41　导数的概念及运算

4.1导数的概念及运算五年高考目录基础强化练能力拔高练三年模拟(2017北京,19,13分,中)已知函数f(x)=excosx-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间

上的最大值和最小值.五年高考解析

(1)由题意得f'(x)=excosx+ex(-sinx)-1=ex(cosx-sinx)-1,则f'(0)=0.又f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.(2)设h(x)=f'(x)=ex(cosx-sinx)-1,则h'(x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2exsinx.当x∈

时,h'(x)<0,所以h(x)在区间

上单调递减.所以对任意x∈

有h(x)<h(0)=0,即f'(x)<0.所以函数f(x)在区间

上单调递减.因此f(x)在区间

上的最大值为f(0)=1,最小值为f

=-

.1.(2025届海淀期中,4)已知f(x)=

,则f'

=

()A.1

B.2

C.-1

D.-2三年模拟B解析

f'(x)=

=

,所以f'

=

=2,故选B.2.(2025届北京十五中开学测试,5)下列求导不正确的是

()A.

'=-

B.(1+lnx)'=1+

C.(2x)'=2xln2

D.(cosx)'=-sinx

B解析

'=-

,故A正确;(1+lnx)'=

,故B错误;(2x)'=2xln2,故C正确;(cosx)'=-sinx,故D正确.故选B.3.(2025届北师大二附中入学测试,3)已知曲线f(x)=-

,则其在x=1处的切线方程是

()A.2x-y+1=0

B.x-2y+2=0C.2x-y-1=0

D.x+2y-2=0C解析

因为f'(x)=

=

,所以f'(1)=2,又f(1)=1,所以曲线在x=1处的切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.故选C.4.(2025届房山良乡中学第一次月考,6)曲线y=

在点(1,1)处的切线方程为

()A.x-y-2=0

B.x+y-2=0C.x+4y-5=0

D.x-y-5=0B解析

因为y'=

=

,所以y'|x=1=-1,所以切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0,故选B.5.(2025届北京交大附中测试,5)若直线y=2x是曲线f(x)=x(e2x-a)的切线,则a=

()A.-e

B.-1C.1

D.eB解析

f'(x)=(1+2x)e2x-a,由于直线y=2x是曲线f(x)=x(e2x-a)的切线,故设切点为(t,2t),则

得

通过对比系数得(1+2t)t=t⇒2t2=0⇒t=0,则a=-1.故选B.6.(2025届丰台怡海中学开学检测,8)若函数f(x)=x2-2x-4lnx,则f'(x)>0的解集为

()A.(0,+∞)

B.(-1,0)∪(2,+∞)C.(2,+∞)

D.(-1,0)C解析

函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=2x-2-

,若f'(x)=

>0,则

解得x>2.故选C.7.(2024人大附中质检,6)某物体做直线运动,若它所经过的位移s与时间t的函数关系为s(t)=

t2+1,则这个物体在时间段[1,2]内的平均速度为

()A.2

B.

C.3

D.

B解析

当t∈[1,2]时,s(t)单调递增.所以

=

=

=

=

.故选B.8.(2024北京四中开学测试,5)已知函数f(x)在R上可导,其部分图象如图所示,设

=a,则下列不等式正确的是()

A.f'(1)<f'(2)<a

B.f'(1)<a<f'(2)C.f'(2)<f'(1)<a

D.a<f'(1)<f'(2)B解析

由题图可知,函数f(x)在[0,+∞)上的增长速度越来越快,所以函数图象在点(x0,f(x0))(x0∈(0,+∞))的切线的斜率越来越大,因为

=a,所以f'(1)<a<f'(2).故选B.9.(202某省市八一学校开学考试,6)直线l经过点A(0,b),且与直线y=2x平行,如果直线l与

曲线y=x2相切,那么b等于

()A.-

B.-1C.1

D.

