71　数列的概念及表示

7.1数列的概念及表示考情清单考点清单题型清单目录考点数列的概念及表示题型一利用Sn和an的关系求通项公式题型二利用递推关系求通项公式考点20—24年考频真题示例考向核心素养数列的概念及表

示、数列的综合4考2024北京,152023北京,102022北京,15数列的概念及性质数学运算逻辑推理2021北京,10数列的概念及表示等差数列的性质2考2021北京,62020北京,8等差数列的性质等比数列及其前n

项和、等比数列的

性质及其应用1考2023北京,14求基本量及前n项

和数列的新定义问题5考2024北京,212023北京,212022北京,212021北京,212020北京,21数列的新定义问题数学运算逻辑推理考点20—24年考频真题示例考向核心素养命题形式数列在高考中占有重要地位,一般为一道解答题和一道小题,且解答题通常为压轴的新

定义问题,常与集合结合考查.本专题在高考中,通常有以下考查方向:①等差、等比数

列的基本运算、性质,前n项和的性质;②根据数列的递推公式或Sn与an之间的关系求数

列的通项公式;③求数列的前n项和;④数列与不等式、函数、集合等的结合;⑤通过新

定义数列,综合考查对数列概念的理解及逻辑推理能力.考点数列的概念及表示1.数列的概念:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列

的项.2.数列与函数的关系:数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})到实数集

R的函数,其自变量是序号n,对应的函数值是数列的第n项an,记为an=f(n),即当自变量从1

开始,按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值就是数列{an},另一方面,对

于函数y=f(x),如果f(n)(n∈N*)有意义,那么f(1),f(2),…,f(n),…构成一个数列{f(n)}.3.数列的性质由于数列可以看作一个关于n(n∈N*)的函数,因此它具备函数的某些性质:(1)单调性——若an+1>an,则{an}为递增数列;若an+1<an,则{an}为递减数列.(2)——若an+k=an(k∈N*),则{an}为列,k为{an}的一个.4.数列的通项公式和递推公式(1)通项公式:如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子an=f(n)来表

示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.(2)递推公式:如果已知数列{an}的第一项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始,任何

一项an与它的前一项an-1(n≥2)(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式

子叫做数列{an}的递推公式.(1)Sn=a1+a2+…+an.(2)an=

5.数列{an}的前n项和Sn及an与Sn的关系1.判断正误.(在括号中打“√”或“✕”)(1)1,1,1,1是一个数列.

(

)(2)每一个数列都有通项公式.

(

)(3)如果数列{an}的前n项和为Sn,则∀n∈N*,都有an+1=Sn+1-Sn.

(

)2.在有一定规律的数列0,3,8,15,24,x,48,63,…中,x的值是

.3.已知数列{an}的通项公式为an=n2-2n,则a2+a18等于

.即练即清×√√35288题型一利用Sn和an的关系求通项公式典例1

(2024北京十七中月考,12)已知数列{an}的前n项和Sn=2n-1,则a6=

.32解析

解法一:当n=1时,a1=S1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1,当n=1时也符合,所

以an=2n-1,n∈N*,所以a6=25=32.解法二:a6=S6-S5=26-1-25+1=32.方法总结已知Sn求an的步骤第一步:利用a1=S1求出a1.第二步:用n-1替换Sn中的n,得到一个新的关系式,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时

an的表达式.第三步:对n=1时的结果进行检验,看是否符合n≥2时an的表达式,若符合,则数列的通项

公式用一个表达式表示;若不符合,则应该分n=1与n≥2两段来写.注意

利用公式an=Sn-Sn-1(n≥2)求an时,不要忽略对“n=1”的情形进行检验.变式训练1-1

(关键元素变式)(2018课标Ⅰ,14,5分)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=

.-63解析

解法一:由Sn=2an+1,得a1=2a1+1,所以a1=-1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an+1-(2an-1+1),得

an=2an-1,所以{an}是首项为-1,公比为2的等比数列,所以S6=

=

=-63.解法二:由Sn=2an+1,得S1=2S1+1,所以S1=-1,当n≥2时,由Sn=2an+1得Sn=2(Sn-Sn-1)+1,即Sn=2Sn-1-1,所以Sn-1=2(Sn-1-1),又S1-1=-2,所以{Sn-1}是首项为-2,公比为2的等比数列,所以Sn-1=-2×2n-1=-2n,所以Sn=1-2n,所以S6=1-26=-63.题型二利用递推关系求通项公式典例2

