41　三角函数的概念及基本公式

目录五年高考三年模拟北京专练53精选练速度练综合五年高考北京专练1.(2020北京,10,4分,中)2020年3月14日是全球首个国际圆(πDay).历史上,求圆周

率π的方法有多种,与中国传统数学中的“割圆术”相似,数学家阿尔·卡西的方法是:当

正整数n充分大时,计算单位圆的内接正6n边形的外切正6n边形(各边均与圆相

切的正6n边形)的,将它们的算术平均数作为2π的近似值.按照阿尔·卡西的方法,π

的近似值的表达式是()A.3n

B.6n

C.3n

A

D.6n

解析如图所示,设单位圆O的一个内接正6n边形的一边为AB,一个外切正6n边形的一

边为A'B',并与圆O切于点R',

在△AOB中,AB中点为S,∵OA=1,∠AOB=

=

,∴AB=2AS=2AO·sin∠AOS=2AO·sin

=2sin

,∴☉O的内接正6n边形的6n·AB=12nsin

,在△A'OB'中,∵OR'=1,∠A'OB'=

=

,∴A'B'=2A'R'=2OR'·tan∠A'OR'=2OR'·tan

=2tan

,∴☉O的外切正6n边形的6n·A'B'=12ntan

,∴单位圆的内接与外切正6n边形的算术平均数为

=6n

,故π的近似值的表达式为3n

,故选A.2.(2024北京,12,5分,易)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边

关于原点对称,若α∈

,则cosβ的最大值为_______.

- 

解析依题意得β=2kπ+π+α(k∈Z),∴cosβ=cos(2kπ+π+α)=cos(π+α)=-cosα,∵

≤α≤

,∴

≤cosα≤

,因此-

≤-cosα≤-

.故cosβ的最大值为-

.3.(2021北京,14,5分,易)若点A(cosθ,sinθ)关于y轴的对称点为B

cos

,sin

,则θ的一个取值为________________.

(答案不唯一)

解析由题意知

∴θ+θ+

=π+2kπ,k∈Z,∴θ=

+kπ,k∈Z.故θ的值可为

答案不唯一,只要符合θ=

+kπ,k∈Z均可

.53精选1.(2024新课标Ⅰ,4,5分,易)已知cos(α+β)=m,tanαtanβ=2,则cos(α-β)=

()A.-3m

B.-

C.

D.3m

A

解析因为tanαtanβ=2,所以

=2,所以sinαsinβ=2cosαcosβ,又cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=m,所以cosαcosβ=-m,sinαsinβ=-2m,所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-3m.故选A.2.(2024全国甲,理8,文10,5分,中)已知

=

,则tan

=

()A.2

+1

B.2

-1

C.

D.1-

B

解析∵

=

,∴

=

,解得tanα=1-

.因此tan

=

=

=2

-1,故选B.3.(2023新课标Ⅰ,8,5分,中)已知sin(α-β)=

,cosαsinβ=

,则cos(2α+2β)=

()A.

B.

C.-

D.-

B

解析∵sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=

,cosαsinβ=

,∴sinαcosβ=

+

=

,∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=

,∴cos(2α+2β)=cos[2(α+β)]=1-2sin2(α+β)=1-

=

,故选B.4.(2023新课标Ⅱ,7,5分,中)已知α为锐角,cosα=

,则sin

=

()A.

B.

C.

D.

D

解析∵cosα=1-2sin2

=

,∴sin2

=

=

=

,∵α为锐角,∴

也为锐角,∴sin

=

.故选D.5.(2021全国乙文,6,5分,中)cos2

-cos2

=

()A.

B.

C.

D.

D

解析

解法一:cos2

-cos2

=cos2

-cos2

=cos2

-sin2

=cos

=

.

由于

+

=

,所以可以利用诱导公式进行转化

解法二:cos2

-cos2

=cos2

-cos2

=

-

cos

cos

-sin

sin

2(利用两角和与差的余弦公式求解)=

-

×

-

×

2=

-

=

×

-

=

.6.(2022新高考Ⅱ,6,5分,中)若sin(α+β)+cos(α+β)=2

cos

sinβ,则

()A.tan(α-β)=1

B.tan(α+β)=1C.tan(α-β)=-1

D.tan(α+β)=-1

C

解析

解法一:因为sin(α+β)+cos(α+β)=2

cos

sinβ,所以

sin

=2

cos

·sinβ,即sin

=2cos

sinβ,所以sin

cosβ+sinβcos

=2cos

sinβ,所以sin

cosβ-sinβcos

=0,所以sin

=0,所以α+

-β=kπ,k∈Z,所以α-β=kπ-

,k∈Z,所以tan(α-β)=-1.解法二:因为sin(α+β)+cos(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ-sinαsinβ,2

cos

sinβ=(2cosα-2sinα)·sinβ=2cosαsinβ-2sinαsinβ,所以sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ-sinαsinβ=2cosαsinβ-2sinαsinβ,即sinαcosβ-cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=0,

进而得sin(α-β)+cos(α-β)=0,又知cos(α-β)≠0,所以tan(α-β)=-1,故选C.7.(2022浙江,13,6分,易)若3sinα-sinβ=

,α+β=

,则sinα=_________,cos2β=_________.解析设a=sinα,b=sinβ=cosα,则

解得a=

,b=-

.∴sinα=a=

,cos2β=1-2sin2β=1-2b2=

.8.(2024新课标Ⅱ,13,5分,中)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tanα+tanβ=4,tanαtan

β=

+1,则sin(α+β)=_______.

