吉林省吉林市外五县各高中2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1吉林省吉林市外五县各高中2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B.120° C.150° D.60°【答案】D【解析】直线可化为，所以直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，因为，所以，故选：D.2.在等差数列中，若，则（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】在等差数列中，，解得.故选：C.3.已知空间向量与共线，则（）A.0 B.6 C.-4 D.4【答案】A【解析】因为空间向量与共线，显然，所以，解得，，所以故选:A.4.以为圆心，且过点的圆的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，所以圆的半径，又以为圆心，所以圆的标准方程为：.故选：C.5.如图，在长方体中，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在长方体中，以为基底，则，所以.故选：A.6.已知椭圆E：的上、下顶点与左、右焦点分别为A，B，，，且四边形是正方形，则E的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，故，又，则E的离心率为.故选：B.7.已知数列的通项公式为，前项和为，则取得最小值时，的值等于（）A.9 B.10 C.8 D.1【答案】A【解析】令，解得或，所以当或时，，即当时，，故当时递增，且，当时，，故当时递减，当时，，故当时递增，又，故,所以取得最小值时的值为9.故选：A.8.已知椭圆和双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点.线段的垂直平分线经过坐标原点，若的离心率为，则的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令线段的垂直平分线与的交点为，显然是的中点，而是的中点，则，而，因此，，则，令与的半焦距为，由，得，于是，解得，则，，所以的渐近线方程为.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.数列2,0,2,0,…的一个可能的通项公式是（）A B.C. D.【答案】AB【解析】A选项，前4项为：2,0,2,0，A选项符合；B选项，前4项为：2,0,2,0，B选项符合；C选项，前4项为：0,0,0,0，C选项不符合；D选项，前4项为：0,2,0,2，D选项不符合；故选：AB10.过点且与抛物线恰有一个公共点的直线方程可能为（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】显然直线与抛物线恰有一个公共点，故A正确；当直线的斜率不存在时，过点的直线方程为，符合题意，故B正确；当直线的斜率存在且不为0时，设过点的直线方程为，由得，所以，解得，所以直线方程为，即，故C正确.故选：ABC.11.如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱，的中点，点P是线段上的一动点，则下列说法正确的是（）A.三棱锥体积为定值B.存在点P，使得C.的周长的最小值为D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为【答案】ACD【解析】对于A，在正方体中，连接，则，又，则，而平面，平面，因此平面，又直线，则点P到平面的距离为定值，面积为定值，因此为定值，A正确；对于B，在矩形中，，则与以为直径的圆相离，点在此圆外，因此，B错误；对于C，，在等腰梯形中，作点F关于的对称点，连接交于点P，此时取得最小值长，，，，因此的周长的最小值为，C正确；对于D，连接，由平面，得是直线与平面所成的角，则，而正的边长为，因此的最小值为的高，即，因此，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在等比数列中，，公比.若，则的值为_____.【答案】6【解析】因为且，，所以，所以.故答案为：6.13.已知向量，，，若，，共面，则x等于______．【答案】1【解析】向量，，，因，，共面，则存在实数使得，于是得，因此，解得，所以.故答案为：1.14.若，是椭圆：的两个焦点，点，为椭圆上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为_________．【答案】8【解析】由已知及对称性得：四边形为矩形，即，所以，由椭圆定义与勾股定理知：，可得．所以四边形的面积为8.故答案为：8.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.已知抛物线过点.（1）求抛物线的方程，并求其准线方程；（2）过该抛物线的焦点作斜率为1的直线，交抛物线于A，B两点，求线段的长度.解：（1）过点，，解得，抛物线，准线方程为；（2）由（1）知，抛物线焦点为，设直线，，，由得，则，则16.已知点，，线段是圆的直径.（1）求圆的标准方程；（2）若过圆心的直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程.解：（1）线段是圆的直径，，，的坐标为，即，圆的半径，所以圆的标准方程为.（2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为，令，解得，令，解得，又过圆心的直线在轴，轴上的截距相等，所以，解得或，所以直线的方程为或.17.如图，在四棱锥中，底面是菱形，是等边三角形，且平面平面，点为棱的中点.（1）求证：；（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值.（1）证明：如图，取中点，连接，，因为是中点，所以，是菱形，则，所以，又是等边三角形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以，因，平面，所以平面，又因为平面，所以.（2）解：，则和都是等边三角形，连接，则，，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图，设，则，，因此有，，，，，是中点，则，，，，，设平面的一个法向量是，则，取得，易知平面的一个法向量是，则，取，则，，所以平面与平面的夹角的余弦值为．18.已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上.（1）求和的通项公式；（2）将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列，求数列的前项和.解：（1）因为，所以当时，，所以，所以，所以，又，，所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以，因为点在函数的图象上，所以，即，又，所以是首项为2，公差为2的等差数列，所以.（2）因为是所有的正偶数，又，所以，所以.19.若椭圆的两个焦点分别为，且椭圆过点，若直线经过点且交椭圆于两点，交直线于点，直线的斜率分别为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线关于直线对称，求；（3）探究的数量关系.解：（1）由题意可知，，，即，所以，所以椭圆的标准方程为.（2）直线的方程为：，因为直线关于