(2023大兴期末,8)已知数列{an}中,a1=1,an·an+1=2n,n∈N*,则下列结论错误的是

(

)A.a2=2

B.a4-a3=2C.{a2n}是等比数列

D.a2n-1+a2n=2n+1D

思考路径

解析

由a1=1,a1·a2=2得a2=2,A中结论正确.∴a2·a3=22=4,∴a3=2,∴a3·a4=23=8,∴a4=4,∴a4-a3=2,B中结论正确.∵an·an+1=2n,∴an+1·an+2=2n+1,∴

=2,∴

=2,(构造数列{a2n})∴数列{a2n}是以2为首项,2为公比的等比数列,C中结论正确.a2n=2·2n-1=2n,又a2n-1·a2n=22n-1,∴a2n-1·2n=22n-1,∴a2n-1=2n-1,∴a2n-1+a2n=2n-1+2n=2n-1+2·2n-1=3·2n-1≠2n+1,D中结论错误.故选D.方法总结利用递推关系求通项公式的方法1.累加法:对于形如an+1-an=f(n)的数列的递推关系式,若f(1)+f(2)+…+f(n)可求,可用多项

式相加法求得an,称这种方法为累加法.2.累乘法:对于形如

=f(n)(an≠0)的数列的递推关系式,若f(1)·f(2)·…·f(n)可求,则可用多项式相乘法求得an,称这种方法为累乘法.3.构造法:形如an+1=pan+q(其中p,q均为常数,pq(p-1)≠0)的递推关系式,把原递推关系式

转化为an+1-t=p(an-t),其中t=

,然后构造

=p,即{an-t}是以a1-t为首项,p为公比的等比数列.4.辅助数列法:形如an+1=pan+qn(其中p,q均为常数,pq(p-1)≠0)的递推关系式,要先在递推关系式两边同除以qn+1,得

=

·

+

,引入辅助数列{bn}

,得bn+1=

·bn+

,再用构造法解决.变式训练2-1

(情境模型变式)(2024北师大附中月考,15)在数列{an}中,an+1=f(an),下列说法正确的是

.①若f(x)=2x+1,则{an}一定是递增数列;②若f(x)=2x,则{an}一定是递增数列;③若f(x)=x3+1,a1∈(-1,0),则对任意c>0,都存在n∈N*,使得an>c;④若f(x)=kx2+2,a1=2,且存在常数c,使得对任意n∈N*,都有an<c,则k的最大值是

.②③解析

对于①,an+1=f(an)=2an+1,故an+1+1=2an+2=2(an+1),所以{an+1}为等比数列,公比为2,若a1=-2,则数列{an+1}的首项为a1+1=-1≠0,故an+1=-2n-1,即an=-2n-1-1,所以{an}为递减数列,①错误;对于②,an+1=f(an)=

,(以下判断an+1-an=

-an的正负)令h(x)=2x-x,当x<0时,h(x)=2x-x>0恒成立,当x∈[0,1]时,2x∈[1,2],故h(x)=2x-x>0恒成立,当x>1时,h'(x)=2xln2-1>2ln2-1=ln4-lne>0,故h(x)=2x-x>0在(1,+∞)上单调递增,故h(x)>h(1)=1>0,综上,2x>x恒成立,故{an}一定是递增数列,②正确;对于③,an+1=f(an)=

+1,因为a1∈(-1,0),所以a2=

+1∈(0,1),a3=

+1∈(1,2),……,以此类推,可得{an}为递增数列,且n→+∞时,an→+∞,故对任意c