和负数，解题的关键是根据表格中气温与海拔高度的变化规律：h每增加，气温就下降．（1）根据表格中数据即可解答；（2）根据表格中气温与海拔高度的变化规律：h每增加，气温就下降，即可解答；（3）把代入中，进行计算即可得出答案．【详解】（1）解：观察表格可得：当海拔高度为时，气温是；当气温为时，海拔高度是；故答案为：8，4；（2）观察表格可得：由h每增加，气温就下降，∴，∴气温T与海拔h的关系式为：，故答案为：；（3）当时，．答：海拔处的气温是．20．（6分）A，B两地相距，甲列车从A地出发，以的平均速度驶向B地；乙列车在甲列车出发后，从B地出发以的平均速度驶向A地．如图所示是两列车与A地的距离关于时间的函数图象．请根据图象回答问题：(1)甲列车出发多久后与乙列车相遇？此时距A地多远？(2)甲列车出发多长时间，两车相距？【答案】(1)甲列车出发后与乙列车相遇，此时距A地(2)甲列车出发或，两车相距【分析】本题考查函数的图象与性质，一次函数与一元一次方程，掌握知识点是解题的关键．（1）先求出，则乙列车行驶时间为，行驶路程为，列出方程，求出t的值即可；（2）分类讨论：①相遇前两车相距，②相遇后两车相距，逐个分析求解即可．【详解】（1）解：∵甲列车行驶时间为，行驶路程为，∴则乙列车行驶时间为，行驶路程为，则，化简可得．由题意知，解得，∴．答：甲列车出发后与乙列车相遇，此时距A地．（2）解：①相遇前两车相距，则，解得（符合题意），②相遇后两车相距，则，解得（符合题意），答：甲列车出发或，两车相距．21．（8分）在等腰三角形中，，的周长是20，底边的长为，腰长为．(1)求关于的函数表达式以及自变量的取值范围；(2)当腰时，求底边的长；(3)当底边时，求腰长．【答案】(1)，(2)(3)腰长为7.5【分析】本题考查了列函数关系式、等腰三角形的定义、三角形三边关系、求不等式的解集，熟练掌握相关知识点是解题的关键．（1）根据三角形的周长公式求出关于的函数表达式，再根据三角形三边关系以及边长大于0即可求出自变量的取值范围；（2）代入到（1）中的函数表达式，即可求解；（3）代入到（1）中的函数表达式，即可求解．【详解】（1）解：∵等腰的周长是20，底边的长为，腰长为，∴，∴，由题意得，，即，解得；∴关于的函数表达式为，自变量的取值范围为；（2）解：代入到，则，∴底边的长为4；（3）解：代入，得，解得，∴腰长为7.5．22．（8分）【问题情境】数学活动课上老师提到我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩时对摩天轮进行实地调研．摩天轮位于东大佳苑东侧的儿童乐园内，摩天轮的轮子为圆形，轮子上均匀分布60个吊舱，顺时针旋转一周需要20分钟．【实践过程】小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度h和所用的时间t的数据，并绘制变化图如图1．【问题研究】请根据图1中信息回答：（1）在这个变化过程中变量是________；（2）摩天轮最高点距地面_______米，摩天轮最低点距地面_______米；【问题解决】（3）如图2，摩天轮某个吊舱从点A旋转到点B需4分钟，那么请你求出这个吊舱从A点顺时针旋转到B点所走的路径的长度．（摩天轮距地面的最高点与最低点的差为摩天轮的直径，结果保留）．【答案】（1），；（2）108，3；（3）所走的路径的长度是米【分析】本题考查了变量、函数图象、圆的周长，读懂函数图象是解题关键．（1）根据变量的定义解答即可得；（2）根据函数图象即可得；（3）先求出摩天轮的直径，再根据运动时间可得摩天轮某个吊舱从点旋转到点所走的路径的长度等于圆的周长的，即，由此即可得．【详解】解：（1）在这个变化过程中，从最低点旋转到不同位置距地面的高度和所用的时间都是变化的，所以在这个变化过程中，变量是，，故答案为：，．（2）由图1可知，摩天轮最高点距地面108米，摩天轮最低点距地面3米，故答案为：108，3．（3）由（2）可知，摩天轮最高点距地面108米，摩天轮最低点距地面3米，∴摩天轮的直径为（米），∵顺时针旋转一周需要20分钟，摩天轮某个吊舱从点旋转到点需4分钟，∴（米），答：所走的路径的长度是米．23．（8分）如图1，已知点从的边上的一点出发，沿的方向匀速运动，速度为，到点后停止运动．设的长为，运动的时间为（单位：），的面积为（单位：）．如图2是关于的函数图象，图象与轴交于点，当时，有最大值为．(1)求的度数．(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）通过题意可知动点在上起始点时，的面积，还可知动点与点重合时，的面积，过点作于点，过点作于点，过点作于点，进而得出在中，，，即可求出的度数；（2）先求出，再得出，由即可求出的值．【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，过点作于点，过点作于点，图象与轴交于点，的长为，此时，，当时，有最大值为，，，，，，，四边形是矩形，，，，，，，；（2）解：，，，，，，，．24．（12分）某学习小组在学习了函数及函数图象的知识后，想利用此知识来探究周长一定的矩形其边长分别为多少时面积最大，请将他们的探究过程补充完整．(1)列函数表达式：若矩形的周长为8，设矩形的一边长为，面积为，则有________________；(2)上述函数表达式中，自变量的取值范围是__________；(3)列表：…123……343…可知：__________；(4)画图：在平面直角坐标系中已描出了上表中部分各对应值为坐标的点，请你画出该函数的图象；(5)结合图象可得，当时，矩形的面积最大；写出该函数的其他性质（一条即可）：

________________________________________