（辅导班）2026年新高三数学暑假讲义(基础班)第14讲 导数的概念与运算（解析版）

第第页第14讲导数的概念与运算知识点一：导数的概念和几何性质1、概念函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．知识点诠释：①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数；②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与无限接近；③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即．2、几何意义函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．3、物理意义函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．知识点二：导数的运算1、求导的基本公式基本初等函数导函数（为常数）2、导数的四则运算法则（1）函数和差求导法则：；（2）函数积的求导法则：；（3）函数商的求导法则：，则．3、复合函数求导数复合函数的导数和函数，的导数间关系为：【解题方法总结】1、在点的切线方程切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．2、过点的切线方程设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．题型一：导数的定义【例题1-1】已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】由图象可知，即.故选：D【变式1-1】已知函数的导函数是，若，则（）A．B．1C．2D．4【答案】B【解析】因为，所以故选：B【变式1-2】若函数在处可导，且，则（

）A．1B．C．2D．【答案】A【解析】由导数定义可得，所以．故选：A．【解题方法总结】对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出．题型二：求函数的导数【例题2-1】求下列函数的导数．(1)；(2)；(3)【解析】（1）因为，所以.（2）因为，所以.（3）因为，所以【变式2-1】求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）.（2）.（3），故.【变式2-2】在等比数列中，，函数，则_______．【答案】【解析】因为，所以．因为数列为等比数列，所以，于是．故答案为：【变式2-3】已知可导函数，定义域均为，对任意满足，且，求__________.【答案】【解析】由题意可知，令，则，解得，由，得，即，令，得，即，解得.故答案为：.【变式2-4】已知函数的导函数为，且，则______．【答案】【解析】因为，则，故，故．故答案为：.【解题方法总结】对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题．题型三：导数的几何意义方向1、在点P处切线【例题3-1】曲线在点处的切线方程为__________．【答案】【解析】函数的导函数为，所以函数在处的导数值，所以曲线在点处的切线斜率为，所以曲线在点处的切线方程为，即，故答案为：.【变式3-1】曲线在点处的切线方程为______．【答案】【解析】因为，所以，则，又，所以曲线在点处的切线方程为，即．故答案为：.【变式3-2】若函数是奇函数，则曲线在点处的切线方程为______．【答案】【解析】因为是奇函数，所以对恒成立，即对恒成立，所以，则，故，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简得.故答案为：方向2、过点P的切线【例题3-2】已知过原点的直线与曲线相切，则该直线的方程是______．【答案】【解析】由题意可得，设该切线方程，且与相切于点，，整理得，∴，可得，∴.故答案为：.【变式3-3】已知函数，过点存在3条直线与曲线相切，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】由，设切点为，则切线斜率为，所以，过的切线方程为，综上，，即，所以有三个不同值使方程成立，即与有三个不同交点，而，故、上，递减，上，递增；所以极小值为，极大值为，故时两函数有三个交点，综上，的取值范围是.故答案为：【变式3-4】过坐标原点作曲线的切线，则切点的横坐标为___________.【答案】或【解析】由可得，设切点坐标为，所以切线斜率，又因为，则切线方程为，把代入并整理可得，解得或.故答案为：或【变式3-5】已知函数，其导函数为，则曲线过点的切线方程为______．【答案】或【解析】设切点为，由，得，∴，得，∴，，∴切点为，，∴曲线在点M处的切线方程为①，又∵该切线过点，∴，解得或．将代入①得切线方程为；将代入①得切线方程为，即．∴曲线过点的切线方程为或．故答案为：或方向3、公切线【例题3-3】若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为___________.【答案】1【解析】设，则，设切点为，则，则切线方程为，即，直线过定点，所以，所以，设，则，设切点为，则，则切线方程为，即，直线过定点，所以，所以，则是函数和的图象与曲线交点的横坐标，易知与的图象关于直线对称，而曲线也关于直线对称，因此点关于直线对称，从而，，所以．故答案为：1.【变式3-6】若曲线和曲线恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为__________．【答案】【解析】由题意得，设与曲线相切的切点为，与曲线相切的切点为，则切线方程为，即，，即，由于两切线为同一直线，所以，得．令，则，当时，，在单调递减，当时，，在单调递增．即有处取得极小值，也为最小值，且为．又两曲线恰好存在两条公切线，即有两解，结合当时，趋近于0，趋于负无穷小，故趋近于正无穷大，当时，趋近于正无穷大，且增加幅度远大于的增加幅度，故趋近于正无穷大，由此结合图像可得a的范围是，故答案为：【变式3-7】已知曲线和曲线有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l，则l的方程为________．【答案】【解析】设曲线和曲线在公共点处的切线相同，则，由题意知，即，解得，故切点为，切线斜率为，所以切线方程为，即，故答案为：方向4、已知切线求参数问题【例题3-4】若曲线有两条过的切线，则a的范围是______.【答案】【解析】设切线切点为，因，则切线方程为：.因过，则，由题函数图象与直线有两个交点.，得在上单调递增，在上单调递减.又，，.据此可得大致图象如下.则由图可得，当时，曲线有两条过的切线.故答案为：【变式3-8】若直线与曲线相切，则的最大值为（）A．0B．1C．2D．【答案】B【解析】设切点坐标为，因为，所以，故切线的斜率为：，，则.又由于切点在切线与曲线上，所以，所以.令，则，设，，令得：，所以当时，，是增函数；当时，，是减函数.所以.所以的最大值为：1.故选：B.【变式3-9】已知是曲线上的任一点，若曲线在点处的切线的倾斜角均是不小于的锐角，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数的定义域为，且，因为曲线在其上任意一点点处的切线的倾斜角均是不小于的锐角，所以，对任意的恒成立，则，当时，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，所以，，解得.故选：B.【变式3-10】已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（