B解析

设切点为(n,n2).y=x2的导函数为y'=2x,由题意知切线l的斜率为2n=2,解得n=1,可

得切点为(1,1),由2=

,解得b=-1.故选B.10.(2025届北京八中暑假阶段测试,8)已知f(x)在R上是可导函数,f(x)的图象如图所示,

则不等式(x2-2x-3)f'(x)>0的解集为

()

A.(-∞,-2)∪(1,+∞)B.(-∞,-2)∪(1,2)C.(-∞,-1)∪(-1,0)∪(2,+∞)D.(-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞)D解析

原不等式等价于

或

结合题图,得

或

解得x<-1或x>3或-1<x<1.故选D.11.(2025届北京一六六中学月考,11)函数y=

在x=0处的瞬时变化率等于

.-1解析

y'=-

,当x=0时,y'=-

=-1,故y=

在x=0处的瞬时变化率等于-1.12.(2024北京一六六中学阶段测试,14)设函数f(x)=x+lnx,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的

切线方程为

.2x-y-1=0解析

因为f'(x)=1+

,所以f'(1)=2,又f(1)=1,故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.13.(2024北师大实验中学月考,12)函数f(x)=xsinx+cosx的图象在点x=

π处的切线的斜率为

.-

解析

因为f'(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx,所以f'

=

cos

=-

,故所求切线的斜率为-

.14.(2024北京五十七中开学考试,18)已知函数f(x)=x3-ax2-a2x+1,其中a>0.(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;(2)若曲线y=f(x)在点(-a,f(-a))处的切线与y轴的交点为(0,m),求m+

的最小值.解析

(1)f'(x)=3x2-2ax-a2,当a=1时,f'(x)=3x2-2x-1,令f'(x)<0,即3x2-2x-1<0,解得-

<x<1,令f'(x)>0,即3x2-2x-1>0,解得x<-

或x>1.所以函数f(x)的单调递减区间为

,单调递增区间为

和(1,+∞).(2)由(1)知f'(x)=3x2-2ax-a2,故f'(-a)=3(-a)2-2a×(-a)-a2=4a2,又f(-a)=(-a)3-a·(-a)2-a2×(-a)+1=-a3+1,所以曲线y=f(x)在点(-a,f(-a))处的切线方程为y-(-a3+1)=4a2(x+a),即y=4a2x+3a3+1.令x=0,得y=3a3+1,即m=3a3+1,则m+

=3a3+1+

,令g(a)=3a3+1+

,a>0,可得g'(a)=9a2-

=

,a>0,令g'(x)<0,即9a4-1<0,解得0<a<

,令g'(x)>0,即9a4-1>0,解得a>

.所以函数g(a)在区间

上单调递减,在区间

上单调递增,所以最小值为g

=

+1+

=

,所以m+

的最小值是

.1.(2025届北京二中开学测试,9)已知定义在R上的函数y=f(x)满足:函数y=f(x-1)的图象关

于直线x=1对称,且当x∈(-∞,0)时,f(x)+xf'(x)<0成立(f'(x)是函数f(x)的导函数),若a=sin

·f

,b=ln2f(ln2),c=2f

,则a,b,c的大小关系是

()A.a>b>c

B.b>a>c

C.c>a>b

D.a>c>b答案

A

A解析

因为函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称,所以函数y=f(x)图象关于直线x=0对称,即函数y=f(x)是偶函数,令g(x)=xf(x),则g'(x)=f(x)+xf'(x),当x∈(-∞,0)时,f(x)+xf'(x)<0成立,所以函数g(x)在(-∞,0)上单调递减,又函数g(x)为奇函数(奇×偶=奇),所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递减,因为a=sin

f

=

f

=g

,b=ln2f(ln2)=g(ln2),c=2f

=2f(2)=g(2),又2>ln2>ln

=

,所以a>b>c,故选A.2.(2024北京景山学校开学考试,9)若函数f(x)=2lnx+x2+mx+1的图象上任意一点的切线

的斜率都大于0,则实数m的取值范围为()A.(-∞,-4)

B.(-∞,4)C.(-4,+∞)

D.(4,+∞)C解析

f(x)的定义域是(0,+∞),由题意知f'(x)=

+2x+m>0恒成立,即-m<

+2x恒成立,由于

+2x≥2

=4,当且仅当

=2x,即x=1时取等号,所以-m<4,即m>-4.故选C.3.(2024北京东直门中学月考,7)若直线y=x+a与函数f(x)=ex和g(x)=lnx+b的图象都相切,