- 

解析

tan(α+β)=

=

=-2

,∴cos2(α+β)=

=

=

=

,∵α为第一象限角,β为第三象限角,∴α+β为第三象限或第四象限角,∴sin(α+β)=-

=-

.三年模拟练速度1.(2024房山一模,4)已知角α的终边经过点(3,4),把角α的终边绕原点O逆时针旋转

得到角β的终边,则sinβ=

()A.-

B.

C.-

D.

D

解析因为角α的终边经过点(3,4),所以cosα=

=

,因为把角α的终边绕原点O逆时针旋转

得到角β的终边,所以β=α+

,所以sinβ=sin

=cosα=

.2.(2024通州一模,6)在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负

半轴重合,终边与单位圆交于点P

,则cos(π-2α)=

()A.-

B.-

C.

D.

B

解析根据三角函数定义可得sinα=-

,cosα=

,由诱导公式可得cos(π-2α)=-cos2α,由二倍角公式可得cos2α=cos2α-sin2α=

,所以cos(π-2α)=-

.3.(2025北京二中开学考试,4)在平面直角坐标系xOy中,角α以Ox为始边,终边与单位圆

交于点

,则cos(π+α)=

()A.-

B.

C.-

D.

A

解析由三角函数的定义得cosα=

,再用诱导公式得cos(π+α)=-cosα=-

.故选A.4.(2025首都师大附中开学测试,3)已知sinα=

,则cos(π-2α)=

()A.-

B.-

C.

D.

B

解析因为sinα=

,所以cos(π-2α)=-cos2α=2sin2α-1=2×

-1=-

,故选B.5.(2025西城一模,4)在长方形ABCD中,E为BC的中点,cos∠AEB=

,则cos∠AED=

()A.

B.

C.-

D.-

B解析设∠AEB=θ,则cosθ=

,如图,

因为∠ABE=∠DCE=90°,AB=DC,BE=CE,所以△ABE≌△DCE,所以∠DEC=∠AEB=θ,则∠AED=π-2θ,所以cos∠AED=cos(π-2θ)=-cos2θ=1-2cos2θ=1-2×

=

.故选B.一题多解如图,因为cos∠AEB=

,所以设BE=2a,AE=3a,则DE=3a,AD=4a,在△ADE中,cos∠AED=

=

=

,故选B.

6.(2025东城一模,5)在平面直角坐标系xOy中,角α以Ox为始边,其终边落在第一象限,则

下列三角函数值中一定大于零的是

()A.sin(π+α)

B.cos(π-α)C.sin2α

D.cos2α

C

解析因为2kπ<α<

+2kπ,k∈Z,所以4kπ<2α<π+4kπ,k∈Z,则sin(π+α)=-sinα∈(-1,0),cos(π-α)=-cosα∈(-1,0),sin2α∈(0,1],cos2α∈(-1,1),故选C.7.(2025朝阳一模,7)已知sinα+sinβ=0,cosα+cosβ=

,则cos(α-β)=

()A.-

B.

C.

D.1

B

解析由sinα+sinβ=0,cosα+cosβ=

,得(sinα+sinβ)2+(cosα+cosβ)2=3,整理得2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=3,所以cos(α-β)=

.故选B.8.题型二(2024海淀一模,8)在平面直角坐标系xOy中,角α以Ox为始边,终边在第三象限.

则

()A.sinα-cosα≤tanα

B.sinα-cosα≥tanαC.sinαcosα<tanα

D.sinαcosα>tanα

C

解析由题意可得sinα<0,cosα<0,tanα>0.对于A,当α=181°时,sinα接近0,cosα接近-1,tanα接近0,所以sinα-cosα接近1,此时sinα-

cosα>tanα,故A错误;对于B,当α=

时,sinα-cosα=sin

-cos

=0<tan

=1,故B错误;对于C、D,sinαcosα=cos2α·

=cos2α·tanα,由-1<cosα<0,得cos2α∈(0,1),则cos2αtanα<tanα,即sinαcosα<tanα,故C正确,D错误.故选C.9.题型二(2024延庆一模,6)“sin2θ>0”是“θ为第一或第三象限角”的

()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

C

解析

sin2θ=2sinθcosθ>0⇔

或

所以“sin2θ>0”是“θ为第一或第三象限角”的充分必要条件.故选C.10.题型一(2024昌平期末,11)已知sinx=-

,x∈

,则tanx=_________.解析因为sinx=-

,x∈

,所以cosx=-

=-

,所以tanx=

=

.11.(2024西城一模,12)已知α,β∈(0,π),则使tan(α+β)<tan(α-β)成立的一组α,β的值为α=____,β=________________.

