大学《高等数学》考试复习练习题及答案 (一)

习题课一

一、函数的概念

二、函数的特性(奇偶性、单调性、周期性，不再赘述。)

函数的有界性：

/S)在X上有上界左£凡VxwX,有/(x)KZ；

/(幻在X上有下界=衣£凡DxwX而(x)2Z；

/(x)在X上有界=三加>0,VXGX,^/(X)|<Mo

例如：/(xQl-”在［0、+oo)有上界1,无下界。

/。)="在(-8,+8)有下界0,无上界。

n

<一,/(x)=arctanx在(-QO,+oo)有界。

2

三、分段函数

在定义域的不同范围具有不同的表达式的函数叫做分段函数。

1,x>0

例1.符号函数/(%)=sgnx=«0,x=0,求/(2),/(0),/(-2)o

-1,x<0-

y

y=sgnx

解：/(2)=1,/(0)=0,/(-2)=-1o1---------

%,x>0

・.・国=<0,无=0,AA|=xsgnx

一x,x<0

例2.取整函数：y=［划,

若"Kxv〃+1,〃£Z,则［幻=〃。四表示不超过x的最大整数。

例如：[2.5]=2,[3]=3,[0]=0,[一兀]=一4。

注意:(1)VXG/?,W[X]<X<[X]+1;(2)0<x-[x]<lo

—2,—2x<-1

-1,-1<x<0

[x]=<0,0<x<1

1,l<x<2

2,2<x<3

例3.证明：f(X)=X-[x],不£(-8,+00)是以1为周期的周期函数。

解：Vf（X+1）=（X+1）-[x+1]=（X+1）-（[x]+1）=x-[^]=f（x）,

・・・/(幻是以1为周期的周期函数。

定义域：(-00,+8)，.

值域：[0,1)。其图形如右：

四、基本初等函数

a

(1)基函数：y=x(a€/?)o

(2)指数函数：y=〃(4>0,且awl)。

(3)对数函数：y=bgaX(〃>0,且awl)。

(4)三角函数：y=sinx；y=cos%；y=tanx；

y=cotx：y=secx：y=cscxo

(5)反三角函数：y=arcsinx；y=arccosir；y=arctanx；y=arccotx。

五、复合函数

1.复合函数的定义

若函数y=/(〃)的定义域为,函数〃=(p(x)的定义域为上，值域

=(p(x),xG｝，且&u,则称函数y=/[(p(x)]或/o(p为定义

R2=uD2

在出上的复合函数，〃称为中间变量。

例4.设/(%)=«：也一：，g(x)=F，/卡：，求⑴f[g(x)]；(2)g[f(x)]o

0,凶>1[2,x>1

解：(1)当凶<1时，/[g(x)]=/(2-x2)=0；

当国>1时，/[g(x)l=/(2)=0；

当凶=1时，"g(切=/(2-12)=/⑴=i；

[O,lxw1

故/[g(M=(]।।[。

U，kl=i

(2)当国<1时，8"(刈=,式1)=2-12=]：

当国〉1时，g"a)]=g(0)=2—()2=2；

Ix<1

故g"(x)]=(；~•(/[g(x)]wg[f(x)],可见复合运算不可交换。)

2,1Lr>1

2.把复合函数分解成若干个简单函数

简单函数是指基本初等函数和多项式。

例5.指出下列各复合函数的复合过程。

(1)y=2sin2%

解：丁=2.2"由丁=2〃，〃=/，u=sinx复合而成。

(2)y=InJx2-3%+2

解：y=In一3x+2由y=In上，u=«,u=f-3x+2复合而成。

(3)y=tan5^/ig(arcsinx)

解：y=tan，狄g(arcsinx)由y=/，u=tanv»v=Vvv,vv=1gr,z=arcsinx

复合而成。

根据复合函数的结构，将复合函数分解成若干个简单函数时，应从外到里,

一层一层地分解，千万不能漏层。

六、初等函数

由基本初等函数和常数，经过有限次四则运算与有限次复合而构成的，并

能用一个数学式子表示的函数叫做初等函数。不是初等函数的函数称为非初

等函数。

例如:y=cos(e')+3，gjl+x、y=arcsin—>y=xlnx等都是初等函数。

x

而狄里克莱函数03=[:程…

〔0,工是无理数

是非初等函数。

例6.设函数/(x)在(-00,+8)内单调增加，且对一切x有/(x)Wg(x),

证明：f[f(x)]<g[g(x)]o

证明：•.•/(幻在(-8,+00)内单调增加，且Wx£(-OO,+8),/(x)Wg(x),

・•・f[f(x)]<f[g(x)]9

又•:f[g(x)]<g[g(x)]f：.f[f(x)]<g[g(x)]o

七、点a的5邻域§5

、、、____________—x

设QER，bcR且6>0。a-5a

N(a,b)=闻1一4<b}=(a-B,4+b),称为点〃的8邻域。

点。称为N(a,3)的中心，3称为N(a,3)的半径。

N(o,3)=(xj0<|x-a|<b}=(a-bM)Um,a+b)，称为点a去心的3邻域

0<|x-6r|表示xwa。

常用N(〃)和0m)分别表示点。的某个邻域和点。的某个去心邻域。

练习题

1.用定义证明：lim=4,则对任一正整数A,limx-ao

n-y^>〃一><x)n+k

证明：limx=a,/.Ve>0,3NeN,3当〃〉N时'，恒有一〃<£。

〃一>8n+

•・•当〃>N时，必有〃+QN,.••也必有卜用一〃|<£,

••lim—cia

〃一>8

2.用定义证明：若>0(〃=1,2,…)，且lim=〃"，则lim。

/7—>00/?—>co

证明：*.*limx=a,.•・,>(),3NwN+，3〃>N时，恒有毛?一4<£。

〃一>8n

当

当〃=0时，|7^7-0|=7^7<，

lim=o

"->O)

n2-n+41

3.证明:lvim——-----------=—

〃-2M+〃-42

证明：限定〃>N]=4,则"一4>0,Ve>0,要使

n2-n+4134一〃3n-43n31

-------------=------------=-------------<------=—<—<

2n2+n-4222n24-/i-422〃？+〃一422n24〃n

应有〃>」，令N2=d],只要取N=max{N],}=max{4,占},

££8

2

VVs>0,BN=max{4,[-]},时，恒有〃__L<一

£2n~+〃-42

...n2-n+41

・・lim--------------=—

〃廿2/+〃-42

a

4.证明limx”=〃=limx2n-l二lim巧〃=°

moH—>CD〃一>oo

证明：先证“n”

若limx〃=。，贝iJX/e>0,3NJN+，J〃>N时:恒有“-〃<£,

〃一>8

・・•当力〉N时，必有2〃一l>N和2九〉N,

.•・也必有,2〃-1一"|<8和卜2〃一4<8成立，

/.lim12〃-1=1™x2n=a°

〃一KCW—>00

再证“U”

若limx2n