则a+b=

()A.-1

B.0

C.1

D.3D解析

设直线y=x+a与函数f(x)和g(x)的图象分别相切于点A(x1,y1),B(x2,y2),由f(x)=ex,得f'(x)=ex,令

=1,得x1=0,y1=1,将(0,1)代入y=x+a,得a=1,由g(x)=lnx+b,得g'(x)=

,令

=1,得x2=1,y2=b,将(1,b)代入y=x+1,得b=2,所以a+b=3.故选D.4.(2025届北师大附中月考,13)设函数f(x)=

,则曲线y=f(x)在(0,1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为

.解析

f'(x)=

,得f'(0)=

=3,所以曲线在(0,1)处的切线方程为y-1=3x,即y=3x+1,令x=0,得y=1,令y=0,得x=-

,故切线与两坐标轴所围成的三角形面积为S=

×1×

=

.5.(2025某省市西城外国语学校月考,14)已知函数f(x)的导函数为f‘(x),且f'(x)是偶函数,

f'(0)=1,f'(1)=0.写出一个满足条件的函数f(x)=

.-

x3+x(答案不唯一)解析

由f'(x)是偶函数,设f(x)=ax3+bx,则f'(x)=3ax2+b,所以f'(0)=b=1,f'(1)=3a+b=0,解得

a=-

,b=1,故f(x)=-

x3+x.6.(2025某省市八一学校月考,13)曲线y=ex在x=0处的切线恰好是曲线y=ln(x+a)的切

线,则实数a=

.2解析

由y=ex,得y'=ex,则y'|x=0=e0=1,又切点为(0,1),则曲线y=ex在x=0处的切线为y=x+1.由y=ln(x+a),得y'=

,设直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切的切点为(x0,ln(x0+a)),则有

解得

7.(2025届北京八中暑假阶段测试,18)已知函数f(x)=x3-3x2+ax(a∈R)的两个极值点之差

的绝对值为

.(1)求a的值;(2)若过原点的直线l与曲线y=f(x)在点P(P与原点不重合)处相切,求点P的坐标.解析

(1)设f'(x)=3x2-6x+a=0的两根分别为x1,x2,则x1+x2=2,x1x2=

,由|x1-x2|=

,得(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=

,所以22-4×

=

,解得a=2,当a=2时,f'(x)=3x2-6x+2,由f'(x)=3x2-6x+2<0,得1-

<x<1+

,由f'(x)=3x2-6x+2>0,得x<1-

或x>1+

,所以函数f(x)在

上单调递增,在

上单调递减,在

上单调递增,所以x=1-

为极大值点,x=1+

为极小值点,满足两个极值点之差的绝对值为

,符合题意,所以a=2.(2)由(1)知f(x)=x3-3x2+2x,f'(x)=3x2-6x+2,设P(x0,y0),x0,y0≠0,则y0=

-3

+2x0,由题意得

=f'(x0)=3

-6x0+2,即

=3

-6x0+2,整理得2

-3

=0,解得x0=0(舍去)或x0=

,则y0=

-3×

+2×

=-

,所以P

.8.(2024海淀期中,20)已知函数f(x)=

,且f(1)=

,f(4)=

.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的单调区间;(3)设实数m满足:存在k∈R,使直线y=kx+m是曲线y=f(x)的切线,且kx+m≥f(x)对x∈[0,+∞)恒成立,求m的最大值.解析

(1)由

解得

(2)由(1)得f(x)=

(x≥0),f(0)=0,当x>0时,f'(x)=

=

,当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.所以f(x)的单调递增区间是[0,1),单调递减区间是(1,+∞).(3)由(2)可知当x=1时,f(x)取得最大值

.①当m=

时,存在直线y=

是曲线y=f(x)在点

处的切线,且f(x)≤

对x∈[0,+∞)恒成立,符合题意.②当m>

时,设直线y=kx+m为曲线y=f(x)的切线,切点为(x0,y0),则x0>0,y0≤

,所以k=

<0.取x1=-

,则x1>0.因为f(x1)=

>0,kx1+m=0,所以kx1+m<f(x1),即存在x1∈(0,+∞),kx1+m<f(x1),不符合题意.综上,m的最大值是

.9.(2024北京一七一中学开学考试,19)已知函数f(x)=1-x2.(1)已知直线l与曲线y=f(x)相切,且与坐标轴围成等腰三角形,求直线l的方程;(2)已知t∈

,设曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的切线被坐标轴截得的线段长度为L(t),求L(t)的最大值.解析

(1)由题意得,f'(x)=-2x,直线l的斜率为±1,令f'(x)=1,得x=-

;令f'(x)=-1,得x=

.又因为f

=f

=

,所以直线l的方程为y-

=x+

或y-

=-

,即y=x+

或y=-x+

.(2)因为t∈

,所以f(t)=1-t2≥0,曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的切线斜率为f'(t)=-2t,则切线方程为y-1+t2=-2t(x-t),切线与坐标轴的交点坐标分别为(0,t2+1),

.所以L(t)=

=

(t2+1)>0,L2(t)=

,令n=t2,n∈

,则g(n)=