(答案不唯一)

解析可取α=β=

,此时tan(α+β)=tan

<0,tan(α-β)=tan0=0,故tan(α+β)<tan(α-β),符合要求.故答案为

;

.(答案不唯一)12.(2025石景山一模,12)如图,角α以Ox为始边,它的终边与单位圆O相交于点P,且点P的

横坐标为

,则sin

的值为_________.

解析因为点P的横坐标为

,所以cosα=

,则sin

=cosα=

.13.(2025北京八中下学期开学测试,12)在平面直角坐标系xOy中,已知点A

,将线段OA绕原点顺时针旋转

得到线段OB,则点B的横坐标为_________.解析

A

在单位圆上,设终边在射线OA上的角为α,如图:

由三角函数定义得sinα=

,cosα=

,OA绕原点顺时针旋转

得到线段OB,则终边在射线OB上的角为α-

,所以点B的横坐标为cos

=cosαcos

+sinαsin

=

.故答案为

.14.(2025门头沟一模,13)在平面直角坐标系xOy中,角α以Ox为始边,其终边与单位圆交

点的横坐标为-

,写出一个符合题意的α=________________.

(答案不唯一)

解析因为cosα=-

,所以α=

+2kπ或α=

+2kπ,k∈Z.故答案为

(答案不唯一).练综合1.(2024朝阳二模,7)在平面直角坐标系xOy中,锐角α以O为顶点,Ox为始边.将α的终边绕

O逆时针旋转

后与单位圆交于点P(x,y),若cosα=

,则y=()A.-

B.-

C.

D.

D

解析∵cosα=

,且α为锐角,∴sinα=

=

=

,由题意得y=sin

=sin

cosα+cos

sinα=

×

+

×

=

,故选D.2.(2025朝阳二模,7)设α∈R,则“sin2α=

”是“tanα=

”的

()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

B

解析充分性,因为sin2α=

,显然cosα≠0,所以sin2α=

=

=

,则

tan2α-4tanα+

=0,解得tanα=

或tanα=

,故充分性不成立;必要性,因为tanα=

=

,又sin2α+cos2α=1,解得cosα=

,sinα=

或cosα=-

,sinα=-

,所以sin2α=2sinα·cosα=

,故必要性成立.综上,“sin2α=

”是“tanα=

”的必要不充分条件,故选B.3.(2025东城二模,7)已知α,β∈R,则“cos2α=cos2β”是“β=(-1)kα+kπ(k∈Z)”的

()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

B解析由cos2α=cos2β⇔

=

⇔cos2α=cos2β,充分性,由cos2α=cos2β,得2β=2α+2kπ或2β=-2α+2kπ(k∈Z),即β=α+kπ或β=-α+kπ(k∈Z),

不一定有β=(-1)kα+kπ(k∈Z),充分性不成立;必要性,由β=(-1)kα+kπ(k∈Z),得2β=(-1)k·2α+2kπ(k∈Z),有cos2β=cos[(-1)k·2α+2kπ]=cos2

α(k∈Z),必要性成立,综上,“cos2α=cos2β”是“β=(-1)kα+kπ(k∈Z)”的必要不充分条件,故选B.4.(2025朝阳一模,某省市计划在一条河上修建一座水上休闲公园,如图所示.这条河两岸

所在直线l1,l2互相平行,桥DE与河岸所在直线垂直.休闲公园的形状可视为直角三角形,

它的三个入口分别设在直角三角形的顶点A,B,C处,其中入口A(定点)在桥DE上,且A到

直线l1,l2的距离分别为h1,h2(h1,h2为定值),入口B,C分别在直线l2,l1上,公园的一边AB与直

线l2所成的锐角∠ABD为α,另一边AC与AB垂直.设该休闲公园的面积为S(α),当α变化时,

下列说法正确的是

()

D

A.函数S(α)的最大值为h1h2B.函数S(α)的最小值为

C.若α1,α2∈

且α1<α2,则S(α1)<S(α2)D.若α1,α2∈

且α1+α2=

,则S(α1)=S(α2)解析在Rt△ABD中,根据正弦函数的定义得AB=

.因为∠BAC=

,∠ABD=α,所以∠CAE=α,在Rt△ACE中,根据余弦函数的定义得AC=

.所以S(α)=

·AB·AC=

·

·

=

=

,α∈

.对于A,由α∈

,得2α∈(0,π),sin2α∈(0,1].所以sin2α无最小值,S(α)=

没有最大值,故选项A错误.对于B,由S(α)=

,sin2α∈(0,1],当sin2α=1,即2α=

,α=

时,S(α)取得最小值h1h2,故选项B错误.对于C,当α∈

时,2α∈

,y=sin2α单调递增,S(α)=

单调递减;当α∈

时,2α∈

,y=sin2α单调递减,S(α)=

单调递增.所以若α1,α2∈

且α1<α2,不一定有S(α1)<S(α2),故选项C错误.对于D,若α1,α2∈

且α1+α2=

,则2α1+2α2=π,sin2α1=sin(π-2α2)=sin2α2.因为S(α1)=

,S(α2)=

,所以S(α1)=S(α2),故选项