）A．16B．12C．8D．4【答案】D【解析】对求导得，由得，则，即，所以，当且仅当时取等号．故选：D．方向5、切线的条数问题【例题3-5】若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】作出函数的图象，由图象可知点在函数图象上方时，过此点可以作曲线的两条切线，所以，故选：B．方向6、切线平行、垂直、重合问题【例题3-6】若函数与的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线平行，则实数（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】设函数图象上切点为，因为，所以，得，所以，所以切线方程为，即，设函数的图象上的切点为，因为，所以，即，又，即，所以，即，解得或（舍），所以．故选：A【变式3-11】已知直线与曲线相交于，且曲线在处的切线平行，则实数的值为（

）A．4B．4或-3C．-3或-1D．-3【答案】B【解析】设，由得，由题意，因为，则有．把代入得，由题意都是此方程的解，即①，，化简为②，把①代入②并化简得，即，，当时，①②两式相同，说明，舍去．所以．故选：B．方向7、最值问题【例题3-7】设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】与互为反函数，其图像关于直线对称，先求出曲线上的点到直线的最小距离．设与直线平行且与曲线相切的切点，．，，解得．．得到切点，点P到直线的距离．最小值为．故选：B．【变式3-12】设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】与互为反函数，它们图像关于直线对称；故可先求点P到直线的最近距离d，又，当曲线上切线的斜率时，得，，则切点到直线的距离为，所以的最小值为．故选：D．【变式3-13】设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】与互为反函数，所以与的图像关于直线对称，设，则，令得，则当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增，所以，所以与无交点，则与也无交点，下面求出曲线上的点到直线的最小距离，设与直线平行且与曲线相切的切点，，，，解得，，得到切点，到直线的距离，的最小值为，故选：D．【例题3-14】若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小.设切点为，，所以，切线斜率为，由题知得或（舍），所以，，此时点到直线距离.故选：C第14讲导数的概念与运算1．已知为实数，函数是偶函数，则曲线在点处的切线方程为（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为是偶函数，所以，所以，故，又，所以，，故曲线在点处的切线方程为，即.故选：A.2．已知抛物线C：，（）的焦点为F，为C上一动点，若曲线C在点M处的切线的斜率为，则直线FM的斜率为（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴，，∴，由题意知，，解得：，又∵M在上，∴，解得：，∴，∴.故选：B.3．如图是函数的导函数的图象，若，则的图象大致为（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】由的图象可知，当时，，则在区间上，函数上各点处切线的斜率在区间内，对于A，在区间上，函数上各点处切线的斜率均小于0，故A不正确；对于B，在区间上，函数上存在点，在该点处切线的斜率大于1，故B不正确；对于C，在区间上，函数上存在点，在该点处切线的斜率大于1，故C不正确；对于D，由的图象可知，当时，，当时，，当时，，所以函数上各点处切线的斜率在区间内，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，而函数的图象均符合这些性质，故D正确.故选：D4．设为上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（

）A．2B．-1C．1D．【答案】C【解析】.故曲线在点处的切线斜率为.故选：C5．函数的图象在点，（1）处的切线方程为A．B．C．D．【答案】【解析】由，得，（1），又（1），函数的图象在点，（1）处的切线方程为，即．故选：．6．曲线在点处的切线方程为A．B．C．D．【答案】【解析】因为，，故函数在点处的切线斜率，切线方程为，即．故选：．7．已知函数，都有的最小值为0，则的最小值为（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意知，都有的最小值为0，可转化为直线与相切.设切点坐标为，则可得，可得.令，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.所以，即的最小值为.故选:A.8．已知函数，若这两个函数的图象在公共点处有相同的切线，则_________．【答案】【解析】因为，所以，，因为在公共点处有相同的切线，所以即，所以故答案为：9．曲线在点处的切线方程为______．【答案】【解析】对函数求导可得，所以，所求切线的斜率为，故所求切线方程为，即.故答案为：.10．曲线在点处的切线方程为